【原】簡諧振動的能量

cosmos2062 2025-09-25 發(fā)布于廣東

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在物體做簡諧振動的過程中，振動勢能和振動動能都隨著時間而改變。由于線性恢復力是保守力，因此，振動勢能和振動動能之間雖然相互轉化，但是總能量卻保持不變。

在推導彈簧振子做簡諧振動所滿足的微分方程時，我們忽略了空氣的阻力和桌面的摩擦力等次要因素的影響，只考慮彈性力的作用。由于彈簧的線性恢復力是保守力，因此，系統(tǒng)的總機械能必定保持不變： $\begin{equation}\notag E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2 \end{equation}$ 在上述能量守恒方程中，第一項是彈簧振子的振動動能： $\begin{equation}\notag E_K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\varphi_0) \end{equation}$ 第二項是彈簧振子的振動勢能： $\begin{equation}\notag E_P=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t+\varphi_0) \end{equation}$ 由此可見，彈簧振子在振動過程中的振動勢能和振動動能都隨著時間而改變，但是，兩者之間相互轉化，它們的總和保持不變。

在一個振動周期內，振動動能的平均值 $\begin{align} \overline{E_K}&=\frac{1}{T}\int\limits_0^TE_K(t){\rm d}t\notag\\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{2}kA^2\int\limits_0^T\sin^2(\omega t+\varphi_0){\rm d}t\notag\\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{2}kA^2\frac{T}{2}=\frac{1}{2}E\notag \end{align}$ 同樣可以算出振動勢能的周期平均值： $\begin{align} \overline{E_P}&=\frac{1}{T}\int\limits_0^TE_P(t){\rm d}t\notag\\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{2}kA^2\int\limits_0^T\cos^2(\omega t+\varphi_0){\rm d}t\notag\\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{2}kA^2\frac{T}{2}=\frac{1}{2}E\notag \end{align}$ 結果發(fā)現(xiàn)，振動動能的周期平均值與振動勢能的周期平均值相等。從能量守恒的視角看，這是一個很自然的結果。

小結有關簡諧振動的知識可以得到，一個物體是否在做簡諧振動，可以從三個視角作出判斷：從動力學的視角看，如果物體在線性恢復力的作用下運動，它將做簡諧振動。在這種情況下，系統(tǒng)的振動是由彈性力與慣性的聯(lián)合作用造成的。彈性力的特點是使系統(tǒng)回到平衡位置，而慣性則阻止系統(tǒng)停留在平衡位置；從能量的視角看，由于與線性恢復力對應的勢能與位置的平方成正比，因此，物體的勢能是否與位置的平方成正比也可以作為判斷系統(tǒng)是否做簡諧振動的依據(jù)；從運動學的視角看，由于在線性恢復力作用下運動的物體所滿足的微分方程必定具有時間的余弦函數(shù)或者正弦函數(shù)形式的解，因此，做簡諧振動的物體的位置必定是時間的余弦函數(shù)或正弦函數(shù)。

讓我們從能量的視角對簡諧振動再做一些簡單的討論。

一般情況下，嚴格的線性恢復力在現(xiàn)實中并不存在。即使是一個制造完美的彈簧，也只在伸長量很小的范圍內，以一個較高的近似程度表現(xiàn)出線性恢復力的性質。

除了彈簧振子，在許多場合中，物體的勢能與空間位置的函數(shù)關系都會在某些位置處出現(xiàn)某種形式的極小值。在這種情況下，如果物體的運動被限制在勢能的某個極小值附近很小的范圍內，則可以將勢能函數(shù)在極小值處的鄰域展開成位置的泰勒級數(shù)，并只取到位置的平方這一級近似。勢能的這種近似表示就對應著線性恢復力近似。于是，物體將以勢能的極小值位置作為平衡位置而做近似的簡諧振動。

作為一個簡單的實例，考慮物體的一維運動，在這種情況下，勢能是一個單變量函數(shù)： $U=U(x)$ 。如果這個勢能在某點 $x_0$ 處取極小值，則可以在這一點的鄰域將勢能展開成泰勒級數(shù)： $\begin{align} U()&=U(x_0)+U'(X_0)(x-x_0)\notag\\&\quad+\frac{1}{2}U''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots\notag\end{align}$ 顯然， $U'(x_0)=0$ 。由于勢能的零點具有一定的任意性，因此，在所考慮的運動范圍內，可以取 $U(x_0)=0$ 。另一方面，坐標系的原點也有一定的任意性，可以通過坐標變換使新的坐標系的原點位于 $x_0$ ，于是， $x_0=0$ 。如果忽略高階小項，就得到滿足簡諧振動所必需的勢能形式： $\begin{equation}\notag U(x)=\frac{1}{2}U''(0)x^2\end{equation}$ 在這種近似下，物體所受的力也近似地是線性恢復力： $\begin{equation}\notag\vec{f}=-U'(x)=-U''(0)x\end{equation}$ 其中與彈簧的勁度系數(shù) $k$ 對應的量是 $U''(0)$ 。