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資料來自美國G.H.維恩堡等著的《數(shù)理統(tǒng)計(jì)初級教程》（常學(xué)將等譯，太原：山西人民出版社，1986）

《白話統(tǒng)計(jì)（1）：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)》

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定理1：（中心極限定理）假定大量的等容量隨機(jī)樣本都是從同一無限總體采樣的，算出每個樣本的和，并把不同樣本的和放在一起以形成一個新的分布，于是這個新的分布就是漸近正態(tài)的（其中要假定產(chǎn)生這些和的隨機(jī)樣本每個容量是足夠大）。

在傳統(tǒng)概率論教科書上，一般會這么陳述這個定理：

定理1`：（獨(dú)立同分布的中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量X1，…Xn，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差，則隨機(jī)變量之和ΣXi的標(biāo)準(zhǔn)化變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

演示性例子

想像一個很大的箱子，裝滿了小紙條，可供我們無窮無盡地抽取，每張紙條上寫有一個數(shù)字。為簡單起見，假定只有0、1、2三個數(shù)字，且每個數(shù)字出現(xiàn)在每張紙條上的可能性都是1/3。記住，這個箱子里的紙條如此之多，以致我們可以抽取任一數(shù)目的任一種紙條，而不必?fù)?dān)心會改變箱中剩下的各種紙條之間的比例。

箱子有一個小口，通過它，每次可以釋放出一張紙條。箱子還有一個洗牌裝置，這種裝置會把紙條洗得這樣得均勻，以至當(dāng)我們決定抽取一張時，每張紙條有同樣的被釋放出來的機(jī)會。因此，我們的觀察室獨(dú)立的，而且我們的樣本是隨機(jī)的。

現(xiàn)在我們就來抽取等容量的隨機(jī)樣本，假設(shè)每個樣本都包含200張紙條。

我們一張一張地抽取200張紙條。比如頭一張紙條上的數(shù)字是2，第二張紙條的數(shù)字是0，第三張紙條是2，如此等等。假設(shè)構(gòu)成這個第一份樣本的200張紙條上的數(shù)字總和是210，這個和成為所產(chǎn)生的新的分布的第一項(xiàng)。

第二個樣本的200張紙條上的數(shù)字之和比如是194.對大量的樣本，每個樣本都包含200張紙條，重復(fù)這個過程。定理1告訴我們，這種樣本和數(shù)越來越多時，樣本和的分布近似于正態(tài)分布。

如何實(shí)際運(yùn)用定理1

關(guān)于定理1，對被抽取樣本的那個總體沒有要求任何限制。不管被抽取樣本的那個總體，其分布的形狀如何，樣本和的分布都是正態(tài)的。

定理1說明，為什么正態(tài)分布出現(xiàn)在如此多的不同的問題之中。我們用于紙條取樣的那種方法，看來是實(shí)際中特別喜歡使用的一種方法。在每次情況中出現(xiàn)的、構(gòu)成一個正態(tài)分布的那些數(shù)，都可以看作獨(dú)立觀察資料的等容量樣本的和。

例子1?？疾焐鋼魰r圍繞靶子構(gòu)成正態(tài)分布的子彈。每一顆子彈擊中的位置實(shí)際上是許多隨機(jī)影響的和，比如姿勢、風(fēng)向、光線、心理等等。這些因素和諸如此類因素的影響，同時在一位特定射手的身上起作用；且對于不同的射手，它們是不同的。一個射手的得分，表明他的子彈最終射到何處去了，這個得分是那些隨機(jī)影響的樣本之和。具體地，比如每一個射手的分布式70項(xiàng)主要影響之和，因而每一發(fā)子彈的得分，都可以看作是70項(xiàng)的一個樣本和（與70張紙條上的那些數(shù)字的和相對應(yīng)）。這樣一來，不同射手的得分，就可以看作是不同的等容量樣本的和。根據(jù)定理1，子彈得分的分布式正態(tài)的。

例子2?？疾烀總€人的智力水平，也可以當(dāng)作出自不同根源的小影響的和來看待，包括營養(yǎng)、機(jī)會、性格、遺傳等等等等。這么看來，大量的人的智力水平的分布式正態(tài)的。

定理2：（定義1的一個變形，平均數(shù)的中心極限定理）假定，大量的等容量隨機(jī)樣本是從同一無限總體中采集的，算出每一個樣本的平均數(shù)，并把不同樣本的平均數(shù)放到一起形成一個新的分布，于是這個新的分布就是漸近分布的（假定產(chǎn)生這些平均數(shù)的隨機(jī)樣本容量是足夠大的）。

樣本平均數(shù)的集合可以通過樣本和集合直接得到，因此平均數(shù)的分布就是和的分布的一個小比例的變形。樣本平均數(shù)的分布用兩個有用的性質(zhì)：

1. 假定無窮多個等容量隨機(jī)樣本是從同一無限總體中抽取的，而且把這些樣本的平均數(shù)放到一起，以構(gòu)成一個新的分布，那么這個新分布（樣本平均數(shù)構(gòu)成的）的均值與原總體的均值相同。
2. 假定無窮多個等容量隨機(jī)樣本是從同一無限總體中抽取的，以n表示每一個樣本的容量，這些樣本的平均數(shù)的分布有一個標(biāo)準(zhǔn)差，它等于原總體的標(biāo)準(zhǔn)差除以n的平方根。

定理2及其兩個性質(zhì)就是我們熟悉的mean(X)~N(μ,σ**2/n)。