6、立體角有用處

人們更習(xí)慣使用平面的角度概念，而一般不太熟悉立體角的內(nèi)涵。但是實(shí)際上，立體角是客觀事物的一種重要的空間形式，許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的研究都涉及到它，或者涉及與它密切相關(guān)的多面體。

球面天文學(xué)上，用立體角概念描述星座或其它天體區(qū)域的“大小”。全天區(qū)被88個(gè)星座分為88個(gè)大小不等的立體角區(qū)域，相關(guān)圖、表易從網(wǎng)上搜到；根據(jù)笛卡兒解析幾何，整個(gè)歐幾里得氏空間分為8個(gè)卦限，因此每個(gè)星座所占據(jù)的立體角平均為一個(gè)卦限的11分之1；

據(jù)歷史記載，公元前3000年，地中海沿岸的迦勒底文明中就有了關(guān)于天空區(qū)域的神話(huà)傳說(shuō)。根據(jù)天文學(xué)家依巴谷(Hipparchus，或譯喜帕恰斯)的著作——《評(píng)論》(The Commentary，前147年)，希臘詩(shī)人阿拉托斯(Aratus)的長(zhǎng)詩(shī)《物象》(Phaenomena，前275年)使這些傳說(shuō)家喻戶(hù)曉，而阿拉托斯的詩(shī)絕大部分是由更早的歐多克斯(Eudoxus)的同名著作(前366年)改編而來(lái)。托勒密(Ptolemy)的《天文學(xué)大成》(The Almagest，公元150年) 等古籍保存了有關(guān)希臘天空的最早描述，其中記錄的星座已經(jīng)成形。1922年，國(guó)際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)(IAU)正式確定了88個(gè)星座的名稱(chēng)，其中很大一部分出自托勒密《天文學(xué)大成》。

我國(guó)古代對(duì)天區(qū)的劃分有不同的系統(tǒng)，如三垣(太微、紫微、天市)、四象(青龍、朱雀、白虎、玄武)、二十八宿等，其中有的區(qū)域邊界和“面積”不太明晰，這里就不另列表細(xì)述了。

觀察標(biāo)明恒星星等的天球圖，容易注意到亮星分布不均，一半以上3等以上較亮星集中分布在不足全天1/4的空間區(qū)域（立體角）內(nèi)，猶以南天極星圖為明顯，故可推測(cè)，太陽(yáng)系外圍相當(dāng)大的空間區(qū)域內(nèi)，天體質(zhì)量的立體角分布不均，因而太陽(yáng)系除繞銀心公轉(zhuǎn)及復(fù)雜的“自轉(zhuǎn)”外，還可能有另一種方向的運(yùn)動(dòng)，與周?chē)祗w質(zhì)量的立體角分布“重心”有關(guān)。這種顯著不均衡的分布和特殊運(yùn)動(dòng)是否也會(huì)影響到太陽(yáng)系內(nèi)、包括地球的物理系統(tǒng)呢？

地學(xué)上，經(jīng)度、緯度網(wǎng)事實(shí)上也是劃分立體角區(qū)域的邊界；參見(jiàn)1.2及表2；物理上，引力場(chǎng)、靜電場(chǎng)、電磁及熱輻射等等都與立體角有關(guān)。

顯然，離開(kāi)對(duì)立體角的理解，難以充分認(rèn)識(shí)許多自然現(xiàn)象，對(duì)客觀世界的空間形式、幾何美的感悟也有缺憾。

7、自然界中的多面體

自然界就有四面體、六面體和八面體，化學(xué)/地質(zhì)上，許多晶體就是這樣，其結(jié)構(gòu)自然地顯現(xiàn)正四、六、八面體輪廓。例如：全硫銻酸鈉結(jié)晶、甲烷、水或冰雪的分子結(jié)構(gòu)大致為正四面體形式，食鹽等許多礦物晶體為正六面體，鉻礬、明礬晶體為正八面體，正十二面體或五角十二面體是黃鐵礦的一種可能的晶體結(jié)構(gòu)。力學(xué)上會(huì)分析到八面體應(yīng)力。

生物學(xué)上，病毒結(jié)構(gòu)為正二十面體，蜂巢底部在結(jié)構(gòu)上與正四面體一致。放射蟲(chóng)、有孔蟲(chóng)、珊瑚等都或明顯或隱約地有多面體結(jié)構(gòu)。5角形的海星、木薯（橫截面視圖形狀）等也與正十二面體和正二十面體是近親。

8、正多面體與八卦及其他

有人把正六面體的8個(gè)頂點(diǎn)與八卦相聯(lián)系，并以（0，0，0）、（1，1，1）等直角坐標(biāo)與八卦對(duì)應(yīng)；其實(shí)也可以以（-1，-1，-1）、（1，1，1）等直角坐標(biāo)與八卦對(duì)應(yīng)，也可以把正八面體與八卦相聯(lián)系。

八卦不止是陰陽(yáng)，它還隱含“3分法、3維”這個(gè)意義，因?yàn)槊控院?/SPAN>3爻，相應(yīng)于23=8。三維空間中任一平面，其法線(xiàn)矢量的3軸分量相應(yīng)于一卦的3爻；如果把一卦的3爻視為一個(gè)三角形的3棱或3頂點(diǎn)，則八卦可對(duì)應(yīng)于一個(gè)正八面體；如果把一卦的3爻視為一個(gè)三面角的3棱或3面，則八卦可對(duì)應(yīng)于一個(gè)正六面體。

四象、四時(shí)、四方等，一定程度上可與正四面體的面或頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。五行、五音、五臟等，可與正十二面體和正二十面體中的五邊形或五面角相關(guān)聯(lián)。12平均律、黃道12宮、12地支等亦可能與正十二面體和正二十面體關(guān)聯(lián)。但也不能無(wú)限制地牽強(qiáng)比附，例如四時(shí)有先后順序，而正四面體的面或頂點(diǎn)則沒(méi)有。

9、一道數(shù)學(xué)題（前面已另有小文發(fā)布，此處略去）

參考文獻(xiàn)：

1.歐幾里得《幾何原本》（第13卷），燕曉東編譯，人民日?qǐng)?bào)出版社2005年版；

2.柏拉圖《蒂邁歐篇》，《柏拉圖全集》第3卷，王曉朝譯，人民出版社2003年版；

3..勃拉日哥《球面天文學(xué)教程》，易照華、楊海壽譯，高等教育出版社1954年版；

4.網(wǎng)上資料。