上一篇文章中，我們在講方差和標準差時，用到的公式分母是 n。可是，如果你去翻現(xiàn)在的統(tǒng)計學教材，就會發(fā)現(xiàn)樣本方差和樣本標準差的分母寫成了 n?1。這到底是為什么？難道以前的公式錯了嗎？

【一】 從 n 到 n?1：歷史的演變

在統(tǒng)計學的發(fā)展早期，很多教材中的樣本方差寫法是：

這樣寫很自然：它和總體方差的形式一模一樣，也更容易記憶。

如果我們有一個總體（比如全校所有學生成績），均值 μ 是已知的常數(shù)，當然可以除以 N。

但是在現(xiàn)實中，我們幾乎從來拿不到整個總體的數(shù)據(jù)。我們只能通過抽樣得到一部分數(shù)據(jù)（樣本），再用樣本均值來代替總體均值。

問題就出在這里。樣本均值本身是一個估計量，它依賴于樣本數(shù)據(jù)，因此會讓計算出的方差偏小。換句話說，這樣的樣本方差（分母 n）是有偏的，不能準確地反映總體的真實波動。

到了 20 世紀以后，統(tǒng)計學家們（如 Fisher、Neyman 等）提出修正方案：

把分母改成 n?1，得到新的公式：

很多同學還會問：為什么一定是 n?1，而不是 n?2、n?3？

要回答這個問題，就得先理解“自由度”是什么。

所謂自由度，可以理解為：數(shù)據(jù)里真正能自由變化的數(shù)量。

舉個例子：

假設(shè)你有 5 個同學的分數(shù)，平均分已經(jīng)算出來是 70。

• 前 4 個同學的分數(shù)，你可以隨意決定；

• 但第 5 個同學的分數(shù)就不能隨便了，因為它必須保證平均分仍然是 70。

所以，雖然你有 5 個數(shù)據(jù)點，但實際上只有 4 個是真正自由的。

這就是 n?1 的由來。

換句話說：在計算樣本方差時，我們已經(jīng)“用掉”了一個自由度去計算樣本均值，因此在計算分散程度時，只剩下 n?1 個自由度。

讓我們用一個更直觀的小例子：

假設(shè)有 3 個學生的成績：60 分、70 分、80 分。
樣本均值是：

如果用 分母 n=3 計算方差：

哪一個更接近總體方差？

如果這 3 個學生是從一個大班級里隨機抽樣的，那么用 n?1 得到的結(jié)果才是總體方差的“無偏估計”。

這就是為什么現(xiàn)代統(tǒng)計學堅持使用 n?1。

• 總體方差：分母是 N，因為均值是已知的常數(shù)。

• 樣本方差：分母是 n?1，因為樣本均值消耗了一個自由度。

• 歷史原因：早期教材直接用分母 n，但統(tǒng)計學發(fā)展后發(fā)現(xiàn)這樣會低估總體方差，因此改為 n?1，并成為今天的標準。

• 自由度的直觀理解：就是“真正能自由變化的數(shù)據(jù)個數(shù)”。

?? 所以，今天我們在教材里看到的樣本方差公式，并不是“突然改了”，而是統(tǒng)計學經(jīng)過幾十年的發(fā)展，逐漸形成的科學共識。