【原】任意運動的頻移

cosmos2062 2025-11-25 發(fā)布于廣東

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對機械波而言，不存在橫向多普勒效應(yīng)。如果波源與觀測者的運動不沿它們的連線方向，那么，只有速度的縱向分量能夠產(chǎn)生多普勒頻移。

在《多普勒效應(yīng)》一文中，我們已經(jīng)討論過，當波源和觀測者沿著它們的連線運動時，觀測頻率的漂移現(xiàn)象，并且還提到，對機械波而言，不存在橫向多普勒效應(yīng)。接下來，我們將討論，當波源和觀測者朝任意方向運動時，觀測頻率與固有頻率之間的關(guān)系。

考慮一個沿任意方向運動的點狀波源，其運動方向并不在它與觀測者的連線上，同時，觀測者也在運動，運動方向也不在連線上，如下圖所示。假設(shè)波源在 $t$ 時刻和 $t+{\rm d}t$ 時刻分別位于圖中 $S$ 和 $S'$ 的位置，相應(yīng)的振動相位分別為 $\varphi$ 和 $\varphi+{\rm d}\varphi$ ，其中兩個振動狀態(tài)的相位差 ${\rm d}\varphi$ 可以由振動相位的定義 $\varphi=\omega t+\varphi_0$ 計算： $\begin{equation}\notag {\rm d}\varphi=\omega{\rm d}t=2\pi\nu{\rm d}t \end{equation}$ 當波源在 $S$ 處時，它發(fā)出的波被觀測者在 $O$ 處接收到，而當波源運動到 $S'$ 處時，它發(fā)出的波被觀測者在 $O'$ 處接收到。由于波源和觀測者都在運動，并且兩者的速度不相同，因此，波從 $S$ 傳到 $O$ 所花費的時間和所走過的路程，與從 $S'$ 傳到 $O'$ 所花費的時間和所走過的路程可能并不相等，這導(dǎo)致觀測者從 $O$ 運動到 $O'$ 所花費的時間 ${\rm d}t'$ 也可能與 ${\rm d}t$ 不相同。但是，觀測者在 $O$ 處和 $O'$ 處所接收到的兩個波的相位差是不會改變的。于是，接收到的波的頻率必定要發(fā)生改變： $\begin{equation}\notag {\rm d}\varphi=\omega'{\rm d}t'=2\pi\nu'{\rm d}t' \end{equation}$ 由此可以得到接收頻率與固有頻率之間的一個簡單關(guān)系： $\begin{equation}\notag \frac{\nu'}{\nu}=\frac{{\rm d}t}{{\rm d}t'} \end{equation}$ 另一方面，根據(jù)下面的示意圖，可以算出 $S$ 處發(fā)出的波傳到 $O$ 處的時刻： $\begin{equation}\notag t+\frac{l}{u} \end{equation}$ 以及 $S'$ 處發(fā)出的波傳到 $O'$ 處的時刻： $\begin{equation}\notag t+{\rm d}t+\frac{l'}{u} \end{equation}$ 由此可以計算觀測者接收到兩個波的時間間隔： $\begin{equation}\notag {\rm d}t'={\rm d}t+\frac{l'-l}{u} \end{equation}$ 于是，求接收到兩個波的時間間隔，被歸結(jié)為求這兩個波傳播的距離之差。

在上面的示意圖中，分別從 $S'$ 和 $O'$ 向 $l$ 作垂線，相應(yīng)的垂足用 $S_\bot$ 和 $O_\bot$ 標記。顯然，在忽略高階無窮小的條件下， $S_\bot O_\bot\approx l'$ ，于是， $\begin{equation}\notag l-l'=v_s{\rm d}t\cos\alpha+v_o{\rm d}t'\cos\beta \end{equation}$ 將這個結(jié)果代入時間間隔的關(guān)系式中： $\begin{equation}\notag {\rm d}t'={\rm d}t-\frac{v_s}{u}\cos\alpha{\rm d}t-\frac{v_o}{u}\cos\beta{\rm d}t' \end{equation}$ 由此可以得到發(fā)出兩個波的時間間隔與接收到兩個波的時間間隔之間的關(guān)系，從而得到接收頻率與固有頻率之間的關(guān)系： $\begin{equation}\notag \frac{\nu'}{\nu}=\frac{{\rm d}t}{{\rm d}t'}=\frac{u+v_o\cos\beta}{u-v_s\cos\alpha} \end{equation}$ 這就是多普勒效應(yīng)的一般表達式。這個表達式顯示，對機械波而言，不存在橫向多普勒效應(yīng)。如果波源與觀測者的運動不沿它們的連線方向，那么，只有速度的縱向分量能夠產(chǎn)生多普勒頻移。

此前，我們曾經(jīng)討論過，當波源和觀測者沿兩者的連線運動時，多普勒效應(yīng)的特殊表達式，請討論它們與上述一般表達式之間的關(guān)系。討論的時候需要注意，在此前的表達式中， $v_s$ 和 $v_o$ 是速度，有正負取值的區(qū)別，而在上述一般表達式中， $v_s$ 和 $v_o$ 是速率，是恒正的量。