【原】琴弦上的橫波

cosmos2062 2025-12-05 發(fā)布于廣東

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推導(dǎo)沿一根兩端固定的、被繃緊的、柔軟的一維弦傳播的振動，得到與彈性介質(zhì)中傳播的波完全一樣的波動方程。

我們已經(jīng)詳細地討論過在彈性介質(zhì)內(nèi)傳播的橫波和縱波滿足的波動方程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這兩種類型的波滿足形式完全相同的偏微分方程。其他類型的波，比如說琴弦上傳播的振動，或者空氣中傳播的聲波，情況會怎樣呢？

當(dāng)樂手拉動琴弓時，琴弓必定在與琴弦的接觸處輸入能量，激發(fā)琴弦在接觸點的粒子發(fā)生振動。由于琴弦內(nèi)部粒子之間的相互作用，這個振動必定沿著琴弦傳播，形成波。由于琴弓是橫向拉動的，琴弦各處的粒子必定做橫向振動，因此，在琴弦上傳播的波是橫波。

現(xiàn)在，我們將琴弦理想化成一根兩端固定的、被繃緊的、柔軟的一維弦，拉動琴弓實際上就是給這根弦一個初始的擾動。我們來看一看，在這根弦上激發(fā)的波滿足怎樣的微分方程。

顯然，當(dāng)一根繃緊的弦還未開始振動時，它形成一段直線，這段直線也是振動的弦的平衡位置，就沿這段直線的方向建立 $x$ 軸。當(dāng)弦開始振動時，弦上各點將在橫向偏離平衡位置，偏離的量用 $\xi$ 標(biāo)記。

考慮弦上位于 $x$ 和 $x+{\rm d}x$ 之間的一小段，由于弦上的粒子之間的相互作用，這一小段的兩個端點將受彈性力的作用。由于弦是柔軟的，因此，所受的力必定沿著弦的切向，稱之為張力，用 $T$ 標(biāo)記。如果所取的這一小段很短，以致可以被當(dāng)作粒子看待，那么，就可以將牛頓運動定律應(yīng)用于其上，寫出它的動力學(xué)方程：

$\begin{align} T_2\cos\theta_2-T_1\cos\theta_1&=0\tag 1\\ T_2\sin\theta_2-T_1\sin\theta_1&=m\ddot{\xi}\tag 2 \end{align}$

(1) 式源于弦只作橫向運動，沒有縱向運動。(2) 式中 $m$ 是這一小段的質(zhì)量，引入質(zhì)量線密度 (單位長度的弦的質(zhì)量) $\lambda$ 的概念，則有 $m=\lambda{\rm d}x$ 。

在微振動的近似下，弦的傾角是一個無窮小量，在精確到一級近似的條件下， $\begin{equation} \notag \sin\theta\approx\tan\theta=\frac{\partial\xi}{\partial x}\ ,\ \cos\theta\approx1 \end{equation}$ 將第二個近似代入 (1) 式可以得到 $T_2=T_1$ ，將第一個近似代入 (2) 式可以得到 $\begin{equation}\notag \lambda\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=T\left[\left.\frac{\partial\xi}{\partial x}\right|_{x+{\rm d}x}-\left.\frac{\partial\xi}{\partial x}\right|_x\right] \end{equation}$ 已經(jīng)熟知，方括號內(nèi)的表達式給出偏離平衡狀態(tài)的位置對空間坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)。于是，得到了沿一根繃緊的弦傳播的波滿足的偏微分方程： $\begin{equation}\notag \frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}-\frac{\lambda}{T}\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=0 \end{equation}$ 令 $u^2=T/\lambda$ ，我們又一次得到與彈性介質(zhì)中傳播的波完全一樣的波動方程。