1.引言

2014年，一部由英國鬼才導(dǎo)演克里斯托弗·諾蘭(Christopher Nolan)執(zhí)導(dǎo)的科幻電影《星際穿越》(Interstellar)引爆了全球科幻界。電影以其超凡的想象，逼真的畫面，以及嚴(yán)密的科學(xué)知識讓無數(shù)科幻迷如癡如醉，尤其是其中關(guān)于黑洞與四維空間的刻畫，讓坐在電影院中的觀眾嘆為觀止。

我們生活的宇宙到底是幾維的？相信很多人都思考過這個問題。中學(xué)講立體幾何時我們知道，就觸覺所能感知到的空間而言，它是三維的。因此當(dāng)我們要定位空間中一點(diǎn)的時候，需要使用三維坐標(biāo)系，即由x軸、y軸，z軸三個坐標(biāo)軸組成的坐標(biāo)系。

1905年，隨著愛因斯坦狹義相對論的提出，人們開始關(guān)注時間在我們這個宇宙中的度量作用。由德國數(shù)學(xué)家閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）提出了所謂的“時空”(space-time)的概念，將時間納入到宇宙的維度當(dāng)中，于是我們的宇宙就變成了四個維度——x、y、z再加一個時間軸i，這就是我們熟悉的四維空間的概念。

那么，在這四個維度之外還有沒有其它的維度？物理學(xué)家曾提出“超弦理論”，認(rèn)為宇宙總共有10個維度，但是其中6個維度是蜷曲在普朗克長度之下的，因此我們感知不到。后來又提出“M理論”，將宇宙空間擴(kuò)展為11維。

但無論如何，上面的理論都缺乏有力的證據(jù)。其實(shí)別說10維或者11維，就人類目前能理解和感知到的，僅僅是4維空間，4維以上的空間我們連想象都無法想象。

這時數(shù)學(xué)家們可要偷著樂了，因?yàn)閿?shù)學(xué)研究的是純粹的形式與關(guān)系，所以可以不必拘泥于現(xiàn)實(shí)生活，僅利用演繹推理就可以隨心所欲地構(gòu)造出新的研究對象。想象不出來不要緊，只要你能推導(dǎo)出來就可以了。因此在數(shù)學(xué)家眼中，不只是4維、5維、6維，甚至100維、1000維、10000維，再甚至于無窮維的空間，都是可以構(gòu)造和研究的。

當(dāng)然按照數(shù)學(xué)中一貫的傳統(tǒng)，為了研究高維空間，就得定義什么叫“空間”，什么叫“維數(shù)”，以及它們所滿足的性質(zhì)。我們今天就來看一下數(shù)學(xué)家們是如何工作的。

2.向量

我們常說，直線是1維的，平面是2維的，立體是3維的。那么我們憑什么這么說呢？2維的“維”又是什么意思呢？這就要回顧一下我們高中學(xué)過的有關(guān)向量的知識。

比如二維向量，它的幾何解釋就是平面上帶箭頭的線段：

我們已經(jīng)學(xué)過，向量與位置無關(guān)，就是說它可以自由移動，同時我們還可以定義向量的運(yùn)算，最基礎(chǔ)的就是加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算：

加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算我們一般稱之為線性運(yùn)算(linear operation)，線性運(yùn)算是整個空間理論的基礎(chǔ)。為了計算的方便，我們把向量放到坐標(biāo)系里面來研究，因?yàn)樗梢云揭疲覀儼阉械南蛄科瘘c(diǎn)都平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，那么就用它的終點(diǎn)坐標(biāo)來表示這個向量：

可以看出，平面上所有向量的終點(diǎn)就鋪滿了整個平面，因此我們得到了一個核心的觀點(diǎn)：

平面就是所有二維向量的集合，即

所以我們研究空間理論的核心思想就是把空間看成是向量的集合，這其實(shí)就是線性空間(linear space)的概念。自然地，三維空間就是所有三維向量的集合。

那么以此類推，四維空間就是所有四維向量的集合嘍，n維空間就是所有n維向量的集合，等等，那n維向量又是什么呢？

其實(shí)很簡單，二維向量就是有兩個坐標(biāo)，三維向量有三個坐標(biāo)，那么n維向量自然就有n個坐標(biāo)了。所以我們定義：一個由n個實(shí)數(shù)排列在一起組成的有序串，就稱為一個實(shí)數(shù)域上的n維向量：

橫著寫的話稱為行向量，有的時候?yàn)榱诵问缴系暮每?，我們也把它豎過來寫，稱為列向量，行向量與列向量本質(zhì)上是一樣的。

那么由所有n維向量組成的集合就稱為n維空間，更準(zhǔn)確地講叫做n維線性空間(n-dimensional linear space)或向量空間(vector space)，因?yàn)閷τ趎維向量也可以進(jìn)行加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，其規(guī)則和二維向量是一樣的。

當(dāng)然，當(dāng)n大于4時，我們就很難從直觀上去想象這個空間長什么樣子了，于是只能利用數(shù)學(xué)工具來對其進(jìn)行形式上的處理。

3.維數(shù)

我們已經(jīng)知道了n維線性空間是由什么東西組成的，但是還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。n維空間作為對我們熟悉的二維空間和三維空間的抽象，內(nèi)部還具有一定的結(jié)構(gòu)。為了弄清楚它的結(jié)構(gòu)，我們先來回顧一下高中學(xué)過的平面向量基本定理：

這個定理被稱為“基本定理”，可見其重要地位。但是我們在學(xué)習(xí)的時候并沒有感覺到它有什么特殊的，因?yàn)檫@個定理的結(jié)論很顯然，平平無奇。但實(shí)際上，這個定理在揭示n維空間內(nèi)在結(jié)構(gòu)的過程中起到了決定性的作用。

我們來反思一下這個定理，它究竟說了一件什么事情。我們知道，向量的數(shù)乘運(yùn)算就相當(dāng)于若干個相同的向量加在一起，比如3a就相當(dāng)于3個a加在一起，或者說把a(bǔ)延長3倍，當(dāng)然這個系數(shù)有可能不是整數(shù)，但道理是一樣的。而平面向量基本定理告訴我們，不共線的兩個向量e1和e2就相當(dāng)于是一種最基礎(chǔ)的“元素”，或者說最基礎(chǔ)的“計量單位”，平面上每一個向量都可以表示成若干個e1加上若干個e2，用更專業(yè)的語言講，邊上每一個向量都可以表示成e1和e2的線性組合。但是因?yàn)閑1和e2不共線，所以它們之間又不能互相表示。

這樣一來，e1和e2能表示出整個平面，但是彼此又不能互相表示，所以我們把e1和e2稱為平面的一組基(base)。

我們還可以看出，平面上的一組基不只有一種，因?yàn)槿我鈨蓚€不共線的向量都可以構(gòu)成一組基，所以平面上的一組基有無數(shù)多個。那么為了計算上的方便，我們?nèi)∫唤M最特殊的基，就是與坐標(biāo)軸垂直的兩個單位向量。

這樣一來，用代數(shù)的語言寫出來就是：

同樣地，對于三維空間，我們可以找到三不共面的向量e1,e2,e3，使得三維空間中任意一個向量都能表示成這三個向量的線性組合，并且這三個向量彼此之間不能互相表示。因此三維平面的一組基就包含三個向量，當(dāng)然，最簡單的一組基就是三個與坐標(biāo)軸平行的單位向量：

其實(shí)這種現(xiàn)象非常常見。

比如學(xué)化學(xué)中我們知道一個原子是由和質(zhì)子，中子和電子組成的，那么一個質(zhì)子，一個中子和一個電子就構(gòu)成了原子的一組基。因?yàn)槿魏我粋€原子都是這三個東西的線性組合。比如氫原子就是1個質(zhì)子+0個中子+1一個電子；碳原子就是6個質(zhì)子+6個中子+6個電子；氧原子就是8個質(zhì)子+8個中子+8個電子，同時質(zhì)子，中子，電子之間互相又不能表示。

這種例子在現(xiàn)實(shí)生活中也可以找到，比如一家水果店只賣4種水果：蘋果，橘子，桃子，梨，那么它們就構(gòu)成了顧客所買的商品的一組基。比如張阿姨買了3個蘋果4個橘子1個桃子2個梨，李阿姨買了2個蘋果2個橘子4個桃子3個梨，諸如此類。

我們可以看到，二維空間的一組基包含兩個向量，三維空間的一組基就包含三維向量，這是巧合嗎？當(dāng)然不是的。因?yàn)槲覀兙褪怯没南蛄總€數(shù)來定義空間的維度的：

一個線性空間的一組基包含的向量的個數(shù)，稱為這個空間的維數(shù)(dimension)。

好了，到這里我們終于揭開了“維數(shù)”這個我們從小就耳熟能詳?shù)母拍畹纳衩孛婕?。從這個過程我們也可以體會到，數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，任何一個概念我們都需要給出明確的定義。就連“維數(shù)”這樣一個我們在物理課上已經(jīng)嚼爛的詞，其實(shí)在數(shù)學(xué)上也有著復(fù)雜且嚴(yán)格的定義的。

我們小時候所看到的三維立體畫或者現(xiàn)在在電影院看到的三維電影里面的“維”，就是這個意思。

4.高維空間

有了維數(shù)的概念，我們就可以來研究n維空間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)了。按照前面給出的定義，我們來看一下，為什么有所有n維向量組成的線性空間，它的維數(shù)就是n？

我們只需要證明它的一組基包含n個向量就可以了，是比較容易的，因?yàn)槲覀兛梢栽趎維空間中取如下n個向量，就是依次讓每個分量為1，剩下的分量為0：

我們說它是一組基，這是顯然的，因?yàn)槊恳粋€n維向量都可以表示成它們的線性組合：

同時它們彼此之間又不能相互表示。這就說明了這個空間一定是n維的。

到此為止，我們終于說清楚了n維空間以及它的維數(shù)n究竟是什么。但我相信肯定還有很多小伙伴并不滿意，我們可以想象三維空間是什么樣，并且可以想象在三維空間中運(yùn)動。我閉上眼睛，想象著自己駕駛著一架戰(zhàn)斗機(jī)，在藍(lán)天上自由地飛翔，滑躍，翻轉(zhuǎn)。但是，一個物體在高維空間中運(yùn)動起來又是什么樣子呢？你給了我一大堆亂糟糟的字母與數(shù)字，說這就是一個高維空間，但是我完全想象不出物體在這個空間中運(yùn)動是什么含義。

是的，的確會有這個問題，因?yàn)榭臻g本身是抽象的，所以運(yùn)動形式也是抽象的。物體運(yùn)動會涉及到長度，距離，角度等概念，那么高維空間中也會有抽象的長度，抽象的距離和抽象的角度。

而定義其實(shí)這一系列概念的基礎(chǔ)，就是向量的數(shù)乘運(yùn)算。

還是先來回顧一下二維向量的點(diǎn)乘是如何定義的：

而一個向量的長度其實(shí)也是利用點(diǎn)乘表示的：

同時兩個向量之間的夾角也可以利用點(diǎn)乘和長度來計算：

我們把這套關(guān)于二維向量的理論，可以完全照搬到n維向量上。兩個n維向量的點(diǎn)乘就是：

同樣的方法，我們利用點(diǎn)乘運(yùn)算來定義n維向量的長度，以及兩個n維向量之間的夾角：

講到夾角公式，我們還需要再多說一些。從上面的式子可以看出來，cosθ的值是我們定義的，然后利用反三角函數(shù)就可以求出角度θ來。但學(xué)過三角函數(shù)我們知道，cos任意角的值始終位于-1到1之間，那如果右邊那個式子算出來的時候超出這個范圍怎么辦？這樣一來θ不也就不存在了嗎。

這一想法是非常必要的，因?yàn)槲覀兊捕x一個東西，它得有意義才行，如果沒有意義的話就不能定義了，幸運(yùn)的是我們可以解決這個問題。這就要用到大名鼎鼎的柯西不等式，很多人在上奧數(shù)的時候肯定都學(xué)過這個不等式：

由這個定理保證，右邊式子的分子的絕對值一定是小于等于分母的絕對值的，因此整個分?jǐn)?shù)算出來一定是位于-1到1之間的，這樣一來，我們的定義也就是有意義的了。

再多說一句，柯西不等式其實(shí)是更廣泛意義上的一個不等式的特例，1821年，柯西首次提出了這個不等式，1859年，俄國數(shù)學(xué)家布涅科夫斯基提出了它的積分形式，而到了1888年，法國數(shù)學(xué)家施瓦茨給出了積分形式的證明，因此這個不等式的全稱就叫做柯西-布涅科夫斯基-施瓦茨不等式(Cauchy-Buniakowsky-Schwarz inequality)。

有了線性運(yùn)算，我們就可以得到運(yùn)算結(jié)構(gòu)，有了長度與夾角，我們就可以得到幾何結(jié)構(gòu)。既有運(yùn)算結(jié)構(gòu)，也有幾何結(jié)構(gòu)，那么我們對高維空間的認(rèn)識就比較清楚了。當(dāng)然這個認(rèn)識仍然是高度抽象的，不過數(shù)學(xué)本來就是研究抽象形式的學(xué)科，剝離掉表象只保留形式，這在數(shù)學(xué)中是普遍存在的。

5.邁向無窮

數(shù)學(xué)的發(fā)展是無窮無盡的，數(shù)學(xué)家們在研究完n維空間之后，又將目光投向了更高的維數(shù)——無窮維空間。提到這個詞，估計很多小伙伴就更懵了：天吶，維數(shù)還能是無窮嗎？無窮維空間長什么樣子，又如何理解呢？其實(shí)這個道理很好理解，既然維數(shù)的定義是一組基包含的向量的個數(shù)，那如果一組基中包含無窮多個向量，它不就是無窮維的嗎。

或者換一種更專業(yè)的說法：若一個空間中任意有限多個向量都不能構(gòu)成該空間的一組基，則該空間是無窮維空間。

那么真的存在無窮維空間嗎？物理上當(dāng)然是無法想象的，但是數(shù)學(xué)上這種例子隨處可見。比如我們在高等數(shù)學(xué)里面學(xué)過所謂的傅里葉級數(shù)(Fourier series)。

其中的所有三角函數(shù)：

其實(shí)就是一組基，因?yàn)樗鼈冎g不能夠相互表示。

當(dāng)然，無窮維空間中最著名的還是所謂的希爾伯特空間(Hilbert space)。

希爾伯特(David Hilbert，1862～1943)出生于德國，是20世紀(jì)最偉大的科學(xué)家之一，他因1900年提出著名的23個“數(shù)學(xué)問題”被譽(yù)為20世紀(jì)“數(shù)學(xué)的指路人”。希爾伯特在研究積分方程的時候，專門研究了一類無窮維的線性空間。1929年，美籍匈牙利數(shù)學(xué)家馮·諾依曼(John von Neumann，1903～1957)首次在其著作中使用了“希爾伯特空間”這個詞，從此便被廣泛應(yīng)用。

希爾伯特空間的思想其實(shí)也是很容易理解的，它利用公理化的方法定義了兩個向量的數(shù)乘，稱為“內(nèi)積”(inner product)，并利用和上面提到的完全相同的方法，定義了長度和夾角，從此使整個空間具有了幾何結(jié)構(gòu)，同時這種空間又?jǐn)[脫了維度的限制，因此將無窮維空間也納入進(jìn)來。希爾伯特空間在量子力學(xué)中有著非常重要的應(yīng)用。

6.展望

人們對維數(shù)的研究似乎可以到此為止了，長久以來數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家也是這么想的，但是故事還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有結(jié)束。

20世紀(jì)70年代，法國數(shù)學(xué)家曼德布羅(Benoit B. Mandelbrot，1924～2010)發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)立了一種全新的幾何學(xué)——分形幾何(fractal geometry)，打開了一扇新世界的大門。

在分形幾何中，圖形的維數(shù)甚至可以不是整數(shù)，比如分?jǐn)?shù)，無理數(shù)等等。我們甚至創(chuàng)造出了1.5維，根號2維，ln3維的圖形，不得不讓人感嘆，數(shù)學(xué)世界真奇妙！

數(shù)學(xué)家對高維空間的研究依然遵循了數(shù)學(xué)中的傳統(tǒng)套路，即從具體到抽象，從感性到理性，從現(xiàn)實(shí)到形式。從一般的看得見摸得著的二維三維空間入手，往上發(fā)展出了高維甚至無窮維與分?jǐn)?shù)維空間，到這一步的時候，數(shù)學(xué)已經(jīng)高度抽象化與形式化。而處理抽象與形式對象使用的最好的方法便是公理化，這是從古希臘時期歐幾里得的《幾何原本》繼承下來的，一直到今天依然發(fā)揮著巨大的威力。

參考文獻(xiàn)

[1] Linear Algebra and Its Applications，David C. Lay，Pearson.

[2] Precalculus, Tenth Edition, Michael Sullivan, Pearson.

[3] 《高等代數(shù)》，第三版，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)與幾何教研室前代數(shù)小組，北京，高等教育出版社

[4] 《工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)》，第五版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，北京，高等教育出版社

本文參加【科學(xué)V計劃】，內(nèi)容為作者原創(chuàng)