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我們必須知道；我們必將知道——希爾伯特，此語(yǔ)也是他的墓志銘 每所知名的大學(xué)都有它的輝煌時(shí)期。輝煌，對(duì)應(yīng)著的是在某學(xué)科奇跡般的集中大批天才和他們的豐碩成果；還對(duì)應(yīng)著匯聚在他們周圍一大批才華橫溢的學(xué)生，宛若閃爍的星團(tuán)。群星中往往有那么幾顆亮星，耀耀的光芒更加奪目。具有悠久數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的哥廷根大學(xué)有兩大輝煌時(shí)期——高斯（Carolus Fridericus Gauss）時(shí)期（19世紀(jì)上半葉）和克萊因（Felix Christian Klein）-希爾伯特（David Hilbert）時(shí)期（二戰(zhàn)前）。
當(dāng)這些數(shù)學(xué)巨星走進(jìn)哥廷根大學(xué)，同時(shí)也翻開了他們或長(zhǎng)或短一生中最華美的篇章。大師是大學(xué)的靈魂。在大學(xué)小圈子里大師往往不但因?yàn)榇髱煹某晒劽?，而且更?huì)因?yàn)榇髱煹幕蛴腥?、或怪異的個(gè)性而為人津津樂(lè)道。希爾伯特就是一位個(gè)性豐滿、趣味盎然的大師。
希爾伯特有一個(gè)美滿的家庭。好友閔可夫斯基（Hermann Minkowski,1864-1909）——愛因斯坦的老師。在給希爾伯特的一封信中寫到：“我也祝賀夫人為所有數(shù)學(xué)家太太樹立了良好的榜樣，她將令我們永生難忘?！毕柌氐脑S多用來(lái)發(fā)表的論文是他的夫人克特.希爾伯特用她那特有的雋秀筆跡抄寫出的。閔可夫斯基甚至有一次責(zé)備希爾伯特在其著作前的鳴謝名單里沒(méi)提到自己的夫人。 希爾伯特喜歡年輕漂亮的女孩子，他很會(huì)說(shuō)甜言蜜語(yǔ)，經(jīng)常像個(gè)老小孩一樣和她們調(diào)情、嬉鬧。還經(jīng)?？吹剿屯碌哪贻p漂亮的妻子輕快起舞，忘乎所以的時(shí)候甚至?xí)谒齻兊淖齑缴嫌∩弦粋€(gè)深深的吻。一次，在他的生日聚會(huì)上，他雙臂攬著白天為他護(hù)理的年輕護(hù)士坐在隔壁房間。當(dāng)有人催他出去聽專門為他準(zhǔn)備的熱情洋溢的賀詞時(shí)，他說(shuō)：“我更喜歡呆在這里?！辈贿^(guò)，治療他這個(gè)老毛病的猛藥還是夫人。 希爾伯特喜歡一邊散步一邊思考問(wèn)題，他聲稱戶外是他最好的工作場(chǎng)所。于是，他在鄰居的墻上做了一塊很大的黑板，為了便于雨天工作，還在黑板前造了個(gè)防雨棚。有時(shí)候做為工間休息，他會(huì)侍弄一下他庭院里的花草。如果有人來(lái)找他，女仆會(huì)告訴此人，教授不是在黑板前就是在草叢里。 數(shù)學(xué)家赫克（Erich Hecke,1887-1947）早年間在哥廷根做希爾伯特的助手，盡管這個(gè)時(shí)期他每月只能掙到微薄的50馬克（當(dāng)時(shí)折算12.5美元），但他后來(lái)一直認(rèn)為，給希爾伯特當(dāng)助手是他一生中最重要的經(jīng)歷。希爾伯特總是惦記著給他的得力助手爭(zhēng)取更多一點(diǎn)的薪水，一次希爾伯特和文化部長(zhǎng)討論完大學(xué)事物后，總覺(jué)得還有什么事沒(méi)談到，可是又想不起來(lái)了。于是，他打開部長(zhǎng)辦公室的窗戶。對(duì)著樓下等待他的夫人喊道： “卡瑟，卡瑟，我還要給部長(zhǎng)說(shuō)什么事呢？” “赫克?！毕柌胤蛉藨?yīng)道。 希爾伯特回頭對(duì)滿臉驚奇的部長(zhǎng)鄭重的提出了給赫克加薪的要求，并得到了落實(shí)才離去。 “先生們，我不認(rèn)為性別是選擇教師的標(biāo)準(zhǔn)。畢竟，大學(xué)評(píng)議會(huì)不是公共澡堂?！毕柌貫榘Ｃ?諾特（1882-1935）這位女?dāng)?shù)學(xué)家鳴不平。并以自己的名字列出令后人心酸的廣告： 《數(shù)學(xué)物理講座，不變量理論》每周一下午4:00_6:00，免費(fèi)。 埃米.諾特1918年，36歲，猶太人。創(chuàng)立了“諾特定理”從而統(tǒng)一了守恒定理和數(shù)學(xué)變換的對(duì)稱性?！惺芬詠?lái)對(duì)偉大的女抽象理論家。開始時(shí)諾特是個(gè)糟糕的講師，聽課的人越來(lái)越少，但希爾伯特堅(jiān)持告訴大家“諾特的思想是偉大的”。諾特不僅僅是個(gè)關(guān)心學(xué)生學(xué)業(yè)的好老師，她還特別關(guān)心學(xué)生的生活，想想她是無(wú)薪水上課，就更難能可貴了，他的學(xué)生被人們稱作“諾特的孩子”。 后來(lái)成為量子力學(xué)開拓者之一的玻恩在哥廷根寫畢業(yè)論文時(shí)，問(wèn)希爾伯特該如何準(zhǔn)備考試的數(shù)學(xué)部分。希爾伯特很和善地問(wèn)他，哪一部分最沒(méi)有把握。玻恩說(shuō)是“理想理論”。玻恩原以為教授就不會(huì)問(wèn)他這個(gè)方面的問(wèn)題了?？墒?，考試時(shí)希爾伯特提出的所有問(wèn)題幾乎都是圍繞著它來(lái)提問(wèn)的。玻恩后來(lái)問(wèn)希爾伯特為什么會(huì)這樣，教授說(shuō)，“我只想知道你對(duì)一無(wú)所知的問(wèn)題知道多少?！?/p> 有人問(wèn)希爾伯特他認(rèn)為什么技術(shù)最重要，希爾伯特平靜的回答：“上月球抓蒼蠅。”此人不解問(wèn)“為什么？”希爾伯特指出，在月球上抓住蒼蠅之前，首先要解決相伴隨的周邊技術(shù)，這應(yīng)該包括當(dāng)時(shí)人類面臨的所有技術(shù)難題。又一次有人問(wèn)他，為什么不試試證明費(fèi)馬大定理，這樣能贏得10萬(wàn)馬克的“達(dá)姆斯塔特?cái)?shù)學(xué)獎(jiǎng)?！毕柌卣f(shuō)：“為什么要去殺死一只會(huì)下金蛋的鵝呢？”后來(lái)到了第一次世界大戰(zhàn)，面對(duì)德國(guó)指數(shù)式增長(zhǎng)的通貨膨脹，此獎(jiǎng)變得一文不值了。 希爾伯特是忠實(shí)的“伽利略捍衛(wèi)者”，當(dāng)聽到有人責(zé)難伽利略屈服于教廷而沒(méi)有堅(jiān)持科學(xué)真理時(shí)。希爾伯特氣憤地說(shuō)：“伽利略又不是白癡，只有白癡才相信科學(xué)需要殉難者，宗教也許需要，但科學(xué)結(jié)論到時(shí)候會(huì)自己確立起來(lái)?！?/p>
希爾伯特?fù)碛袕V泛的學(xué)習(xí)興趣，他經(jīng)常去聽很多講座。令一起聽講座的學(xué)生吃驚的是，明明一個(gè)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題，希爾伯特都經(jīng)常反應(yīng)不過(guò)來(lái)而打斷講話者問(wèn)這問(wèn)那。有時(shí)候急得學(xué)生趕忙幫講壇上的那個(gè)人解釋，以使“為什么先生”能明白最粗淺的道理。希爾伯特每次重大的研究方向的轉(zhuǎn)向，都伴隨著他對(duì)這個(gè)學(xué)科分支的從頭學(xué)起，并依靠自己的一點(diǎn)點(diǎn)思考，給出比原來(lái)已有結(jié)論更加簡(jiǎn)明和更豐富的推論。當(dāng)他的興趣轉(zhuǎn)向物理學(xué)時(shí)對(duì)別人說(shuō)：“物理學(xué)對(duì)于物理學(xué)家們來(lái)說(shuō)太難了。”1915年，他比愛因斯坦早五天發(fā)表了與廣義相對(duì)論等價(jià)的數(shù)學(xué)方程。但這沒(méi)有引起優(yōu)先權(quán)之爭(zhēng)，他把廣義相對(duì)論的全部榮譽(yù)都?xì)w于愛因斯坦。 希爾伯特還是個(gè)熱情、動(dòng)人的演說(shuō)家。據(jù)說(shuō)，他有個(gè)才華橫溢的學(xué)生給他遞交了一份關(guān)于黎曼猜想的證明論文。雖然這個(gè)證明是錯(cuò)的，希爾伯特還是被這個(gè)學(xué)生有趣的思路所吸引。第二年這個(gè)學(xué)生突然疾病死亡了，滿懷惋惜之情的教授希望能在葬禮上做一個(gè)簡(jiǎn)短的發(fā)言，以慰籍逝者的親屬。他講話開始時(shí)首先表示了悲痛和對(duì)死者親人的慰問(wèn)之情。然后，話題一轉(zhuǎn)說(shuō)：“盡管這個(gè)學(xué)生的證明有錯(cuò)，但如果沿著他的思路走下去，應(yīng)該會(huì)得到更多的成果。令，為復(fù)變量z的函數(shù)，我們考慮到……”眾人皆倒。 希爾伯特雖然是天才的演說(shuō)家，但卻經(jīng)常被掛在黑板前，面對(duì)課程問(wèn)題而不知所措，哥廷根大牌教授上課喜歡只帶少數(shù)幾頁(yè)提綱，課程內(nèi)容當(dāng)堂推導(dǎo)。每到這時(shí)候，他都大度的揮揮手表示，這個(gè)問(wèn)題太容易了不值得浪費(fèi)時(shí)間。好在他的助教都很能干，在課后為他把缺失的那一部分補(bǔ)齊。 希爾伯特說(shuō)：“有時(shí)一個(gè)人的寬廣胸懷會(huì)變得越來(lái)越小，當(dāng)半徑趨于零時(shí)，他也就萎縮成了一點(diǎn)，而這一點(diǎn)就是他本人的看法?！?/p> 有些歷史悠久的大學(xué)經(jīng)常要求數(shù)學(xué)和物理教師互換代課。興趣廣泛的希爾伯特又經(jīng)常往哥廷根大學(xué)物理研究所跑，希望看看有什么有趣的東西值得關(guān)注。一天，希爾伯特慌慌張張地沖進(jìn)數(shù)學(xué)研究班，對(duì)他的數(shù)學(xué)同事們大嚷：“你們還在這里坐著談?wù)摤嵥榈男?wèn)題！我剛從物理研究所過(guò)來(lái)，人家正在做偉大的事情呢！”那是1925年，在物理研究所玻恩和海森堡正在教授量子力學(xué)。 1902年柏林大學(xué)的?？怂谷ナ?，大學(xué)有意讓希爾伯特接替這一職務(wù)。這個(gè)消息傳到了希爾伯特學(xué)生們的耳朵里，大家都惴惴不安的期望得到教授明確的回答。而希爾伯特好像對(duì)這個(gè)去留問(wèn)題不置可否。但學(xué)生們明顯感覺(jué)教授上課不如以前用心了，還經(jīng)常遲到。這期間他還頻繁地去柏林。種種跡象表明，希爾伯特要離開哥廷根了。哥廷根大學(xué)為了挽留希爾伯特做了最大的努力并表示出極大誠(chéng)意。希爾伯特開出留下來(lái)的條件是：增設(shè)一個(gè)數(shù)學(xué)教習(xí)。就這樣教授利用了狡猾的外交手段為學(xué)生們請(qǐng)來(lái)了天才的閔可夫斯基。 好友閔可夫斯基（Hermann Minkowski,1864-1909）突然感到闌尾疼得很厲害，到晚上才發(fā)現(xiàn)需要?jiǎng)邮中g(shù)。第二天情況更加惡化。他知道自己沒(méi)希望了。他想對(duì)希爾伯特表示對(duì)自己糟糕命運(yùn)的遺憾，因?yàn)樗胱龈嗟氖虑?。他還想到自己不能聽希爾伯特在即將開始的數(shù)學(xué)講習(xí)班講華林（Waring）問(wèn)題的課了。1909年1月12日，星期二，中午，閔可夫斯基想見家人和希爾伯特。希爾伯特趕到醫(yī)院時(shí)，溫柔敦厚的閔可夫斯基已經(jīng)離開了人世。
希爾伯特的數(shù)學(xué)課是向?qū)W生們展示了“活”的數(shù)學(xué)，教授不是特別注重學(xué)生的天賦，而是強(qiáng)調(diào)里希登堡的名言，“天才就是勤奮”。在學(xué)生心目中，“希爾伯特就像一位穿雜色衣服的風(fēng)笛手，用甜蜜的笛聲引誘一大群老鼠跟著他走進(jìn)數(shù)學(xué)的深河?！?/p> 希爾伯特憎惡一切政治的、種族的和傳統(tǒng)的偏見，并身體力行的與之抗?fàn)帯Ｏ柌毓_指責(zé)第一次世界大戰(zhàn)時(shí)德國(guó)政府為戰(zhàn)爭(zhēng)辯護(hù)的“宣言”，并拒絕簽字，為此他受到了很多愛國(guó)者的責(zé)難。愛因斯坦也沒(méi)有簽字，但因?yàn)閻垡蛩固巩?dāng)時(shí)是瑞士國(guó)籍，所以沒(méi)受到太多的沖擊。到二戰(zhàn)時(shí)希爾伯特毫不隱瞞自己對(duì)希特勒的“排猶運(yùn)動(dòng)”得憤慨。眼看著一個(gè)個(gè)天才的猶太數(shù)學(xué)家紛紛離開哥廷根，當(dāng)納粹教育教育部長(zhǎng)問(wèn)他哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)情況時(shí)，希爾伯特大叫：“數(shù)學(xué)？哥廷根已經(jīng)沒(méi)有數(shù)學(xué)了！” 希爾伯特問(wèn)題 1900年希爾伯特在巴黎第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，后來(lái)被稱作“希爾伯特問(wèn)題”，這些問(wèn)題列出了當(dāng)是數(shù)學(xué)界亟需解決的問(wèn)題，并激發(fā)了數(shù)學(xué)家們的熱情和想象力。此后，這些問(wèn)題幾乎成了檢閱數(shù)學(xué)重大成就的指標(biāo)。希爾伯特去世（1943年）后，德國(guó)《自然》雜志發(fā)表了這樣的觀點(diǎn)：“現(xiàn)在世界上難得有一位數(shù)學(xué)家的工作不是以某種途徑導(dǎo)源于希爾伯特的工作。他像是數(shù)學(xué)世界的亞歷山大，整個(gè)數(shù)學(xué)版圖上，留下了他那顯赫的名字。”為了表示對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)偉人跨越時(shí)空的敬意，我們列出“希爾伯特問(wèn)題”如下：
這里我們不準(zhǔn)備對(duì)“希爾伯特問(wèn)題”做全面專業(yè)性評(píng)述（也超出了本文作者的能力水平，有興趣可以參看專業(yè)網(wǎng)站內(nèi)容），我們只大約介紹幾個(gè)關(guān)于“希爾伯特問(wèn)題”的有趣話題。 這些問(wèn)題中第2個(gè)和第10個(gè)問(wèn)題后來(lái)影響最大。它不僅僅是數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題，而是數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)的問(wèn)題：數(shù)學(xué)能證明什么？ 這個(gè)問(wèn)題分為三部分。 第一、數(shù)學(xué)是不是完備的？也就是說(shuō)，是不是所有數(shù)學(xué)命題都可以用一組有限的公理證明（或證否）。例如，“三角形內(nèi)角和是180°”命題，任何上過(guò)初中幾何的人都知道，用平行公理很容易證明。關(guān)鍵是：是不是存在某個(gè)公理系統(tǒng)（條條可以很多，但要有限），能證明所有數(shù)學(xué)真命題。 第二、數(shù)學(xué)是不是一致的？換句話說(shuō)，是不是可以證明的都是真命題？如果要是有誰(shuí)能證明出1+1=3，那對(duì)數(shù)學(xué)整個(gè)體系來(lái)說(shuō)可就麻煩大了！ 第三、是不是所有命題都是數(shù)學(xué)可判定的？也就是說(shuō)，有限而明確的數(shù)學(xué)步驟能告訴我們所有命題的真假嗎？這就是有名的“判定問(wèn)題”。 希爾伯特本人很有信心，正如本文開篇語(yǔ)一樣，他斷言：“不存在不可解的問(wèn)題”。然而，這個(gè)樂(lè)觀的結(jié)論非常短命，在此斷言發(fā)出的同一個(gè)會(huì)議里，25歲的天才哥德爾用優(yōu)美的證明告訴大家“如果數(shù)學(xué)是一致的，那么它就是不完備的?！边@一證明對(duì)數(shù)學(xué)界來(lái)說(shuō)無(wú)疑是顛覆性的，“數(shù)學(xué)喪失了它那原有的孤傲的確定性！”人們腦海中不禁會(huì)產(chǎn)生一個(gè)深刻的哲學(xué)問(wèn)題：“喪失確定性的數(shù)學(xué)還能用來(lái)描述這個(gè)世界嗎？”不過(guò)，進(jìn)入上世紀(jì)60年代后，數(shù)學(xué)漸漸恢復(fù)了元?dú)?，?shù)學(xué)的信心重建很大程度上來(lái)自于物理學(xué)。物理學(xué)家告訴數(shù)學(xué)家，“用喪失確定性的數(shù)學(xué)來(lái)描述這個(gè)世界目前還沒(méi)發(fā)現(xiàn)不相容的情況。” “希爾伯特問(wèn)題”最先得到解決的是第3個(gè)問(wèn)題，希爾伯特的學(xué)生，22歲的德恩，在問(wèn)題提出當(dāng)年已經(jīng)部分解決了這個(gè)問(wèn)題，第二年此問(wèn)題完全解決，是“希爾伯特問(wèn)題榮譽(yù)家族的第一人”。 和其他預(yù)言家一樣，希爾伯特也具有蹩腳預(yù)言的本領(lǐng)，希爾伯特在1920年的一次演講中為舉例說(shuō)明，“有的問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，實(shí)際非常困難”。他舉的例子是，黎曼猜想、費(fèi)馬大定理、和的超越性。他說(shuō)：“我也許能活著看到黎曼猜想的解決；如果在座的同學(xué)活得足夠長(zhǎng)或許能看到費(fèi)馬大定理的解決；但和的超越性證明我們所有人都無(wú)望看到?！?3歲的西格爾聽了教授的演講后，用了10年，利用俄羅斯數(shù)學(xué)家蓋爾豐德的某些關(guān)于超越性研究工作的成果，一舉證明了的超越性。而費(fèi)馬大定理直到1995年才被英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯證明。黎曼猜想至今仍沒(méi)有解決。 |
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