愛德華·洛倫茨（Edward lorenz），在氣象研究中發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象

撰文 | 張?zhí)烊兀绹轮荽髮W(xué)奧斯汀分校理論物理博士）

責(zé)編 | 寒凌旭

審校 | 張雙南（中國科學(xué)院高能物理研究所研究員）

          鄭永春（中國科學(xué)院國家天文臺(tái)副研究員）

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上一篇介紹了月亮和地球的“潮汐鎖定”。引力對(duì)于“非質(zhì)點(diǎn)”物體的“潮汐”效應(yīng)使得月球永遠(yuǎn)只將它的一面示于地球，這是月亮自轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)周期以1:1鎖定的結(jié)果。在太陽系的行星及衛(wèi)星中，類似的鎖定例子非常多，并且，鎖定的比例也不見得一定是1:1，可能是3:2、4:3……或許是其它整數(shù)比。還有可能是好幾個(gè)“鎖定”的合成效應(yīng)，那時(shí)需要將多個(gè)整數(shù)比值相加。

由于宇宙（太陽系）是一個(gè)多體系統(tǒng)，只是在一定的情況下，才用二體（或三體）模型來近似，得以方便研究它們而已。牛頓引力的“二體（質(zhì)點(diǎn)）問題”，有很漂亮的、軌道為解析圓錐曲線的精確解。然而，對(duì)三體系統(tǒng)，即使將三天體全當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，大多數(shù)時(shí)候也帶給我們難以解決的數(shù)學(xué)問題，見下文的“龐加萊三體問題”。如果再將天體看成有形狀有大小、會(huì)自轉(zhuǎn)的剛體，便更為復(fù)雜了。但這種復(fù)雜性卻為我們展示了非常有趣的運(yùn)動(dòng)圖景，其中之一便是此篇將介紹的“混沌自轉(zhuǎn)”。

首先簡(jiǎn)要介紹什么是混沌。

科學(xué)界使用“混沌”一詞，描述非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的“不可預(yù)測(cè)性”。這種不可預(yù)測(cè)導(dǎo)致某些看起來“亂七八糟”無規(guī)律的行為。按照二十世紀(jì)之前人們理解的經(jīng)典牛頓力學(xué)，宇宙似乎可以被想象成一個(gè)巨大的機(jī)器，是有序、規(guī)則、可預(yù)測(cè)的。只要初始條件給定了，所有天體將來的運(yùn)動(dòng)都完全可知和可預(yù)測(cè)。但之后的深入研究表明，在很多情況下，初始條件的些微改變，將造成完全不同的結(jié)果，即“差之毫厘，失之千里”。

這個(gè)領(lǐng)域的開創(chuàng)人是美國科學(xué)家愛德華·洛倫茨（1917年-2008年），他在氣象研究中發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)氣象預(yù)報(bào)對(duì)初始條件的無比敏感性。如何直觀地解釋這種敏感性？好比是美國紐約的一只蝴蝶扇了扇翅膀，就可能在大氣中引發(fā)一系列的連鎖事件，從而導(dǎo)致之后的某一天，中國上海將出現(xiàn)一場(chǎng)暴風(fēng)雨！因此，后來人們也將混沌稱為“蝴蝶效應(yīng)”【1】。

蝴蝶效應(yīng)打破了人們精確預(yù)測(cè)未來的幻想，也更為正確地解釋了自然現(xiàn)象。正如美國歷史學(xué)家亨利·亞當(dāng)斯所說：“Chaos was the law ofnature; Order was the dream of man.”，這兒的亞當(dāng)斯不是美國總統(tǒng)，而是兩位總統(tǒng)所屬“亞當(dāng)斯家族”的后代成員之一，他所說“混沌”一詞的意義也有所不同。但是，洛倫茨所發(fā)現(xiàn)的混沌現(xiàn)象，在科學(xué)及人文界的例子屢見不鮮，事實(shí)的確如此：“混沌是常態(tài)，次序只是人們美好的愿望?！?/p>

比如說，生態(tài)學(xué)家羅伯特·梅，在研究昆蟲繁衍的“蟲口”（類似人口）問題時(shí)發(fā)現(xiàn)混沌理論中的分岔現(xiàn)象；金融家們?cè)诜治龉善笔袌?chǎng)數(shù)據(jù)時(shí)也發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象；研究互聯(lián)網(wǎng)及社交網(wǎng)絡(luò)的大數(shù)據(jù)，也能找到混沌。此外，我們每個(gè)人的心跳節(jié)律及腦電波等，都能看到混沌的蹤影。

圖1：圖片來自網(wǎng)絡(luò)。http://www./tutorials/ndc/

甚為有趣的是，醫(yī)學(xué)家們?cè)瓉硪詾椤盎煦纭钡男穆梢苍S與心臟病態(tài)有關(guān)，但后來卻發(fā)現(xiàn)，健康成人的心率曲線是凹凸不平的不規(guī)則形狀，貌似混沌。而癲癇病人和帕金森病患者的心率曲線反而呈現(xiàn)更多的規(guī)則性和周期性行為，表現(xiàn)得更有規(guī)律，如圖1所示。

昂利·龐加萊（Henn Poincare，1854-1912）被公認(rèn)是19世紀(jì)后和20世紀(jì)初的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家，他從三體運(yùn)動(dòng)最早研究了與天文有關(guān)的混沌現(xiàn)象。

圖2：限制性三體問題

龐加萊企圖定性地研究包括小塵埃和兩個(gè)大星球的‘限制性三體問題’，也就是說，小塵埃的質(zhì)量大大小于大星體的質(zhì)量。在這種情形下，兩個(gè)大星球的二體問題可以首先精確求解，大星球1和2相對(duì)作橢圓運(yùn)動(dòng)。龐加萊需要定性描述的只是小塵埃在大星球1和大星球2的重力吸引下的運(yùn)動(dòng)軌跡，但如圖2右圖的曲線所示，一定的情況下，小塵埃的軌道可能是“混沌”的。

單擺是大家所熟悉的，如果擺動(dòng)幅度很小的話，是簡(jiǎn)單、確定、可預(yù)測(cè)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

圖3：?jiǎn)螖[的混沌

如圖3a所示的單擺，當(dāng)角度很小時(shí)，擺動(dòng)頻率是單一的，可以看成是僅由擺長(zhǎng)決定的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相圖是一個(gè)規(guī)則的橢圓（圖3b）。但是在有外力的一定條件下，擺動(dòng)幅度逐漸增大，新的頻率分量將不斷出現(xiàn)，有時(shí)還會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)模式，其振動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)、位置、方向，看起來越來越貌似隨機(jī)和不確定，最后會(huì)過渡到圖3c所示的混沌狀態(tài)。

將一根單擺連接在另一個(gè)單擺的尾部所構(gòu)成的系統(tǒng)叫做雙擺。雙擺構(gòu)造簡(jiǎn)單卻很容易觀察到復(fù)雜的混沌行為，見圖4。

圖4：雙擺的混沌運(yùn)動(dòng)軌跡

在對(duì)混沌理論作出關(guān)鍵貢獻(xiàn)的學(xué)者中，有一位華人科學(xué)家李天巖。李生于福建沙縣，三歲時(shí)隨父母到臺(tái)灣，大學(xué)畢業(yè)后到美國攻讀博士學(xué)位，后來一直在美國密執(zhí)安州立大學(xué)（Michigan State University）數(shù)學(xué)系任教。李天巖定居美國后數(shù)十年，長(zhǎng)時(shí)期與可惡的病魔作斗爭(zhēng)。歷經(jīng)洗腎、換腎、心血管開刀等大手術(shù)十余次。意志力驚人的李天巖，長(zhǎng)年累月在病床上堅(jiān)持研究工作，在應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)中作出了不少第一流開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)【2】。

正是李天巖和他當(dāng)年的博士論文指導(dǎo)教授約克（James A. Yorke），一起創(chuàng)造了混沌（chaos）這個(gè)名字，他們?cè)谘芯柯鍌惔牡摹皻庀蠡煦纭惫ぷ鲿r(shí)，以數(shù)學(xué)家的敏銳直覺，猜測(cè)混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生與周期3有關(guān)，為混沌行為建立了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

周期3是什么意思呢？可以用一個(gè)直觀但也許不十分恰當(dāng)?shù)谋扔鱽斫忉專簬讉€(gè)周期就是幾個(gè)人傳球，周期1時(shí)只有1個(gè)人，丟來丟去還是丟在1個(gè)人手上；周期2就是兩個(gè)人傳來傳去；周期3就三個(gè)人，周期4就是四個(gè)人了。周期1和周期2的結(jié)果是簡(jiǎn)單而可預(yù)測(cè)的，到了3以上，傳球的方式增加到很多種，開始有產(chǎn)生混沌的可能性。

李天巖和約克為混沌取名的文章“周期3即混沌”，使人聯(lián)想到老子的名言：“一生二，二生三，三生萬物?！饼嫾尤R研究的三體問題也有個(gè)“3”，看來，于混沌而言，3的確是一個(gè)關(guān)鍵的數(shù)目！

土星和木星類似，有一個(gè)諸多衛(wèi)星組成的大家庭，這個(gè)家庭是太陽系中最多種多樣的。它已經(jīng)確認(rèn)的衛(wèi)星有62顆，其中有7顆質(zhì)量較大且呈球形，看起來更像“衛(wèi)星”。而其余的大多數(shù)衛(wèi)星奇形怪狀，因?yàn)樗鼈冑|(zhì)量都太小，尚不能靠自身的引力平衡而形成球形，看起來像是許多在土星的天空中游蕩的小石頭。其中有一顆與混沌現(xiàn)象有關(guān)的“小石頭”是土衛(wèi)七（Hyperion），見圖5a。除此之外，看起來美麗的土星環(huán)中還有難以計(jì)數(shù)的“小小石頭”衛(wèi)星。

圖5：土衛(wèi)七

圖5b中所畫的是土衛(wèi)六和土衛(wèi)七圍繞土星轉(zhuǎn)動(dòng)軌道的示意圖，其中的3個(gè)天體大小比例遠(yuǎn)不是真實(shí)情況的比例。就質(zhì)量而言，土星相當(dāng)于95倍地球質(zhì)量，土衛(wèi)六只有0.0225倍地球質(zhì)量，大約只有土星質(zhì)量的萬分之二，而“小石頭”土衛(wèi)七的質(zhì)量，還不到土衛(wèi)六質(zhì)量的萬分之一，見圖6。

別看土衛(wèi)六質(zhì)量只有土星的萬分之二，它可是土星衛(wèi)星中的“老大哥”，完全有資格瞧不起其它所有的“弟弟”，因?yàn)橥列l(wèi)六的質(zhì)量占了所有環(huán)繞土星物體總質(zhì)量的百分之96。即使在整個(gè)太陽系中，土衛(wèi)六的大小也只是僅次于木衛(wèi)三，屈居老二。

不過，土衛(wèi)六的旁邊帶了一個(gè)頗有特色的“小弟弟”，那就是土衛(wèi)七。

圖6：太陽系各行星的主要衛(wèi)星大小比較圖（來自維基百科）

土衛(wèi)七是土衛(wèi)六最鄰近的衛(wèi)星，軌道比土衛(wèi)六稍大。空中漂浮著的土衛(wèi)七粗看起來像個(gè)土豆，長(zhǎng)度大約360公里，直徑270公里，是太陽系中最大的非球體天體之一。不久前美國宇航局的卡西尼探測(cè)器飛過土衛(wèi)七，將它“細(xì)”看了一下，發(fā)現(xiàn)它有一張恐怖的“麻臉”，原來在土衛(wèi)七上布滿了大大小小的遭遇小天體撞擊的隕石坑。也有人將土衛(wèi)七的這種多孔外觀與“海綿”比較，稱其為“海綿衛(wèi)星”。不過，土衛(wèi)七最令人感興趣的是它的混沌旋轉(zhuǎn)。這是什么意思呢？就是將我們剛才介紹的“混沌”概念用在土衛(wèi)七的自轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)速度（周期）上。也就是說，它的旋轉(zhuǎn)周期和方向都在不停地、貌似隨機(jī)地改變著，無法預(yù)測(cè)。

眾所周知，地球自轉(zhuǎn)的周期是24小時(shí)左右，自轉(zhuǎn)軸方向基本固定，與公轉(zhuǎn)平面保持66度34分左右的斜度。地球自轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)軸和周期也會(huì)變化，但非常緩慢，好些年才偏離一點(diǎn)點(diǎn)。所以，我們每天早上看見太陽從東邊升起，下午往西邊落下，晝夜規(guī)則地交替循環(huán)，人體的生物鐘也就跟著運(yùn)轉(zhuǎn)。但是，如果有幾個(gè)宇航員登陸到土衛(wèi)七上面去生活一段時(shí)間，那他們可就慘了。看見太陽下山之后，不知道它什么時(shí)候會(huì)再升起來？也許1小時(shí)，也許幾小時(shí)，也許幾十小時(shí)？都說不準(zhǔn)。也不知道太陽會(huì)從哪個(gè)方向出來？哪個(gè)方向落下？也似乎無規(guī)可循。

因此，天體的混沌自轉(zhuǎn)，對(duì)天體上的生物而言，就是晝夜交替的混沌。

土衛(wèi)七的自轉(zhuǎn)為什么會(huì)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)呢？細(xì)節(jié)原因還有待專家們深入研究，但從混沌現(xiàn)象的一般規(guī)律來說，應(yīng)該是與“三體”有關(guān)。

這三體就是土星、土衛(wèi)六、及土衛(wèi)七。土星的引力束縛使它成為一顆衛(wèi)星，而老大哥土衛(wèi)六的軌道與它靠得很近，影響頗大。兩個(gè)大天體，一個(gè)小天體，有點(diǎn)類似于前面例子中的“龐加萊三體問題”。不同的是，在“龐加萊限制性三體問題”中，小天體的軌道表現(xiàn)混沌，而在土衛(wèi)七的情況，表現(xiàn)混沌的不是它的軌道，是自轉(zhuǎn)特性。

也可以將土衛(wèi)七的混沌轉(zhuǎn)動(dòng)與雙擺的例子類比：土星及土衛(wèi)六對(duì)土衛(wèi)七的強(qiáng)大引力，就像雙擺中的兩根“桿子”。桿子的轉(zhuǎn)角也是混沌的。

土衛(wèi)六的存在也影響到土衛(wèi)七的公轉(zhuǎn)軌道（雖然沒有混沌）。一是使得它的軌道具有較大的偏心率，見圖5b；二是使兩者的軌道產(chǎn)生共振，如圖7b所示。從卡西尼探測(cè)器傳回的數(shù)據(jù)證實(shí)，土衛(wèi)六與土衛(wèi)七有4:3的軌道共振。也就是說，土衛(wèi)六（周期16天）繞土星每轉(zhuǎn)4圈，土衛(wèi)七（周期21.3天）剛好繞土星轉(zhuǎn)了3圈。

圖7：軌道共振

圖7a顯示出一個(gè)太陽系中行星軌道共振的例子：地球和金星的繞日軌道共振為8:13。

我們把話題再回到土衛(wèi)七的自旋混沌。對(duì)太陽系中天體的觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，如果一個(gè)天體偏離球形比較大，即使自轉(zhuǎn)已經(jīng)被中心天體鎖定，它仍然會(huì)產(chǎn)生比較大的搖擺，一邊轉(zhuǎn)一邊擺。就像一個(gè)形狀不對(duì)稱的陀螺，高速旋轉(zhuǎn)時(shí)也免不了擺動(dòng)。土衛(wèi)七離土星的距離比較遠(yuǎn)，軌道的偏心率大，自身形狀不規(guī)則，又被旁邊的土衛(wèi)六強(qiáng)烈影響。多個(gè)因素產(chǎn)生許多不同的共振頻率并互相疊加，結(jié)果造成了它的混沌自轉(zhuǎn)。

很多不規(guī)則的天體都可能有這種混沌運(yùn)動(dòng)，不過觀測(cè)的資料有限，目前觀測(cè)到的自轉(zhuǎn)混沌，除了土衛(wèi)七之外，還有冥王星的幾顆小衛(wèi)星，如圖8所示。

圖8：冥王星和凱倫（或翻譯為卡戎、冥衛(wèi)一）及小行星（圖片來自NASA）

凱倫的質(zhì)量比較大，和冥王星一起被認(rèn)為形成一個(gè)“雙星系統(tǒng)”，這兩個(gè)矮行星影響到周圍的兩顆（或幾顆）小衛(wèi)星，使它們大跳“混沌之舞”。

比如冥衛(wèi)二與冥衛(wèi)三，它們體積較小且形態(tài)不規(guī)則。這兩顆小衛(wèi)星是在新視野號(hào)升空之前由哈勃空間望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)的。新視野號(hào)第一次辨認(rèn)出了它們的輪廓和大型地貌。冥衛(wèi)二長(zhǎng)度只有42千米，寬度36千米；冥衛(wèi)三長(zhǎng)55千米、寬40千米。它們受到冥王星和凱倫復(fù)雜的雙星引力場(chǎng)的影響，加之自身形狀不規(guī)則，新視野號(hào)觀測(cè)到它們正在混沌地翻滾著，自轉(zhuǎn)軸方向和自轉(zhuǎn)周期都不確定【3】。

太陽系中，土星是唯一有混沌轉(zhuǎn)動(dòng)衛(wèi)星的行星。誰對(duì)土星最了解呢？是探測(cè)土星12年的“卡西尼－惠更斯號(hào)”，我們將在下一篇中介紹它。

參考文獻(xiàn)：

【1】《蝴蝶效應(yīng)之謎-走近分形與混沌》，張?zhí)烊兀迦A大學(xué)出版社，2013年7月。