難點(diǎn)一：概念深化與理解——“三線(xiàn)合一”的逆用

· 難點(diǎn)表現(xiàn)： 學(xué)生容易記住“等腰三角形 ? 三線(xiàn)合一”，但反之，“三線(xiàn)合一 ? 等腰三角形”的逆定理應(yīng)用是巨大難點(diǎn)。即，已知一條線(xiàn)同時(shí)具備兩種身份（如既是中線(xiàn)又是高），求證三角形是等腰三角形。

· 經(jīng)典易錯(cuò)題：

在△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，同時(shí)也是BC邊上的高。求證：△ABC是等腰三角形。

· 錯(cuò)誤證法： 學(xué)生試圖直接使用“三線(xiàn)合一”定理，但該定理的前提是“已知是等腰三角形”，而本題是要求證這個(gè)前提。

· 正確思路與證明： ∵ AD是中線(xiàn)，∴ BD = DC。 ∵ AD是高，∴ AD ⊥ BC， ∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°。 在△ABD和△ACD中： ? BD = CD （已知） ? ∠ADB = ∠ADC （已證） ? AD = AD （公共邊） ∴ △ABD ≌ △ACD (SAS) ∴ AB = AC ∴ △ABC是等腰三角形。

? 突破策略：嚴(yán)格區(qū)分定理和逆定理?！叭€(xiàn)合一”是性質(zhì)定理，而“三線(xiàn)中有兩線(xiàn)重合可判定等腰”是判定定理。遇到證明等腰的問(wèn)題，優(yōu)先考慮“等角對(duì)等邊”和“三線(xiàn)合一的逆定理”。

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難點(diǎn)二：分類(lèi)討論——遇角遇邊需討論

這是等腰三角形相關(guān)題目中出錯(cuò)率最高的地方，因?yàn)榻饪赡懿晃ㄒ弧?/p>

情況一：遇角不確定

· 難點(diǎn)表現(xiàn)：題目只給出一個(gè)角的度數(shù)，未說(shuō)明是頂角還是底角，必須分類(lèi)討論。

· 經(jīng)典例題：

等腰三角形的一個(gè)角是50°，求它的另外兩個(gè)角的度數(shù)。

· 錯(cuò)誤解法：直接認(rèn)為50°是底角，算出頂角為80°。

· 正確分類(lèi)：

1. 若50°是頂角，則兩個(gè)底角為 (180° - 50°) / 2 = 65°。

2. 若50°是底角，則另一個(gè)底角也是50°，頂角為 180° - 50° - 50° = 80°。 ∴ 另外兩個(gè)角為 65°和65° 或 50°和80°。

情況二：遇邊不確定

· 難點(diǎn)表現(xiàn)：題目給出兩邊長(zhǎng)，未說(shuō)明哪條是腰，哪條是底邊。

· 經(jīng)典例題：

等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和6，求其周長(zhǎng)。

· 錯(cuò)誤解法：直接認(rèn)為腰是3，底是6，周長(zhǎng)為12；或腰是6，底是3，周長(zhǎng)為15。

· 正確分類(lèi)與驗(yàn)證：

1. 若腰為3，底為6：則三邊為3, 3, 6。但 3+3=6，不大于6，違反三角形三邊關(guān)系，舍去。

2. 若腰為6，底為3：則三邊為6, 6, 3。滿(mǎn)足 6+3>6, 6+6>3。 ∴ 周長(zhǎng) = 6 + 6 + 3 = 15。

? 突破策略：牢記口訣——“遇角討論頂和底，遇邊討論腰和底”。只要題目條件沒(méi)有明確指定一個(gè)角是頂角還是底角，或一條邊是腰還是底，就必須進(jìn)行討論，并且最后一定要用三角形內(nèi)角和定理（角度和為180°）和三邊關(guān)系定理（兩邊之和大于第三邊）來(lái)檢驗(yàn)結(jié)果是否合理，舍去不合理的情況。

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難點(diǎn)三：輔助線(xiàn)構(gòu)造——如何作輔助線(xiàn)

等腰三角形的輔助線(xiàn)作法相對(duì)固定，但學(xué)生不知道何時(shí)該作，以及為什么這樣作。

· 核心思想：再造一個(gè)等腰三角形或構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題。

· 常用輔助線(xiàn)及適用場(chǎng)景：

1. 作“三線(xiàn)”之一（最常用）：通常是作底邊上的高。

· 用途：當(dāng)問(wèn)題涉及角度、面積或需要構(gòu)造直角三角形（為用勾股定理或HL證全等）時(shí)。

· 效果：立即產(chǎn)生兩個(gè)全等的直角三角形，便于轉(zhuǎn)移邊角條件。

2. 平行線(xiàn)：在腰上作平行線(xiàn)。

· 用途：構(gòu)造出新的、更小的等腰三角形，實(shí)現(xiàn)比例的轉(zhuǎn)移。常出現(xiàn)“平行線(xiàn)+角平分線(xiàn) ? 等腰三角形”的模型。

3. 倍長(zhǎng)中線(xiàn)：雖然中線(xiàn)本身是“三線(xiàn)”，但有時(shí)需要倍長(zhǎng)。

· 用途：將分散的條件集中，構(gòu)造全等三角形，用于證明線(xiàn)段之間的和差倍分關(guān)系。

? 突破策略：觀(guān)察題目所求。如果問(wèn)題與角度、高、面積相關(guān)，優(yōu)先考慮作高。如果問(wèn)題與線(xiàn)段關(guān)系（如求證一條線(xiàn)是另一條的兩倍）相關(guān)，考慮倍長(zhǎng)中線(xiàn)或構(gòu)造平行線(xiàn)。

難點(diǎn)四：綜合應(yīng)用——與其它知識(shí)的結(jié)合

等腰三角形很少單獨(dú)出現(xiàn)，常與全等、勾股、坐標(biāo)系等結(jié)合，增加難度。

· 難點(diǎn)表現(xiàn)：無(wú)法將等腰三角形的性質(zhì)作為工具，嵌入到復(fù)雜的綜合題中。

· 經(jīng)典綜合題類(lèi)型：

1. 等腰三角形 + 全等三角形：利用等腰提供邊等或角等，作為證明全等的條件。

2. 等腰三角形 + 勾股定理：作高后，形成直角三角形，設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理列方程求邊長(zhǎng)或高。

例：等腰三角形腰長(zhǎng)5，底邊長(zhǎng)6，求面積。 > 解法：作底邊上的高，由“三線(xiàn)合一”知垂足為底邊中點(diǎn)。則高所在的直角三角形兩直角邊為3和5，高為4。面積= (6×4)/2=12。

3. 等腰三角形 + 平面直角坐標(biāo)系：在坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，尋找使△PAB為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

· 此題為中考?jí)狠S題常見(jiàn)題型，難點(diǎn)在于分類(lèi)討論。

· 需分三種情況討論：①PA=PB（作AB中垂線(xiàn)）②PA=AB（以A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓）③PB=AB（以B為圓心，AB為半徑畫(huà)圓）。然后求這些軌跡與坐標(biāo)軸/直線(xiàn)的交點(diǎn)。

? 突破策略：將等腰三角形視為一個(gè)“條件包”。一旦識(shí)別出或證明出等腰，立刻在腦中調(diào)用其所有性質(zhì)（等邊、等角、三線(xiàn)合一），看看哪個(gè)性質(zhì)能為解決下一步問(wèn)題提供突破口。

總結(jié)與提升建議

1. 夯實(shí)基礎(chǔ)：深刻理解并能正反運(yùn)用“等邊對(duì)等角”和“三線(xiàn)合一”。

2. 樹(shù)立意識(shí)：一做題就先條件反射般地思考“是否需要分類(lèi)討論？”。

3. 掌握模式：熟練記憶并實(shí)踐等腰三角形的幾種固定輔助線(xiàn)作法。

4. 綜合訓(xùn)練：多做將等腰三角形與方程、函數(shù)、全等相結(jié)合的題目，提高知識(shí)遷移和能力。

攻克這些難點(diǎn)，等腰三角形將從一座險(xiǎn)峰變?yōu)槟銕缀瓮鯂?guó)中的堅(jiān)實(shí)堡壘。