波利亞四步解題法思想指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)解題，兼論輔助線的“想到邏輯”——以（2025八上期中第24題）為例

一、呈現(xiàn)原題（2025八上期中第24題）

如圖1，點在軸正半軸上，點分別在軸上，平分與軸交于點，。

(1) 求證：；

(2) 在(1)中點的坐標(biāo)為，點為上一點，且，如圖2，求的長；

(3) 在(1)中，過作于點，點為上一動點，點為上一動點（如圖3），當(dāng)點在上移動、點在上移動時，始終滿足，試判斷這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明。

二、參考解答

(1) 證明

由題意得：，，，平分，，

在和中：

，。

(2) 求解

由(1)知，，

過作于點（如圖2），

，，

在和中：

，；

在和中：

，，

。

(3) 結(jié)論：

證明： 由(1)知，

在軸的負(fù)半軸上取，連接（如圖3），

在和中：

，，，

，，

在和中：

，，

。

要解決這道幾何題，我們可以結(jié)合波利亞四步解題法（理解問題→擬定方案→執(zhí)行方案→回顧反思），拆解學(xué)生的困難、輔助線的思路，以及考試中的思考策略：

三、波利亞四步解題法下的題目分析

1. 理解問題（第一步）

這是一道角平分線 全等三角形的綜合題，包含“證明線段相等”“求線段和”“探究線段關(guān)系”三個子問題，核心是利用角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點到角兩邊距離相等） 全等三角形（AAS、HL、SAS） 轉(zhuǎn)化線段/角的關(guān)系。

2. 擬定方案（第二步）

• 第(1)問：需要聯(lián)系“角平分線”“已知角的關(guān)系”，想到用AAS證全等；
• 第(2)問：需要利用“角平分線的距離相等”作垂線輔助線，用HL證全等轉(zhuǎn)化線段；
• 第(3)問：需要用“截長補短”法（取線段相等）構(gòu)造全等，轉(zhuǎn)化角的關(guān)系。

3. 執(zhí)行方案（第三步）

按擬定的全等、輔助線思路，逐步推導(dǎo)（對應(yīng)之前的答案步驟）。

4. 回顧反思（第四步）

總結(jié)“角平分線→作垂線”“線段和差→截長補短”的常用策略，驗證全等條件的合理性。

四、學(xué)生的常見困難

1. “條件轉(zhuǎn)化”困難： 比如第(1)問中，無法將“”轉(zhuǎn)化為“”（忽略的隱含直角關(guān)系）；
2. “輔助線構(gòu)造”困難： 想不到“角平分線→作兩邊的垂線”（第(2)問的），或“截長補短”（第(3)問取）；
3. “全等判定”混淆： 對HL（直角三角形斜邊 直角邊）、SAS的適用條件不清晰，比如第(2)問中，不確定和能否用HL。

五、輔助線的“想到邏輯”

輔助線的思路，本質(zhì)是“已知條件的延伸” “問題目標(biāo)的倒逼”：

1. 第(2)問：的輔助線

• 已知：是角平分線，（在軸，在軸）；
• 角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等→ 自然想到“作另一邊的垂線”，得到；
• 目標(biāo)：要證，需要將轉(zhuǎn)化為→ 垂線為全等（HL）提供了“直角邊相等”的條件。

2. 第(3)問：取的輔助線

• 已知：（角平分線性質(zhì)），；
• 目標(biāo)：探究的關(guān)系→ 常用“截長補短”法（線段和差問題的經(jīng)典策略）；
• 思路：要將和“拼”到一起，結(jié)合，在軸取，構(gòu)造，從而將轉(zhuǎn)化為，為后續(xù)證鋪墊。

六、考試中如何快速思考出來？

1. 先“翻譯”條件，關(guān)聯(lián)知識點

拿到題目后，先把條件轉(zhuǎn)化為“幾何語言”：

• 看到“角平分線”→ 立刻想到角平分線的兩個性質(zhì)（角相等、到兩邊距離相等）；
• 看到“”→ 結(jié)合（直角三角形兩銳角互余），推出；
• 看到“線段和/差”→ 優(yōu)先考慮全等轉(zhuǎn)化或“截長補短”。

2. 從“目標(biāo)”倒推，找“缺失條件”

• 第(2)問目標(biāo)是“”，已知即→ 猜想結(jié)果是，需要將轉(zhuǎn)化為與相關(guān)的線段→ 缺“垂線”輔助線來構(gòu)造全等；
• 第(3)問目標(biāo)是“的關(guān)系”→ 缺“將轉(zhuǎn)移到軸”的全等三角形，結(jié)合，用“截長”法取。

3. 積累“模型直覺”，快速聯(lián)想

考試中幾何題的輔助線是“有套路的”，平時要積累模型：

• 角平分線模型：遇角平分線，作兩邊的垂線（得距離相等）；
• 線段和差模型：截長補短（構(gòu)造全等，轉(zhuǎn)移線段）；
• 直角三角形模型：HL判定全等的前提是“直角 斜邊 直角邊”，需先找直角。

4. 試錯與驗證：先“猜”再“證”

如果暫時沒思路，先“大膽猜想”：

• 第(2)問中，，大概率結(jié)果是（），再反向推導(dǎo)需要的全等條件；
• 第(3)問中，線段和差通常是“”或“”，先假設(shè)關(guān)系，再構(gòu)造輔助線驗證。

通過“條件翻譯→目標(biāo)倒推→模型聯(lián)想→試錯驗證”，結(jié)合波利亞的解題步驟，就能逐步突破幾何題的輔助線和邏輯推導(dǎo)。

更多文獻：

2025年八年級上學(xué)期期中測試第25題（含 “60° 角模型”“動點軌跡模型” 的應(yīng)用，直線型瓜豆），初二培優(yōu)系列129