【原】數(shù)的

自學(xué)成長研習(xí)社 2025-09-30 發(fā)布于福建

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常見數(shù)的整除規(guī)則是判斷一個整數(shù)能否被另一個特定整數(shù)整除的簡便方法，無需通過完整除法計算，僅需觀察被除數(shù)的末幾位數(shù)字、數(shù)字和、數(shù)字差等特征即可快速判定。以下按 “10 以內(nèi)數(shù)”“10-100 以內(nèi)常用數(shù)” 分類整理，涵蓋中小學(xué)數(shù)學(xué)及日常應(yīng)用中最核心的規(guī)則，并附原理說明和示例，幫助理解與記憶。

一、10 以內(nèi)數(shù)的整除規(guī)則（基礎(chǔ)核心）

10 以內(nèi)的數(shù)是構(gòu)建復(fù)雜整除規(guī)則的基礎(chǔ)，規(guī)則簡單且應(yīng)用頻率最高。

除數(shù)	整除規(guī)則	原理說明	示例
2	若一個數(shù)的末位數(shù)字是偶數(shù)（0、2、4、6、8），則能被 2 整除		124：末位 4 是偶數(shù) → 124÷2=62（整除）；123：末位 3 是奇數(shù) → 123÷2=61.5（不整除）
3	若一個數(shù)的所有數(shù)字之和能被 3 整除，則該數(shù)能被 3 整除		123：1+2+3=6（6÷3=2） → 123÷3=41（整除）；124：1+2+4=7（7÷3 余 1） → 124÷3 余 1（不整除）
4	若一個數(shù)的末兩位數(shù)字組成的數(shù)能被 4 整除，則該數(shù)能被 4 整除	因末兩位前的部分）必為 4 的倍數(shù)（100=4×25），故只需判斷末兩位組成的數(shù)是否為 4 的倍數(shù)	124：末兩位 “24”→24÷4=6 → 124÷4=31（整除）；123：末兩位 “23”→23÷4 余 3 → 123÷4 余 3（不整除）
5	若一個數(shù)的末位數(shù)字是 0 或 5，則能被 5 整除	同理，整數(shù) = 10k+d，10k 是 5 的倍數(shù)，只需 d 是 5 的倍數(shù)（即 0 或 5）	125：末位 5 → 125÷5=25（整除）；124：末位 4 → 124÷5=24.8（不整除）
6	若一個數(shù)同時能被 2 和 3 整除，則能被 6 整除	6=2×3，且 2 和 3 互質(zhì)（最大公約數(shù)為 1），故需同時滿足 2 和 3 的整除規(guī)則	126：末位 6（能被 2 整除），1+2+6=9（能被 3 整除） → 126÷6=21（整除）；124：能被 2 但不能被 3 → 不整除
7	（兩種常用規(guī)則，選其一記憶即可）1. 截尾法：去掉末位數(shù)字，用剩余數(shù)減去末位數(shù)字的 2 倍，若結(jié)果能被 7 整除（可重復(fù)操作），則原數(shù)能被 7 整除；2. 末三位法：若末三位數(shù)字組成的數(shù)與末三位前的數(shù)之差能被 7 整除，則原數(shù)能被 7 整除	原理基于模 7 運算	例 1（截尾法）：147 → 14 - 7×2=0（0 能被 7 整除） → 147÷7=21（整除）；例 2（末三位法）：12345 → 345 - 12=333 → 333÷7≈47.57（不整除） → 12345÷7 余 3
8	若一個數(shù)的末三位數(shù)字組成的數(shù)能被 8 整除，則該數(shù)能被 8 整除	只需判斷末三位	1232：末三位 “232”→232÷8=29 → 1232÷8=154（整除）；1234：末三位 “234”→234÷8=29.25（不整除）
9	若一個數(shù)的所有數(shù)字之和能被 9 整除，則該數(shù)能被 9 整除	與 3 類似	126：1+2+6=9（能被 9 整除） → 126÷9=14（整除）；123：1+2+3=6（不能被 9 整除） → 123÷9 余 6
10	若一個數(shù)的末位數(shù)字是 0，則能被 10 整除	10=2×5，末位為 0 時同時滿足 2 和 5 的規(guī)則，且 10k 的末位必為 0	120：末位 0 → 120÷10=12（整除）；125：末位 5 → 125÷10=12.5（不整除）

二、10-100 以內(nèi)常用數(shù)的整除規(guī)則（拓展應(yīng)用）

這類數(shù)的規(guī)則多基于 “分解質(zhì)因數(shù)”（如 12=3×4，15=3×5）或 “特殊模運算”（如 11、13），常用于稍復(fù)雜的整數(shù)判定。

除數(shù)	整除規(guī)則	示例
11	（兩種規(guī)則，推薦第一種）1. 奇偶位差法：將數(shù)的各位數(shù)字按 “奇數(shù)位（從右數(shù)第 1、3、5 位...）” 和 “偶數(shù)位（第 2、4、6 位...）” 分組，計算兩組數(shù)字和的差，若差能被 11 整除（包括差為 0），則原數(shù)能被 11 整除；2. 截尾法：去掉末位數(shù)字，用剩余數(shù)減去末位數(shù)字的 1 倍，若結(jié)果能被 11 整除（可重復(fù)），則原數(shù)能被 11 整除	例 1（奇偶位差法）：121 → 奇數(shù)位（1、1）和 = 2，偶數(shù)位（2）和 = 2，差 = 0 → 121÷11=11（整除）；例 2（截尾法）：132 → 13 - 2=11（能被 11 整除） → 132÷11=12（整除）
12	若一個數(shù)同時能被 3 和 4 整除，則能被 12 整除	12=3×4（3 和 4 互質(zhì)），需同時滿足 3（數(shù)字和能被 3 整除）和 4（末兩位能被 4 整除）的規(guī)則：144：數(shù)字和 1+4+4=9（能被 3 整除），末兩位 44÷4=11（能被 4 整除） → 144÷12=12（整除）
15	若一個數(shù)同時能被 3 和 5 整除，則能被 15 整除	15=3×5（3 和 5 互質(zhì)），需同時滿足 3（數(shù)字和能被 3 整除）和 5（末位 0 或 5）的規(guī)則：135：數(shù)字和 1+3+5=9（能被 3 整除），末位 5（能被 5 整除） → 135÷15=9（整除）
16	若一個數(shù)的末四位數(shù)字組成的數(shù)能被 16 整除，則該數(shù)能被 16 整除	因 10000=16×625，末四位前的部分是 10000 的倍數(shù)，故只需判斷末四位：12336：末四位 “2336”→2336÷16=146 → 12336÷16=771（整除）
17	截尾法：去掉末位數(shù)字，用剩余數(shù)減去末位數(shù)字的 5 倍，若結(jié)果能被 17 整除（可重復(fù)操作），則原數(shù)能被 17 整除	170 → 17 - 0×5=17（能被 17 整除） → 170÷17=10（整除）；289 → 28 - 9×5=28-45=-17（能被 17 整除） → 289÷17=17（整除）
19	截尾法：去掉末位數(shù)字，用剩余數(shù)加上末位數(shù)字的 2 倍，若結(jié)果能被 19 整除（可重復(fù)操作），則原數(shù)能被 19 整除	361 → 36 + 1×2=38（能被 19 整除） → 361÷19=19（整除）；570 → 57 + 0×2=57（能被 19 整除） → 570÷19=30（整除）
25	若一個數(shù)的末兩位數(shù)字是 00、25、50 或 75（即末兩位能被 25 整除），則該數(shù)能被 25 整除	25=52，100=4×25，末兩位前的部分是 100 的倍數(shù)，故只需判斷末兩位：125：末兩位 25 → 125÷25=5（整除）；130：末兩位 30 → 130÷25=5.2（不整除）
50	若一個數(shù)同時能被 2 和 25 整除（即末兩位是 00），則能被 50 整除	50=2×25（2 和 25 互質(zhì)），需滿足 2（末位偶數(shù)）和 25（末兩位 00、25 等），結(jié)合后僅末兩位為 00：200：末兩位 00 → 200÷50=4（整除）；150：末兩位 50（能被 25 但 150 末位 0 能被 2） → 150÷50=3（整除）