杰出的數學家和教育家楊輝

瀟湘書院615 2015-09-08

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楊輝畫像，來自百度百科

楊輝（公元1127年～1279年），字謙光，中國南宋末年錢塘人。中國南宋時期杰出的數學家和教育家。

楊輝撰寫數學著作甚多，有關數學的著作就有五種二十一卷，其中包括《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除算法》二卷（1275年）、《續(xù)古摘奇算法》二卷（1275年）。

楊輝最主要的貢獻主要是在以下幾個方面，首先他在《九章算法纂類》中記載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”；然后繼沈括研究“隙積術”之后，研究了“垛積術”，即關于高階等差數列的解法！同時他還非常注重數學的普及教育，他的許多著作都是為此而編寫的教科書。

楊輝在自己的《詳解九章算術》一書中，把賈憲的這張畫詳實地記錄了下來。后來人們發(fā)現，這個大三角形不僅可以用來開方和解方程，而且與組合、高階等差級數、內插法等數學知識都有密切關系。在西方，直到16世紀才有人在一本書的封面上繪出類似的圖形。法國數學家帕斯卡在1654年的論文中詳細地討論了這個圖形的性質，所以在西方人們稱之為“帕斯卡三角”。

楊輝的《詳解九章算術》記錄了“賈憲三角”

楊輝對數學的一個重大貢獻就是在他的著作中《詳解九章算術》詳實地記錄了賈憲的“開方作法本源圖”，這為中國最早發(fā)明的“賈憲三角”的方法提供了有力的證據。

在學習整理前人的數學成就的過程中，楊輝得到一本好書《黃帝九章算法細草》，現已失傳。這本書是北宋數家賈憲寫的，里面有不少很了不起的成就，賈憲按照書中的樣子描畫了一張圖，叫作“開方作法本源圖”。

賈憲三角

楊輝是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構成規(guī)律的數學家。關于他的這一成就，還流傳著一段有趣的故事。

一天臺州府的地方官楊輝乘轎出外巡游，一路上，前面有銅鑼開道，后面有衙役跟著，很是威風。而坐在轎中的楊輝不時地撩起轎簾，觀看著路邊的風光景色和田地里的莊稼，想著今年的年景。

走著、走著，只見開道的鏜鑼停了下來，前面?zhèn)鱽硪粋€孩子的喊叫聲，接著是衙役大聲的訓斥聲。楊輝忙問怎么回事，差人來報：“這孩子不讓我們過，說等他把題目算完后才讓走，要不就繞道?！?br style="BOX-SIZING: border-box">

楊輝一看來了興趣，連忙下轎走上前來。衙役忙問：“是不是把這個小孩哄走？”楊輝摸著孩子頭問：“為何不讓本官從此處過呀？”小孩回答：“不是不讓過，我是怕你們把我的算式踩掉了，我就想不起來了。”“什么算式？”“就是把1到9的數字分三行排列，不論直著加，橫著加，還是斜著加，結果都是等于15。我們先生讓下午一定要把這道題做好。我正算到關鍵之處?！?br style="BOX-SIZING: border-box">

楊輝連忙蹲下身，仔細地看那孩子的算式，覺得這個數字，曾經在哪兒見到過。仔細一想，原來是西漢學者戴德編纂的《大戴禮》書中所寫的文章中提到過。

楊輝和孩子兩人一起算了起來，直到天已過午，結果都算出來了，他倆才舒了一口氣。然后他們又驗算了一下。在這張表中，各行、各列或對角線上的三個元素相加均為15。

把1到9的數字分三行排列，不論直著加，橫著加，還是斜著加，結果都是等于15。

孩子望著這位慈祥和善的地方官說：“耽擱你的時間了，到我家去吃飯吧！”楊輝一聽，說：“好，好，下午我也去見見你先生。” 孩子望著楊輝，淚眼汪汪，楊輝心想，這一定是有什么原因。他便態(tài)度溫和地問孩子：“到底是怎么回事呀？”

孩子告訴楊輝：原來他并沒有上學，因為他的家中窮得連飯都吃不飽，哪有錢供他去讀書呢！孩子說，他每天給地主家放牛，當先生給學生上課時，他就悄悄地躲在教室的窗外偷聽，今天上午先生出了這道題，他就在這路上認真地計算起來。

楊輝聽了之后，十分感動。這個孩子小小年紀就知道這樣努力地學習知識，實在不易。便對孩子說：“這是10兩銀子，你拿回家去吧。下午你到學校去，我在那兒等你。”下午，楊輝帶著孩子來到學校，他把這孩子的情況跟先生說了一遍，又掏出銀兩，為孩子交了學費。從此這個孩子才能夠正式地坐在教室里跟先生學習，孩子的家人對楊輝更是感激不盡。

教書先生對楊輝的清廉為人非常敬佩，于是他們一起談論起數學。楊輝說道：“方才我和孩子做的那道題好像是《大戴禮》書中的？” 先生笑著說：“是的，《大戴禮》雖然是一部記載各種禮儀制度的文集，但其中也包含著一些數學的知識。這個就是我給孩子們出的數學游戲題。”先生看到楊輝疑惑的神情，又說道：“南北朝的甄鸞在《數術記遺》一書中就寫過：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履，一五居中央。”楊輝默念一遍，發(fā)現他說的正與上午他和孩子擺的數字是一樣的，便問道：“你可知道這個九宮圖是如何造出來的？” 教書先生也不知出處。

“

編者注：上面“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履，一五居中央”叫九宮訣，口訣形象地比喻成一個人，2和4為雙肩，6和8為雙腳，3和7為雙手，帽為9，鞋為1，5在中央。

楊輝回到家中，反復琢磨，一有空閑就在桌上擺弄著這些數字，終于發(fā)現一條規(guī)律。他把這條規(guī)律總結成四句話：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。”就是說：一開始將九個數字從大到小斜排三行，然后將9和1對換，左邊7和右邊3對換，最后將位于四角的4、2、6、8分別向外移動，排成縱橫三行，就構成了九宮圖。

楊輝總結的填九宮的方法（點擊放大查看）

按照類似的規(guī)律，楊輝又得到了“花16圖”，就是從1到16的數字排列在四行四列的方格中，使每一橫行、縱行、斜行四數之和均為34。后來，楊輝又將散見于前人著作和流傳于民間的有關這類問題加以整理，得到了“五五圖”、“六六圖”、“衍數圖”、“易數圖”、“九九圖”、“百子圖”等許多類似的圖。楊輝把這些圖總稱為縱橫圖，并于1275年寫進自己的數學著作《續(xù)古摘奇算法》一書中，并流傳后世。

楊輝是最早研究縱橫圖——幻方的數學家

縱橫圖，也叫幻方，它要求把從1到n2個連續(xù)的自然數安置在n2個格子里，使縱、橫、斜各線上的數字和相等，這其中包含著很深刻的道理。長期以來，人們只把它當作純粹的數學游戲，沒有給予應有重視。隨著近代組合數學的發(fā)展，縱橫圖顯示了越來越強大的生命力，在圖論、組合分析、對策論、計算機科學等領域中，找到了用武之地。13世紀以前，中國數學家只把它看成一種數字游戲，并沒有認真研究它。楊輝卻孜孜不倦地探索幻方的性質。楊輝利用等差級數的求和公式，巧妙地構造出了3階和4階的幻方。對4階以上的幻方，他只給出了圖形而未留下作法，但他所畫的5階、6階乃至10階的幻方全都準確無誤，可見他已經掌握了構成規(guī)律，他并稱10階幻方為百子圖，其各行各列之和為505。楊輝可以說是世界上第一個給出了如此豐富的縱橫圖和討論了其構成規(guī)律的數學家。

在歐洲，這方面的發(fā)現和研究要晚許多，第一個幻方出現在公元130年，也是一個3階圖，與《易經》的洛書不同；在德國版畫家丟勒1514年的名作《憂郁》中，也出現了一個4階幻想，與楊輝舉過的一個例子只是互換了行列。

為開展數學教育，對前人的成果進行精心的總結歸納

從1261年到1275年這15年間，楊輝獨立完成了5種數學著作，包括前文提到的《詳解九章算法》。他的書寫得深入淺出，走到那里都有人請教，因此他也被認為是一位重要的數學教育家。

楊輝的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，他對籌算乘除便捷算法進行了總結和發(fā)展，有的還編成了歌決，如九歸口決。他在《續(xù)古摘奇算法》中介紹了各種形式的'縱橫圖'及有關的構造方法，同時“垛積術”是楊輝繼沈括“隙積術”后，關于高階等差級數的研究。楊輝在“纂類”中，將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類。他非常重視數學教育的普及和發(fā)展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的'習算綱目'是中國數學教育史上的重要文獻。　

楊輝除上述成就外，還分別寫了《日用算法》、《乘除通變本末》和《田畝比類乘除捷法》等書，這為后世的人們了解當時的數學面貌提供了極為重要的資料。楊輝的著作極大地豐富了我國古