數(shù)學(xué)世界的亞歷山大——數(shù)學(xué)家希爾伯特

瀟湘書院615 2015-09-08

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好玩的數(shù)學(xué)

也正如亞歷山大這位顯赫的君主在遼闊的歐亞大陸上留下曠世戰(zhàn)功，這位年輕人窮盡畢生心血和才華，在廣闊的數(shù)學(xué)領(lǐng)域里縱橫捭闔，遍及現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎所有的前沿陣地，在整個數(shù)學(xué)的版圖上，到處都刻下他那光輝的名字。他就是數(shù)學(xué)世界的亞歷山大——大衛(wèi)·希爾伯特！

蘋果樹下的思考

歐洲有個古老的傳說：一輛著名的戰(zhàn)車，被一根山茱萸樹皮編制的繩索牢牢地捆住了。你要想取得統(tǒng)治世界的王位嗎？那就必須解開這個繩結(jié)。無數(shù)聰明、強悍的勇士滿懷希望而來，垂頭喪氣而去，因為繩結(jié)盤旋纏繞，繩頭隱藏難尋。一天，亞歷山大也慕名來到這里，他略略思索一下，便果斷地抽出寶劍，一劍把繩截成兩段。難解的繩結(jié)就這樣輕而易舉地被“解開”了。亞歷山大因此享有對整個世界的統(tǒng)治權(quán)。

1888年9月6日，人們驚喜地獲悉：十多年來許多數(shù)學(xué)家為之奮斗的著名難題——果爾丹問題，終于被一位當(dāng)時尚名不見經(jīng)傳的青年人攻克了。他運用的方法和途徑是那樣的出人意料、令人折服，就像亞歷山大解開繩結(jié)一樣；也正如這位顯赫的君主在遼闊的歐亞大陸上留下曠世戰(zhàn)功，這位年輕人窮盡畢生心血和才華，在廣闊的數(shù)學(xué)領(lǐng)域里縱橫捭闔，遍及現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎所有的前沿陣地，在整個數(shù)學(xué)的版圖上，到處都刻下他那光輝的名字。他就是數(shù)學(xué)世界的亞歷山大——大衛(wèi)·希爾伯特！

哥尼斯堡是德國一座古老而美麗的城市，康德、哥德巴赫是這座城堡的榮譽和驕傲，著名的七橋問題更使之名揚歐洲。1862年1月23日，希爾伯特就誕生在這座富有學(xué)術(shù)傳統(tǒng)的城市里。受家庭的熏陶，早在中學(xué)時代，希爾伯特對數(shù)學(xué)就表現(xiàn)出濃厚的興趣，并立志把數(shù)學(xué)作為自己奮斗的專業(yè)。

1880年秋，希爾伯特進(jìn)入哥尼斯堡大學(xué)。這里的學(xué)術(shù)空氣濃厚而且自由，非常適宜希爾伯特的生活習(xí)性和學(xué)習(xí)要求。這段時間內(nèi)，他同兩位年輕的數(shù)學(xué)家的交往使他受益終生。一位是比他大3歲的胡爾維茨，在希爾伯特還是學(xué)生時，這位見多識廣的青年就已是副教授；另一位是閔可夫斯基，雖比希爾伯特小兩歲，但已榮獲巴黎科學(xué)院大獎而名揚國際。他們?nèi)灰惑w，情投意合。他們每天下午“準(zhǔn)5點”相會于校園旁邊的蘋果樹下，互相交流彼此的學(xué)習(xí)心得、制訂計劃、探索未知領(lǐng)域。對于每一個重大問題，他們總是分頭準(zhǔn)備、認(rèn)真思考，并各抒己見，有時也會爭得面紅耳赤。據(jù)說，曾有一位前來哥尼斯堡大學(xué)訪問的外地學(xué)者，這天偶然經(jīng)過蘋果園，忽然聽到里面?zhèn)鞒鰩讉€人互不相讓的爭吵聲，他駐足而觀，發(fā)現(xiàn)三位年輕人比比劃劃，旁若無人。這位好心的人覺得有必要去勸解一下，但馬上就知道自己的擔(dān)心是多余的。那正是希爾伯特三人在討論問題。

蘋果樹下的小路清晰地向遠(yuǎn)方延伸。他們通過日復(fù)一日的無數(shù)次散步，漫游了數(shù)學(xué)世界的每一個角落。這種數(shù)學(xué)家們特有的學(xué)習(xí)方式給他們其中的每一位帶來了希望、成功和友誼。

蘋果樹下的散步使希爾伯特利用有趣而又容易接受的學(xué)習(xí)方式像海綿吸水那樣接受數(shù)學(xué)知識，并以最簡潔、快速的方法到達(dá)數(shù)學(xué)研究的前沿陣地。胡爾維茨淵博、系統(tǒng)的知識，閔可夫斯基快捷、靈敏的思維，無不令希爾伯特如醉如癡，也激勵著他更加如饑似渴地學(xué)習(xí)、思考。這段時光為希爾伯特打下了牢固而全面的基礎(chǔ)，他也因之能在以后的歲月里頻頻出擊，并獲得數(shù)學(xué)麥加——哥廷根大學(xué)的教授席位。

善疑好問會將學(xué)習(xí)引向深入，開放性的學(xué)習(xí)方式有利于塑造創(chuàng)造性的品質(zhì)，相互影響、彼此促進(jìn)的環(huán)境是培養(yǎng)人才群體的基本要素。這是“蘋果樹下的散步”給予的啟迪。難道我們今天的教育、教學(xué)就不可以有所借鑒嗎？

新世紀(jì)的問題

巴黎圣母院的鐘聲迎來了20世紀(jì)。1900年，人們都把眼光放在未來：科學(xué)家憧憬著驚人的突破，藝術(shù)家在追逐時代的潮流……8月6日，第二屆國際數(shù)學(xué)家大會在巴黎開幕了。會議第三天，38歲的希爾伯特作為全世界最具名望的數(shù)學(xué)家，健步登上了講臺。

人們以為，這位大才的數(shù)學(xué)大師，一定會拿出優(yōu)異的數(shù)學(xué)論文，來回答國際數(shù)學(xué)界，作為他獻(xiàn)給新世紀(jì)的禮物。不料希爾伯特一開口就問道：“有誰不想揭開未來的面紗，探索新世紀(jì)里我們這門科學(xué)發(fā)展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數(shù)學(xué)思潮將追求什么樣的特殊目標(biāo)？在廣闊而豐富的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)域，新世紀(jì)將會帶來什么樣的新方法和新成就？”他那明亮的藍(lán)眼睛里射出純真而堅定的光芒，鏗鏘有力的聲音在整個大廳里回蕩，敲擊著每一個與會者的心。這是一個多么激動人心的演講??！

希爾伯特向與會的200多名數(shù)學(xué)家，也向國際數(shù)學(xué)界提出了23個問題，預(yù)示了新世紀(jì)整個數(shù)學(xué)的發(fā)展方向。希爾伯特的演說轟動了國際數(shù)學(xué)界，使這次大會成為數(shù)學(xué)史上一個重要里程碑。大批數(shù)學(xué)家投入到解決希爾伯特問題的激流中來。人們普遍認(rèn)為，一個數(shù)學(xué)工作者只要解決了其中的任何一個或一部分，都是對數(shù)學(xué)科學(xué)的重大貢獻(xiàn)。而隨著這些問題的解決，必將大大推動20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展?，F(xiàn)在，時光已過去90多年，事實證明，希爾伯特所提出的問題確已成為新世紀(jì)的方向，圍繞這些問題也確實形成了許多新的數(shù)學(xué)分支。希爾伯特的這次高瞻遠(yuǎn)矚的演講被稱為新世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的指南導(dǎo)航圖。

一位科學(xué)家如此自覺、如此集中地提出一大批問題，并持久而深刻地影響一門科學(xué)的發(fā)展，在科學(xué)史上確是極為罕見的。這不僅需要過人的膽識、崇高的使命、精深的造詣，還要具備“領(lǐng)袖”般的大將風(fēng)范！而希爾伯特就屬于這類為數(shù)不多的人物。

從一個領(lǐng)域馬不停蹄地轉(zhuǎn)向另一個領(lǐng)域，是希爾伯特科學(xué)研究的顯著特點。在他看來，既然在這個領(lǐng)域里他的主要工作已經(jīng)結(jié)束，留下的細(xì)節(jié)就可由其他人完成，只有這樣，才能把精力投注于更大的戰(zhàn)役，從中做出新的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。因此，希爾伯特一生中先后涉足不變式理論、代數(shù)數(shù)域理論、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、積分方程、物理學(xué)等領(lǐng)域，并均產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

在每個研究領(lǐng)域中，希爾伯特關(guān)注的不是支叉細(xì)節(jié)，而是重大和關(guān)鍵的問題。提出問題，解決問題，貫徹在希爾伯特研究事業(yè)的始終。他認(rèn)為：“只要一門科學(xué)分支中充滿大量問題，它就充滿生命力，缺少問題則意味著死亡或獨立發(fā)展的中止。”在解決問題的道路上，既有鍥而不舍，不達(dá)目的決不罷休的毅力，又有突破陳規(guī)陋習(xí)、靈活變通的技巧。

希爾伯特的成就使人目瞪口呆。在世紀(jì)之交的時候，人們看到了一位站在新世紀(jì)起跑線上的帶頭人。毫無疑問，科學(xué)需要這樣的無畏探索者，科學(xué)界需要這種挺進(jìn)不止的領(lǐng)袖。

出色的老師

希爾伯特偉大的才能和熱情、真誠的天性，引來了各地的崇拜者，他“就像穿雜色衣服的風(fēng)笛手，用那甜蜜的笛聲誘惑了如此眾多的老鼠，跟著他跳進(jìn)了數(shù)學(xué)的深河?！?/section>

在一片起伏平緩的綠色丘陵地，哥廷根的紅瓦屋頂顯得分外奪目。自從1895年希爾伯特來這里擔(dān)任教授之后，哥廷根數(shù)學(xué)的黃金時代又形成了。希爾伯特以其真誠的個人素質(zhì)和民主的學(xué)術(shù)作風(fēng)吸引了世界各地的青年人?！按蚱鹉愕谋嘲?，到哥廷根去！”全世界數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，無不向往哥廷根大學(xué)，并以聆聽希爾伯特的教導(dǎo)為榮。

哥廷根大學(xué)的教授有“半個上帝”之稱。但希爾伯特毫無盛氣凌人的優(yōu)越感。他平等待人，以誠相見，尤其喜歡同年輕人相處。他家里隨時都會有前來喝茶、進(jìn)餐、請教問題的學(xué)生。希爾伯特深刻地體會到，青年人身上的批判性、創(chuàng)造性是科學(xué)研究的契機。因此，茶余飯后，希爾伯特又總是領(lǐng)著這些追隨者們到附近的樹林里或山崗上作長時間的散步，討論數(shù)學(xué)、交流思想。

希爾伯特是真正的教師。他特別反對填鴨式的教學(xué)方法，認(rèn)為講課應(yīng)該教會學(xué)生怎樣提出問題和解決問題，講課的目的是要把學(xué)生引進(jìn)科學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，教師應(yīng)該詳細(xì)地闡明困難所在，為學(xué)生解決具體問題“搭一座橋”。因此，希爾伯特的講課大多是臨場發(fā)揮。這時盡管常常會走入迷途，但卻給學(xué)生們提供了一條深刻而又真實的第一流科學(xué)家的思維方式。而按照通常的教學(xué)，學(xué)生們也許在許多年中也不可能見到這么多的數(shù)學(xué)概念和領(lǐng)域。希爾伯特主持的數(shù)學(xué)討論班有著“不可抗拒的魅力”，過道上、窗臺上都擠滿了來自世界各地的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。

希爾伯特慧眼識才，能為學(xué)生仗義執(zhí)言。有一天，希爾伯特收到格羅美的博士論文，文章很有創(chuàng)見，但由于他沒有預(yù)科學(xué)校的畢業(yè)文憑，按規(guī)定，不能授予學(xué)位。希爾伯特不忍心眼看著這位青年人的才華被埋沒，多方奔波，據(jù)理力爭，終于使這位沒有預(yù)科學(xué)校文憑的青年獲得博士學(xué)位。這種事例舉不勝舉。

希爾伯特的真誠和寬宏大量更是眾所周知。外爾是希爾伯特的高足，后來在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的基本觀點上與他產(chǎn)生了嚴(yán)重分歧。但這并沒有影響希爾伯特對外爾杰出才能和良好品德的信念。1922年，哥廷根數(shù)學(xué)研究所成立，此時正值希爾伯特與外爾的追隨者布勞威爾論爭的時刻，而外爾卻收到哥廷根數(shù)學(xué)研究所的邀請函，這是希爾伯特努力爭取的結(jié)果；1932年，希爾伯待選定自己的接班人時，又首先想到了外爾，并親自簽發(fā)邀請書。這種不計私嫌、以才取人的胸懷，贏得了外爾的尊敬和信任，也是后人學(xué)習(xí)的榜樣。

希爾伯特卓越的才華和高尚的品格，使他理所當(dāng)然地成為數(shù)學(xué)界的統(tǒng)帥和領(lǐng)袖，并以他感人的榜樣指引世界各地的莘莘學(xué)子投入到數(shù)學(xué)研究的長河。

敢怒敢言

希爾伯特是沒有國家和種族偏見的人，他經(jīng)常勇敢地面對大多數(shù)人的習(xí)慣勢力和強權(quán)統(tǒng)治，不折不彎，在敢怒敢言中顯其英雄本色。

1914年10月，德國政府為了欺騙國際輿論，不惜采用威逼利誘的方式，讓一批著名科學(xué)家、藝術(shù)家簽名發(fā)表“告文明世界書”，以掩蓋其罪行。希爾伯特作為世紀(jì)之交的數(shù)學(xué)泰斗，影響非凡，因此自然成為當(dāng)權(quán)者爭取利用的重要對象。希爾伯特很清楚與政府作對所帶來的后果，但他從正義和真理出發(fā)，置個人利益于不顧，義正辭嚴(yán)地予以拒絕。當(dāng)“告文明世界書”公布時，人們看到一大串名單中僅少了兩個熟人，一個是愛因斯坦，另一個就是希爾伯特。勇敢的希爾伯特給當(dāng)時正直的人們以巨大的鼓舞。

1916年，埃米·諾特這位卓有才華的青年婦女來到哥廷根大學(xué)。希爾伯特對她的學(xué)識倍加欣賞，立即決定讓她留下來當(dāng)講師，輔助相對論的研究工作。但當(dāng)時歧視婦女的現(xiàn)象相當(dāng)嚴(yán)重，希爾伯特的建議遭到語言學(xué)、歷史學(xué)等教授們的強烈反對。希爾伯特拍案而起，大聲疾呼：“先生們，這里是學(xué)校，不是澡堂！”就因此激怒了他的對手，希爾伯特對此不為所動，毅然決定讓諾特以自己的名義代課。

1917年，法國數(shù)學(xué)家達(dá)布去世。正值德法交戰(zhàn)時期，德國一部分人中的狂熱的民族主義情緒把法國人統(tǒng)統(tǒng)視為敵人。希爾伯特當(dāng)然知道擔(dān)當(dāng)?shù)娘L(fēng)險，但他還是在哥廷根數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表了紀(jì)念達(dá)布的文章。一群受蠱惑的學(xué)生沖到希爾伯特的住處，要希爾伯特低下頭顱，承認(rèn)錯誤。他拒絕了，并要求校方就學(xué)生的無理行為向他道歉，不然他就馬上辭職。校方考慮到哥廷根的事業(yè)和希爾伯特的聲望，最后只得賠禮道歉。

1928年，在意大利召開的國際數(shù)學(xué)家會議向德國發(fā)出大戰(zhàn)以來的首次邀請。但以比貝爾巴赫為代表的所謂“德意志數(shù)學(xué)家”拒絕參加。希爾伯特非常氣憤，他毅然率領(lǐng)了一個由67名數(shù)學(xué)家組成的代表團(tuán)赴會，使德國數(shù)學(xué)家重新回到國際大家庭中。要知道時已66歲的希爾伯特正患有嚴(yán)重的惡性貧血癥，隨時都有倒下的可能！

敢怒、敢言、敢為的希爾伯特以自己的身體力行宣告：任何形式的限制，尤其是民族的限制，都是與數(shù)學(xué)的本質(zhì)格格不入的。數(shù)學(xué)沒有國界，數(shù)學(xué)不分種族！

特定的時代注定了希爾伯特晚年的痛苦。1933年，希特勒上臺后，全面實行法西斯專政。在棍棒和槍口的威逼下，猶太人被趕出了德國。希爾伯特眼睜睜地看著自己的同事、學(xué)生被逼而去，撫今追昔，希爾伯特又能何以待之呢？這位老人在抑郁、孤獨中度過了他的晚年。

希爾伯特去世了，但在數(shù)學(xué)發(fā)展的幾乎所有領(lǐng)域里，都巍然屹立著他那堂堂雄姿；希爾伯特的精神依然激勵后人繼往開來、不斷成功。“我們必須知道，我們必將知道。”這鏗鏘豪邁的語句不僅深深地鐫刻在希爾伯特的墓碑上，而且也永久地回響在全世界科學(xué)工作者的心坎中！

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