角的概念與任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)關系式與誘導公式

二. 本周教學重、難點：

1. 理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進行弧度與角度的換算；掌握任意角的正弦、余弦、正切、余切的概念；了解余切、正割、余割的定義。

2. 掌握同角三角函數(shù)關系的基本關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式。

【典型例題】

[例1] 角的頂點與坐標原點O重合，其始邊與軸的正半軸重合。

（1）若角的終邊上有一點P（）（）求；

（2）已知角的終邊上一點P的坐標為（）（）且，求。

解：（1）   因為

所以當時，點P在第四象限

當時，點P在第二象限

（2）

由，所以

所以當時，，

當時，，

[例2] 已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是R，（1）若，R=，求扇形的弧長交該弧所在的弓形面積。（2）若扇形的周長是一定值，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？

解：（1）設弧長為，弓形面積為，因為，R=10，所以

（2）因為扇形周長，所以，

所以

所以當且僅當，即（舍去）時，扇形面積有最大值

[例3] 設，，求

的值。

解：∵     ∴     ∵

∴

同理，

∴ 原式

[例4] 如圖所示，動點P、Q從點（4，0）出發(fā)沿圓周運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，求P、Q第一次相遇時所用的時間、相遇點的坐標及P、Q點各自走過的弧長。

解：設P、Q第一次相遇時所用的時間是，則

所以（秒），即第一次相遇的時間為4秒

設第一次相遇點為C，第一次相遇時P點已運動到終邊在的位置

則，

所以C點的坐標為（），P點走過的弧長為，Q點走過的弧長為。

[例5]（1）若，求值① ；②

（2）求值。

解：（1）① 原式

② ∵

∴ 原式

（2）∵

又 ∵

∴ 原式

[例6] 已知對于任意實數(shù)，均有，與成立，當時，有，求的值。

解：∵     ∴

∴

∴

∴

∴

∴

[例7] 已知，，，，求與的值。

解：∵     ∴

∴

∴     ∴

∴     ∴     ∵    ∴

∵ 或   當時，

∴     ∴ 或，當時，有同樣的結果

∴ 或，或

[例8] 已知

（1）求的值；

（2）求的值。

解：（1）由，，得

∴

（2）由（1）知

∴

[例9] 已知關于的方程的兩根為，求：

（1）的值

（2）的值

（3）方程的兩根及此時的值

解：

（1）

（2）①式兩邊平方：    ∴

由②：    ∴

（3）當時，原方程變?yōu)?/SPAN>

∴

∴ 或    ∵    ∴ 或

[例10] 已知的面積S滿足，且，與的夾角為

（1）求的取值范圍；（2）求函數(shù)的最小值。

解：（1）①

 ②

：   即

由    ∴     ∴

又為與的夾角    ∴     ∴

（2）

∵     ∴

∴ 即時，的最小值為3

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 若角的終邊與直線重合，且，又P（m，n）是角終邊上一點，且，則等于（    ）

    A.     B.     C. 2    D. 4

2. 若為第三象限的角，那么的值（    ）

    A. 大于零    B. 小于零    C. 等于零    D. 不確定

3. 已知為第三象限角，則所在的象限是（    ）

A. 第一或第二象限                          B. 第二或第三象限

C. 第一或第三象限                          D. 第二或第四象限

4. 對任意的銳角，下列不等關系中正確的是（    ）

A.

B.

C.

D.

5. 若實數(shù)滿足，則的值等于（    ）

    A.     B.     C. 11    D. 9

6. 已知函數(shù)（為非零實數(shù)），且滿足，則的值為（    ）

    A. 6    B. 3    C. 2    D. 不確定

7. 已知，那么的值為（    ）

    A. 6    B. 4    C. 2    D. 0

8. 若，則的值為（    ）

A.     B.     C.     D.

二. 解析題：

1. 設，且不在同一象限，求的值。

2. 已知。

（1）求的值；

（2）求的值。

3.（1）已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的中心角；（2）已知扇形周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才使扇形面積最大？

4. 已知是方程的兩個根中較小的根，求的值。

【試題答案】

一.

1. C

解析：由，知角的終邊在第三或第四象限或軸的負半軸上，而直線在第一、三象限。

故角的終邊在第三象限     ∴

又 ∵ 在直線上    ∴

同時，，可得

由，解得或（舍），故

2. B

    解析：為第三象限的角，∴ ，而，，故其值小于零。

3. D

    解析：特殊值法，取或，則或

4. D

    解析：若，，則可淘汰A、B；若，則可淘汰C。

5. C

解析：∵    ∴     ∴

∴     

6. C

解析：由已知條件得

∴

7. B

解析：∵     ∴    

∴     解得或（舍去）

由，得   ∴

8. B

解析：

二.

1. 解析：（1）當在第一象限，在第二象限時，（），（），則有，

（2）當在第一象限，在第三象限時，，

，則有

（3）當在第二象限，在第三象限時，，

，則有

綜上，得

2. 解析：（1），平方得

整理得    ∵

又 ∵     ∴

故

（2）

3. 解析：（1）設中心角是，半徑是

則或4，故或

（2）設中心角是，半徑是，則

當且僅當，即時，

∴ 當時，扇形面積最大。

4. 解析：∵ 是方程的較小根    ∴ 方程的較大根是

∵    即

∴    解得或，

當時，，

當時，，，不合題意

∴ ，