琴弦上的橫波推導(dǎo)沿一根兩端固定的、被繃緊的、柔軟的一維弦傳播的振動(dòng)，得到與彈性介質(zhì)中傳播的波完全一樣的波動(dòng)方程。當(dāng)樂(lè)手拉動(dòng)琴弓時(shí)，琴弓必定在與琴弦的接觸處輸入能量，激發(fā)琴弦在接觸點(diǎn)的粒子發(fā)生振動(dòng)。由于琴弓是橫向拉動(dòng)的，琴弦各處的粒子必定做橫向振動(dòng)，因此，在琴弦上傳播的波是橫波。顯然，當(dāng)一根繃緊的弦還未開始振動(dòng)時(shí)，它形成一段直線，這段直線也是振動(dòng)的弦的平衡位置，就沿這段直線的方向建立。

沿細(xì)桿傳播的縱波推導(dǎo)沿剛性細(xì)桿傳播的彈性縱波滿足的波動(dòng)方程，方程的形式與固體中彈性橫波滿足的波動(dòng)方程形式上完全一樣。在推導(dǎo)彈性介質(zhì)中橫波的波動(dòng)方程中，我們假設(shè)介質(zhì)粒子做垂直于傳播方向的橫向振動(dòng)，由此導(dǎo)致相鄰體元之間的相互作用是一種切向力，并使每個(gè)體元產(chǎn)生切向形變。對(duì)于縱波而言，傳播路徑上任意一塊體元兩側(cè)受到的力將是法向力，力的方向和體元偏離平衡狀態(tài)的方向都沿波的傳播方向。

波動(dòng)方程以彈性介質(zhì)中的橫波為例，分析介質(zhì)內(nèi)部的相互作用，推導(dǎo)機(jī)械波滿足的微分方程。機(jī)械擾動(dòng)在連續(xù)介質(zhì)中的傳播形成機(jī)械波，它傳播的實(shí)際上是擾動(dòng)源的狀態(tài)，這種狀態(tài)的傳播能夠進(jìn)行的原因在于，介質(zhì)內(nèi)部的粒子之間存在相互作用，這些相互作用使得粒子之間能夠互相交換它們的振動(dòng)狀態(tài)。作為一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例，我們僅以彈性介質(zhì)中的橫波為例，通過(guò)對(duì)介質(zhì)中粒子之間的相互作用進(jìn)行分析，推導(dǎo)機(jī)械波滿足的微分方程。

在《多普勒效應(yīng)》一文中，我們已經(jīng)討論過(guò)，當(dāng)波源和觀測(cè)者沿著它們的連線運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測(cè)頻率的漂移現(xiàn)象，并且還提到，對(duì)機(jī)械波而言，不存在橫向多普勒效應(yīng)?？紤]一個(gè)沿任意方向運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)狀波源，其運(yùn)動(dòng)方向并不在它與觀測(cè)者的連線上，同時(shí)，觀測(cè)者也在運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向也不在連線上，如下圖所示。假設(shè)波源在。此前，我們?cè)?jīng)討論過(guò)，當(dāng)波源和觀測(cè)者沿兩者的連線運(yùn)動(dòng)時(shí)，多普勒效應(yīng)的特殊表達(dá)式，請(qǐng)討論它們與上述一般表達(dá)式之間的關(guān)系。

多普勒效應(yīng)當(dāng)波源與觀測(cè)者有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測(cè)者測(cè)得的頻率與波源的固有頻率并不相同，這種現(xiàn)象被稱為多普勒效應(yīng)。所謂固有頻率是指，當(dāng)波源與觀測(cè)者相對(duì)靜止時(shí)，觀測(cè)者測(cè)得的頻率。根據(jù)這個(gè)一般表達(dá)式，不難明白，無(wú)論是觀測(cè)者追趕波源運(yùn)動(dòng)，還是波源跟隨觀測(cè)者運(yùn)動(dòng)，或者是兩者相向或相背運(yùn)動(dòng)，只要兩者之間的距離在不斷地拉近，觀測(cè)頻率就高于固有頻率，而如果兩者之間的距離在不斷地拉開，觀測(cè)頻率就低于固有頻率。

一維簡(jiǎn)諧波介質(zhì)的擾動(dòng)在空間中以一定的速率傳播形成波。一維簡(jiǎn)諧波，也被稱為平面簡(jiǎn)諧波，是所有波動(dòng)中最簡(jiǎn)單的波，它是由作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的波源激發(fā)的波。由于振動(dòng)狀態(tài)由相位確定，因此，波速就是波的相位的傳播速率，被稱為相速率，它和信息的傳播速率即群速率不是同一個(gè)概念。軸正向傳播的一維簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。這個(gè)形式的波函數(shù)描寫了沿空間任意方向傳播的一維簡(jiǎn)諧波，并反映出空間中任意點(diǎn)在任意時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)。

共振在受迫振動(dòng)中，當(dāng)外力的頻率達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)，定態(tài)振幅取極大值，這種現(xiàn)象被稱為共振。下左圖給出當(dāng)振子的固有頻率與外力的幅值確定時(shí)，在各種衰減常數(shù)的情況下定態(tài)振幅隨外力頻率的變化關(guān)系，圖中從下而上的曲線對(duì)應(yīng)的衰減常數(shù)逐漸減小。從圖中可以看到，當(dāng)外力的頻率達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)，定態(tài)振幅取極大值。這時(shí)，定態(tài)振幅達(dá)到極大值：在受迫振動(dòng)中，定態(tài)振幅達(dá)到極大值的現(xiàn)象被稱為共振，引起共振的頻率被稱為共振頻率。

回到博士的宅邸后，貝萊高興地告訴博士，與嘉蒂雅的交談?dòng)泻艽笫斋@，很可能已經(jīng)掌握了揭開謎底的鑰匙。聽博士講述完這段往事，貝萊明白了博士為何要回避自己提出的問(wèn)題，但他同時(shí)又指出，博士似乎并沒(méi)有正面回答他的問(wèn)題：為什么要把詹德送給嘉蒂雅。見(jiàn)博士說(shuō)得如此真切，貝萊便停止再追問(wèn)，并說(shuō)出了自己心中有關(guān)案情的一個(gè)可能的答案：嘉蒂雅雖然因詹德而快樂(lè)，但她很可能同時(shí)又感到羞恥，于是便經(jīng)常向詹德發(fā)脾氣。

受迫振動(dòng)當(dāng)彈簧振子受周期性外力驅(qū)動(dòng)時(shí)，在運(yùn)動(dòng)的開始階段，振子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相當(dāng)復(fù)雜。經(jīng)過(guò)一段不太長(zhǎng)的時(shí)間后，暫態(tài)解基本上衰減掉，振子達(dá)到穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)，以外力的頻率振動(dòng)，振幅和初相位依賴于外力的頻率。一種方法是用周期性外力來(lái)維持系統(tǒng)的振動(dòng)，這種振動(dòng)被稱為受迫振動(dòng)。由于要用外力維持系統(tǒng)的振動(dòng)，因此，在受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程中，多出了一項(xiàng)與周期性驅(qū)動(dòng)力有關(guān)的項(xiàng)：就可以將這個(gè)方程化成微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：

阻尼振動(dòng)除了受線性恢復(fù)力的作用外，現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)系統(tǒng)還會(huì)受阻力因素的作用。一般情況下，任何現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)系統(tǒng)除了受線性恢復(fù)力的作用外，總是不可避免地受阻力因素的作用，這種存在阻力因素的振動(dòng)被稱為阻尼振動(dòng)。從特征根的表達(dá)式可以看出，根據(jù)衰減常數(shù)的大小，微分方程有三種不同形式的解，對(duì)應(yīng)于彈簧振子的三種運(yùn)動(dòng)方式，分別被稱為阻尼振動(dòng)、過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)和臨界阻尼運(yùn)動(dòng)。如果衰減常數(shù)較小，彈簧振子處于欠阻尼狀態(tài)，

振動(dòng)的分解任意一個(gè)隨時(shí)間作周期變化的運(yùn)動(dòng)，都可以被分解成若干個(gè)方向平行、振幅不同、頻率各異的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。上述振動(dòng)分解中的各個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率有一個(gè)重要的特點(diǎn)：它們都是原來(lái)的周期運(yùn)動(dòng)的頻率的整數(shù)倍。的分振動(dòng)與原來(lái)的周期運(yùn)動(dòng)有相同的頻率，這個(gè)分振動(dòng)被稱為基頻振動(dòng)，相應(yīng)的頻率被稱為基頻；的表達(dá)式不難得出，相鄰兩個(gè)分振動(dòng)的頻率的間隔反比于原周期運(yùn)動(dòng)的周期，或者更準(zhǔn)確地說(shuō)，等于原周期運(yùn)動(dòng)的頻率：

二維同頻振動(dòng)的合成如果一個(gè)粒子同時(shí)參與兩個(gè)頻率相同、振動(dòng)方向相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，合成振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡將是一個(gè)橢圓。由于這個(gè)原因，粒子的位置隨時(shí)間的變化必定同時(shí)滿足上面兩個(gè)分振動(dòng)方程，它們實(shí)際上就是這個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。在其他情況下，合成振動(dòng)的軌跡一般是一個(gè)主軸不在坐標(biāo)軸上的斜橢圓，軌跡的具體形狀和粒子的運(yùn)動(dòng)方向由分振動(dòng)的振幅和相位差決定，具體的情況就交由大家討論吧。

一維異頻振動(dòng)的合成如果一個(gè)粒子同時(shí)參與兩個(gè)頻率不同、振動(dòng)方向平行的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，對(duì)振動(dòng)方程的處理方法與處理一維同頻振動(dòng)的方法是相似的。經(jīng)過(guò)頻率變換公式的變換后，兩個(gè)振動(dòng)方程在形式上類似于兩個(gè)頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程，只是振動(dòng)的 “初相位” 要隨時(shí)間改變罷了。我們把由這樣兩個(gè)頻率相近，振動(dòng)方向平行的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)產(chǎn)生的合振動(dòng)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象稱為拍，稱合振動(dòng)振幅的變化頻率為拍頻。

一維同頻振動(dòng)的合成可以用代數(shù)運(yùn)算和幾何表示兩種方法求出合成振動(dòng)的振幅和初相位。軸上的投影之和，這意味著對(duì)角線矢量就是代表合成振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量。從各個(gè)矢量的分量的關(guān)系也不難導(dǎo)出在代數(shù)運(yùn)算方法中引入的常數(shù)組合簡(jiǎn)記式 (1) 式，也可以利用圖中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的幾何關(guān)系直接得出合成振動(dòng)的振幅和初相位的表達(dá)式 (2) 式。從合成振動(dòng)的振幅表達(dá)式可以看出，兩個(gè)分振動(dòng)的初相位之差對(duì)合成振動(dòng)的行為有重要的影響。

銀河帝國(guó)的傳奇故事：貝萊與博士討論案情貝萊到達(dá)奧羅拉星球，與法斯陀夫博士一起討論人形機(jī)器人發(fā)生停擺的各種可能原因。然而，博士告訴貝萊，為了讓一個(gè)機(jī)器人進(jìn)入心智凍結(jié)狀態(tài)，當(dāng)事人并不需要親臨現(xiàn)場(chǎng)。博士當(dāng)初研發(fā)人形機(jī)器人的目的是為了研究人類的大腦，但有些人卻想將人形機(jī)器人用到他不贊同的方向。這種情況正是博士 “暗中發(fā)起毀滅人形機(jī)器人的計(jì)劃，以免被用于開拓新世界” 的動(dòng)機(jī)，這就是博士的政敵對(duì)他所作的指控。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幾何表示法當(dāng)一個(gè)粒子 (的位置矢量) 繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，它 (的末端) 的直角坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系描寫了一個(gè)確定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。這樣一種用一個(gè)假想粒子的位置矢量做旋轉(zhuǎn)形象地描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方法被稱為旋轉(zhuǎn)矢量法，也可以稱這種方法為幾何表示法。相應(yīng)地，這個(gè)假想粒子的位置矢量也就被稱為旋轉(zhuǎn)矢量。需要注意的是，旋轉(zhuǎn)矢量只是為了直觀地描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)而引入的概念，旋轉(zhuǎn)矢量末端 (假想粒子) 的運(yùn)動(dòng)并不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量在物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的過(guò)程中，振動(dòng)勢(shì)能和振動(dòng)動(dòng)能都隨著時(shí)間而改變。第二項(xiàng)是彈簧振子的振動(dòng)勢(shì)能：小結(jié)有關(guān)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的知識(shí)可以得到，一個(gè)物體是否在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以從三個(gè)視角作出判斷：從動(dòng)力學(xué)的視角看，如果物體在線性恢復(fù)力的作用下運(yùn)動(dòng)，它將做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。從能量的視角看，由于與線性恢復(fù)力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能與位置的平方成正比，因此，物體的勢(shì)能是否與位置的平方成正比也可以作為判斷系統(tǒng)是否做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的依據(jù)；

求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)給出求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的應(yīng)用實(shí)例。通過(guò)對(duì)彈簧振子作受力分析，我們已經(jīng)推導(dǎo)出物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)滿足的動(dòng)力學(xué)方程，并通過(guò)求解動(dòng)力學(xué)微分方程得到了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。由于簡(jiǎn)諧振動(dòng)所滿足的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程具有確定的形式，因此，只要利用初始條件求出振動(dòng)的振幅和初相位就可以了。于是，當(dāng)子彈入射后與物體粘連在一起時(shí)，系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。上述關(guān)于轉(zhuǎn)角的微分方程的解具有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的形式：

描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)從簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程求解出描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并討論描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各個(gè)物理量。位置、速度和加速度是反映物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的三個(gè)基本物理量，對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)而言，這三個(gè)物理量與振動(dòng)相位。我們就說(shuō)第二個(gè)振動(dòng)的相位比第一個(gè)振動(dòng)的相位超前，或者說(shuō)第二個(gè)振動(dòng)的步調(diào)領(lǐng)先于第一個(gè)振動(dòng)；我們就說(shuō)第二個(gè)振動(dòng)的相位比第一個(gè)振動(dòng)的相位落后，或者說(shuō)第二個(gè)振動(dòng)的步調(diào)落后于第一個(gè)振動(dòng)。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)利用彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程引入簡(jiǎn)諧振動(dòng)的概念。當(dāng)物體沿著彈簧的延伸方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，選取彈簧的平衡位置 (彈簧自然伸展時(shí)，其末端所處的位置) 為。由此可見(jiàn)，在豎直方向運(yùn)動(dòng)的彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程與水平運(yùn)動(dòng)的彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程相同，唯一的差別是反映運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變量不一樣。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)垂直懸吊的彈簧振子在豎直方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，抽象出來(lái)的微分方程與水平放置的彈簧振子沿彈簧擺放的方向運(yùn)動(dòng)所滿足的微分方程一模一樣。