關(guān)于波動，此前我們僅從傳播這個層面展開討論，寫出了一維簡諧波的波函數(shù)。然而，從更深的層面上看，波動是粒子之間相互作用帶來的結(jié)果。

機械擾動在連續(xù)介質(zhì)中的傳播形成機械波，它傳播的實際上是擾動源的狀態(tài)，這種狀態(tài)的傳播能夠進行的原因在于，介質(zhì)內(nèi)部的粒子之間存在相互作用，這些相互作用使得粒子之間能夠互相交換它們的振動狀態(tài)。由于一個粒子的運動狀態(tài)與它的能量密切相關(guān)，因此，從這個層面上看，波實際上是能量傳遞的一種方式。由于每一個粒子都有慣性，因此，振動狀態(tài)的傳播速率是有限的。各種類型的波有各自特有的性質(zhì)，不過，它們都有類似的波動微分方程和波函數(shù)。

作為一個簡單的實例，我們僅以彈性介質(zhì)中的橫波為例，通過對介質(zhì)中粒子之間的相互作用進行分析，推導機械波滿足的微分方程。在波的傳播途經(jīng)上，如果粒子的振動方向與波的傳播方向垂直，則稱這樣形成的波為橫波。

考慮在機械波傳播途徑中的一點  ，以波源為參考點，向該點作射線，作為坐標系的橫軸，用  標記；坐標系的縱軸則表示介質(zhì)粒子在振動過程中偏離平衡狀態(tài)的位置，用  標記，顯然，它是時間和空間坐標的二元函數(shù)  。

在  點附近取一塊無窮小的小方塊，這個體元垂直于傳播方向的兩個表面的面積為  ，分別位于  和  的位置。由于粒子之間的相互作用，這兩個側(cè)面將受到切向力  和  的作用，從而導致發(fā)生切向形變，如下左圖所示。根據(jù)胡克定律，切應(yīng)變 (單位空間間隔內(nèi)偏離平衡狀態(tài)的改變量) 正比于單位面積所受的切向力：公式中  是比例常數(shù)，被稱為切變模量，其數(shù)值取決于介質(zhì)的性質(zhì)。

由于  是  和  的二元函數(shù)，因此，在把這個規(guī)律應(yīng)用到  和  這兩個位置上時，應(yīng)該視為在某一瞬間的規(guī)律，對空間坐標的導數(shù)要換成偏導數(shù)的形式：由此得到所考慮的體元受的合外力：公式右邊方括號內(nèi)的表達式對應(yīng)于波函數(shù)求空間的二階導數(shù)：而公式的左邊則對應(yīng)于體元偏離平衡位置的加速度：其中  是體元的質(zhì)量，如果用  表示介質(zhì)的質(zhì)量密度，則有  。于是，上述受力等式就被改寫成如下形式：令  ，去掉標記特定點的下標，對方程稍加整理：這就得到了彈性介質(zhì)中橫波滿足的波動方程。

可以按照類似的方法討論沿一根剛性桿傳播的縱向振動，還可以討論一根繃緊的、柔軟的弦的橫向振動，如上右圖所示，這些問題我們稍后再作討論。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，無論是介質(zhì)的橫向振動，還是桿的縱向振動，以及弦的橫向振動，雖然它們的振動機理并不完全相同，但激發(fā)的波卻滿足形式完全一樣的偏微分方程。正因為如此，物理學家把這種形式的偏微分方程統(tǒng)稱為波動方程。當然，數(shù)學家對這一類偏微分方程有另一種稱謂：雙曲型偏微分方程。

從波動方程的形式可以看到，它是一個二階線性偏微分方程。由于線性微分方程的解滿足疊加性，因此，機械波滿足疊加原理，具有干涉和衍射等性質(zhì)，通常把波的這些普遍的共性稱為波動性。