數(shù)學(xué)分支之十：射影幾何學(xué)

射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過(guò)射影變換后，依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科。一度也叫做投影幾何學(xué)，在經(jīng)典幾何學(xué)中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過(guò)它可以把其他一些幾何學(xué)聯(lián)系起來(lái)。概括的說(shuō)，射影幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支學(xué)科，它是專(zhuān)門(mén)研究圖形的位置關(guān)系的，也是專(zhuān)門(mén)用來(lái)討論在把點(diǎn)投影到直線或者平面上的時(shí)候，圖形的不變性質(zhì)的科學(xué)。

十七世紀(jì)，當(dāng)笛卡兒和費(fèi)爾馬創(chuàng)立的解析幾何問(wèn)世的時(shí)候，射影幾何學(xué)也同時(shí)應(yīng)運(yùn)而生。這門(mén)幾何學(xué)和畫(huà)圖有很密切的關(guān)系，它的某些概念早在古希臘時(shí)期就曾經(jīng)引起一些學(xué)者的注意，歐洲文藝復(fù)興時(shí)期透視學(xué)的興起，給這門(mén)幾何學(xué)的產(chǎn)生和成長(zhǎng)準(zhǔn)備了充分的條件。

射影幾何真正成為獨(dú)立的學(xué)科、成為幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，主要是在十七世紀(jì)。在17世紀(jì)初期，開(kāi)普勒最早引進(jìn)了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)概念。稍后，為這門(mén)學(xué)科建立而做出了重要貢獻(xiàn)的是兩位法國(guó)數(shù)學(xué)家——笛沙格和帕斯卡。

在射影幾何學(xué)中，把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作是“理想點(diǎn)”。通常的直線再加上一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)就是無(wú)窮遠(yuǎn)直線，如果一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。通過(guò)同一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有直線平行。

在引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)直線后，原來(lái)普通點(diǎn)和普通直線的結(jié)合關(guān)系依然成立，而過(guò)去只有兩條直線不平行的時(shí)候才能求交點(diǎn)的限制就消失了。

    由于經(jīng)過(guò)同一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統(tǒng)一了。平行射影可以看作是經(jīng)過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個(gè)圖形映成另一個(gè)圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。

    射影變換有兩個(gè)重要的性質(zhì)：首先，射影變換使點(diǎn)列變點(diǎn)列，直線變直線，線束變線束，點(diǎn)和直線的結(jié)合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說(shuō)明兩個(gè)平面點(diǎn)之間的射影對(duì)應(yīng)。

    在射影幾何里，把點(diǎn)和直線叫做對(duì)偶元素，把“過(guò)一點(diǎn)作一直線”和“在一直線上取一點(diǎn)”叫做對(duì)偶運(yùn)算。在兩個(gè)圖形中，它們?nèi)绻际怯牲c(diǎn)和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對(duì)偶元素，各運(yùn)算改為它的對(duì)偶運(yùn)算，結(jié)果就得到另一個(gè)圖形。

     1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因在愛(ài)爾朗根大學(xué)提出著名的《愛(ài)爾朗根計(jì)劃書(shū)》中提出用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類(lèi)，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而在每一種幾何學(xué)里，主要研究在相應(yīng)的變換下的不變量和不變性。