【周則禹的回答(52票)】:

平均值是對(duì)樣本的一個(gè)描述量（statstic），是可算的。

期望值是對(duì)隨機(jī)變量在某個(gè)度量中的描述量，是理想化的，被估計(jì)的。

大數(shù)定理（有很多版本，條件不同，收斂不同）：

如果是隨機(jī)獨(dú)立一致樣本（i.i.d)，當(dāng)樣本足夠大的時(shí)候，平均值向期望值收斂。

討論：

如果對(duì)樣本i.i.d.有把握，平均值可以作為隨機(jī)變量期望值的估計(jì)。

期望值是first moment，這種估計(jì)法也叫methods of moments。在對(duì)隨機(jī)變量分部不清楚的時(shí)候methods of moments很好用，但沒(méi)有MLE（maximum likelihood estimator）收斂得快。

正態(tài)分布的first two moments正好和MLE一樣。

當(dāng)樣本相關(guān)性不小的時(shí)候，平均值估計(jì)出的期望值會(huì)有很高的偏差（bias），往往需要修正。

期望估計(jì)往往是第一步，對(duì)樣本背后變量的真實(shí)分部的估計(jì)要更復(fù)雜。期望值的收斂是一個(gè)數(shù)的收斂，分部的收斂是函數(shù)收斂。正確的函數(shù)估計(jì)有很多用處，比如做假設(shè)檢定（hypothesis testing）。又比如在保險(xiǎn)行業(yè)，應(yīng)對(duì)的都是小概率事件。他們對(duì)分部在尾部的收斂要求非常高。

ps：統(tǒng)計(jì)中文不好，請(qǐng)多包含。

【mahalanobis的回答(4票)】:

我同意 @王赟 Maigo 的觀點(diǎn)，這是一個(gè)語(yǔ)言學(xué)的問(wèn)題（我不懂裝懂哈哈）。很多回答對(duì)“平均值被叫做期望值”提出質(zhì)疑，矛盾在于問(wèn)題中“平均值”描述不清。但是問(wèn)題中有個(gè)關(guān)鍵詞“詞源”，那么我的主觀猜測(cè)是，題主是想了解統(tǒng)計(jì)學(xué)中常常聽(tīng)到描述“均值”時(shí)用“期望”這個(gè)詞，是什么緣由。（我改成“均值”、“期望”了，如果還有異議，直接看文末哦。）

為此我重新翻了翻我兩年前初學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)時(shí)的教材，果然對(duì)書(shū)中介紹期望一詞起源的“分賭本”問(wèn)題有一點(diǎn)印象?！捌谕弊钤缱匪莸?7世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡在一個(gè)“分賭本”問(wèn)題中提出。

問(wèn)題是：甲、乙兩賭徒，各出50法郎，每局無(wú)平局，輸贏概率對(duì)半。他們約定，誰(shuí)先贏三局，則得全部賭本100法郎。當(dāng)甲贏了二局、乙贏了一局時(shí)，因故中止賭博。問(wèn)這100法郎如何分才算公平？

（1）基于已賭局?jǐn)?shù)來(lái)分：甲贏了二局、乙贏了一局。甲得100法郎中的2/3，乙得100法郎中的1/3。

（2）數(shù)學(xué)家帕斯卡的分法：設(shè)想一下賭局又恢復(fù)了，兩人繼續(xù)賭下去，最多再來(lái)兩局必定結(jié)束。由于每局的勝負(fù)可能性對(duì)半，簡(jiǎn)單計(jì)算便知乙贏得100法郎的概率是1/4，甲贏100法郎的概率是3/4。然后他用我們熟知的概率分布列描述甲最終所得法郎的數(shù)額：

法郎 0 100

概率 1/4 3/4

帕斯卡認(rèn)為，甲的“期望”所得為0*1/4 + 100*3/4 = 75

甲得到75法郎，乙得到25法郎。

75這個(gè)數(shù)字里蘊(yùn)含了對(duì)繼續(xù)賭下去的一種期望所得。

“期望所得”即隨機(jī)變量（或分布）的均值，帕斯卡叫它期望。

以上是“期望”一詞的來(lái)源。

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最后，與排名第一的答案有不同的觀點(diǎn)。

我認(rèn)為下面說(shuō)法都是合理的

樣本均值；

總體均值；

樣本點(diǎn)的期望；

總體分布的期望。

樣本在抽取前是隨機(jī)變量，隨機(jī)變量都有期望。

樣本在抽取后就是一組確定的數(shù)值，不談期望只談均值。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均值是0。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望是0。

“the mean and variance for a standard normal distribution is 0 and 1”

這個(gè)mean我翻譯成均值，關(guān)鍵是人家總體分布也談均值了呀

！ ^ o ^ /

參考資料：

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 (豆瓣)

Probability and Statistics (3rd Edition) (豆瓣)

【王然的回答(68票)】:

平均值是對(duì)樣本而言，期望是對(duì)總體而言。本就是不同的東西。

多說(shuō)幾句， 平均值Mean是個(gè)統(tǒng)計(jì)量，只能基于一個(gè)樣本而言。而expected value是總體參數(shù), 是隨機(jī)變量在一個(gè)概率測(cè)度下的性質(zhì)。這個(gè)是本質(zhì)的區(qū)別。大數(shù)定理只是平均值依概率收斂于期望，不代表樣本均值和隨機(jī)變量的期望相同。

【王赟Maigo的回答(43票)】:

我感覺(jué)這明明是一個(gè)語(yǔ)言學(xué)問(wèn)題啊，題主想問(wèn)的是為什么期望會(huì)起“期望”這么一個(gè)詩(shī)意的、反直覺(jué)的名字吧？

那些復(fù)述定義的、辨析期望與平均值的關(guān)系的答案，統(tǒng)統(tǒng)沒(méi)有幫助……

“期望值”這個(gè)術(shù)語(yǔ)是從英文直譯過(guò)來(lái)的，英文原文叫做expected value。

維基百科對(duì)這個(gè)詞的解釋是：

In probability theory, the expected value (or expectation, mathematical expectation, EV, mean, or first moment) refers, intuitively, to the value of a random variable one would "expect" to find if one could repeat the random variable process an infinite number of times and take the average of the values obtained.

它的意思是，如果你多次實(shí)驗(yàn)（并取平均值），你可以“期望”得到怎樣的一個(gè)數(shù)。

這個(gè)句型在漢語(yǔ)中并不常用，這是“期望”這個(gè)名字讓以漢語(yǔ)為母語(yǔ)的人感到奇怪的原因之一。

我覺(jué)得翻譯成“預(yù)期”會(huì)略好一些，但依然不是一個(gè)讓人一下子就能懂得內(nèi)涵的翻譯。

“期望”這個(gè)名字反直覺(jué)還有另一個(gè)原因，這個(gè)原因使得即使是以英語(yǔ)為母語(yǔ)的人也會(huì)感到反直覺(jué)。

The value may not be expected in the ordinary sense—the "expected value" itself may be unlikely or even impossible (such as having 2.5 children).

例如，擲一枚均勻的色子，點(diǎn)數(shù)的期望值是3.5，但色子并沒(méi)有一面上的點(diǎn)數(shù)是3.5。

這是因?yàn)?，即使在第一段引文中，最后還是提到了“取平均”。

而一般人對(duì)“期望”的理解是，我只做一次實(shí)驗(yàn)，可以期望得到什么值。

對(duì)于連續(xù)且方差較小的分布，這種理解是可行的。

例如，對(duì)于正態(tài)分布N(3, 0.1)，我說(shuō)我隨機(jī)取一個(gè)樣本，期望它在3左右，是沒(méi)有問(wèn)題的。

數(shù)學(xué)中“期望”的定義，正是這樣一種樸素的“期望”的推廣；正因?yàn)槭峭茝V，所以會(huì)出現(xiàn)樸素的理解不適用的情況。

【茉茉的回答(11票)】:

謝。

這個(gè)問(wèn)題的產(chǎn)生還是因?yàn)楦拍畈磺逦?/p>

說(shuō)正題前先提一下：像有一位知友說(shuō)的那樣，平均值有很多種。不過(guò)我猜題主想問(wèn)的是 arithmetic mean，所以其他我們先不說(shuō)。

在建議題主重新去看期望的定義之前，不如先思考下這三個(gè)問(wèn)題：

什麼是期望？所謂期望，它是什麼東西的期望？期望可以傳達(dá)怎樣的信息？

第一個(gè)問(wèn)號(hào)：

期望是一個(gè)考量某一隨機(jī)變量 X 的概率分布密度函數(shù)重心的概念。換句話說(shuō)，它是 X 在「中間位置」能取到的值。

第二個(gè)問(wèn)號(hào)：

期望說(shuō)的是一個(gè)隨機(jī)變量的期望，但因?yàn)楦鶕?jù)期望的定義、我們通常通過(guò)隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)來(lái)考察期望，所以我們有時(shí)候也會(huì)說(shuō)「一個(gè)概率分布的期望」或者更簡(jiǎn)單的「一個(gè)分布的期望」。

第三個(gè)問(wèn)號(hào)：

既然期望是一個(gè)有關(guān)隨機(jī)變量概率分布的重心的概念，那麼它傳達(dá)給我們的信息就是一組數(shù)據(jù)中最中央那個(gè)位置的值（請(qǐng)注意由於隨機(jī)變量也可以是多維的，這裡的表述沒(méi)有使用「數(shù)」）。若以圖形描述，密度函數(shù)的峰值對(duì)應(yīng)的就是這個(gè)分布的期望。

這時(shí)候再回到期望的兩個(gè)定義：離散和連續(xù)兩種情況分別對(duì)應(yīng)的是 x·f(x) 的極限和積分。想想為什麼是這樣的定義；為什麼是 x·f(x)，為什麼是極限或者積分。

我想，上面的這些對(duì)讓題主理清概念的幫助要比直接說(shuō) A 是何 B 是何更有意義些。

【astroyao的回答(0票)】:

均值是平均，期望是估計(jì)，一個(gè)是常值，一個(gè)是極限，即便某些分布下計(jì)算結(jié)果一樣，但本質(zhì)是完全兩碼事兒，叫成一樣是錯(cuò)誤的，不要混淆了。

比如，古典概率下，無(wú)限次丟骰子的均值是3.5，幾個(gè)有限次丟骰子實(shí)驗(yàn)后樣本均值顯然是不同的，而樣本均值的期望才是3.5，所謂無(wú)偏估計(jì)。

【林承宏的回答(2票)】:

在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一個(gè)離散性隨機(jī)變量的期望值（或數(shù)學(xué)期望、或均值，亦簡(jiǎn)稱(chēng)期望，物理學(xué)中稱(chēng)為期待值）是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和。換句話說(shuō)，期望值是隨機(jī)試驗(yàn)在同樣的機(jī)會(huì)下重復(fù)多次的結(jié)果計(jì)算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常識(shí)中的“期望”——“期望值”也許與每一個(gè)結(jié)果都不相等。（換句話說(shuō)，期望值是該變量輸出值的平均數(shù)。期望值并不一定包含于變量的輸出值集合里。）

當(dāng)重復(fù)多次實(shí)驗(yàn)后，得出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和概率（樣本數(shù)據(jù)），能夠?qū)傮w數(shù)據(jù)的分布得出一個(gè)大致的輪廓。

通過(guò)以概率作為權(quán)數(shù)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)平均得出的平均數(shù)作為期望值，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差，我們可以認(rèn)為總體分布就在期望值附近，標(biāo)準(zhǔn)差相當(dāng)于誤差。

平均值是處理數(shù)據(jù)的一種方法。（平均值還有算術(shù)平均值、幾何平均值、加權(quán)平均值等分類(lèi)呢）

期望值是對(duì)總體估計(jì)進(jìn)行描述的一種形式。

所以，不存在「平均值被叫做期望值」這種說(shuō)法。

【繁繁星的回答(1票)】:

我這學(xué)期正好教公司金融的課程，其中就有涉及這個(gè)概念。

我的理解，平均值和期望值根本是兩個(gè)東西，樓主完全弄混了。為什么說(shuō)是兩個(gè)東西呢？

首先，平均值是對(duì)一系列數(shù)據(jù)歷史值的反應(yīng)，而期望值是對(duì)未來(lái)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)。其次，他倆算法也完全不同。

什么意思呢？舉個(gè)簡(jiǎn)單例子就可以看出來(lái)。

假如中石油股票，他的股價(jià)從2011年到2014年每年分別是20，30，50。那么，他的股價(jià)平均值就是33.3=（20+30+50）/3

你絕對(duì)不能說(shuō)這個(gè)數(shù)字是期望值。

那什么是期望值呢？

英文是Expected Value。從英文你就能看出來(lái)，這是一個(gè)期待的，將要發(fā)生的價(jià)值。表示一個(gè)對(duì)未來(lái)的期待，但這事情未必會(huì)發(fā)生。

再舉這個(gè)中石油的例子，有人想知道它2015的股價(jià)。但沒(méi)人知道。所以有人做了個(gè)簡(jiǎn)單的模型。模型如下：假如2015年，有50%概率國(guó)家經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，那樣中石油股價(jià)會(huì)是80塊；30%概率經(jīng)濟(jì)形勢(shì)一般，那時(shí)中石油股價(jià)是50塊；20%概率經(jīng)濟(jì)形勢(shì)差，那時(shí)中石油股價(jià)會(huì)是10塊。

那么怎么算中石油股價(jià)的期望值呢？50%*80+30%*50+20%*10=57。這個(gè)57就是我們對(duì)中石油未來(lái)股價(jià)的一個(gè)期望。這個(gè)57塊根本沒(méi)發(fā)生，不是一個(gè)歷史數(shù)值，只不過(guò)是一個(gè)預(yù)測(cè)。

在金融上我的理解是這樣的，如果有錯(cuò)請(qǐng)指出。

【知乎用戶的回答(1票)】:

我覺(jué)得吧，期望是對(duì)于樣本來(lái)說(shuō)通過(guò)對(duì)其統(tǒng)計(jì)來(lái)對(duì)總體的一個(gè)未來(lái)預(yù)測(cè)值。

而平均數(shù)只是對(duì)過(guò)去的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

一個(gè)是對(duì)未來(lái)的一個(gè)是對(duì)過(guò)去的，雖然很多時(shí)候兩個(gè)很像。但是并不是一個(gè)意思

【獨(dú)孤星夜的回答(0票)】:

其實(shí)是因?yàn)槟阍谧鲆幌盗歇?dú)立同分布的實(shí)驗(yàn)，會(huì)得到一系列的觀測(cè)結(jié)果。而這些結(jié)果的平均值，就是期望的結(jié)果。

舉個(gè)例子，你用尺子量東西，量10次，得到了10個(gè)結(jié)果，那么它的平均值就是我們期望的所量物理的長(zhǎng)度。

【CarlaLu的回答(0票)】:

在時(shí)間序列中對(duì)平穩(wěn)序列的預(yù)測(cè)中，如果用簡(jiǎn)單平均法來(lái)分析，那么下一期的預(yù)測(cè)值等于前期觀測(cè)值的平均值。這里的預(yù)測(cè)值我覺(jué)得也可以理解為對(duì)未來(lái)的期望。

【胡桃?jiàn)A子的回答(0票)】:

不是期望就是平均數(shù)，根據(jù)大數(shù)定律，他們依概率收斂罷了

【知乎用戶的回答(0票)】:

mean of the mean is mean

【知不道的回答(0票)】:

題主提問(wèn)前應(yīng)該先確認(rèn)平均值是否應(yīng)該被叫做期望值

這倆不是一個(gè)東西 不能劃等號(hào)

【透過(guò)你de窗的回答(0票)】:

因?yàn)楣街皇瞧谕?/p>

【湯博懷的回答(0票)】:

占坑⊙﹏⊙

【余舟的回答(0票)】:

平均值 = mean

期望 = expected

分明一個(gè)是名詞一個(gè)是形容詞，這倆哪一點(diǎn)一樣？

【waichawai的回答(0票)】:

數(shù)學(xué)期望起源于歷史上一個(gè)分賭本問(wèn)題，數(shù)學(xué)家帕斯卡首先提出這個(gè)概念

詳見(jiàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)茆詩(shī)松版

【米湯的回答(0票)】:

看了各位的回答以后我后悔提了這么一個(gè)問(wèn)題。作為一個(gè)文科生，作為一個(gè)從小到大的數(shù)學(xué)恐懼癥患者，你們的答案我完全看不懂?。。。。∑鋵?shí)我只是好奇為什么平均值會(huì)被叫做期望值這么反直覺(jué)的名稱(chēng)?？偛荒苷f(shuō)我期望我能達(dá)到平均，所以平均值又被叫做期望值？當(dāng)然還是得感謝各位的真誠(chéng)回答，謝謝。

原文地址:知乎