【原】描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)

cosmos2062 2025-09-18 發(fā)布于廣東

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從簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程求解出描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并討論描寫簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各個(gè)物理量。

根據(jù)微分方程的理論，簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程的解可以表示為 $\begin{equation}\notag x=A\cos(\omega t+\varphi_0) \end{equation}$ 它反映了物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)位置與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。公式中 $A$ 和 $\varphi_0$ 是兩個(gè)積分常數(shù)，分別被稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅和初相位，由振動(dòng)的初始狀態(tài)確定； $\omega$ 是一個(gè)反映振動(dòng)系統(tǒng)的基本特性的物理量，被稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率，而 $\omega t+\varphi_0$ 則被稱為相位。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)形式，其振動(dòng)曲線是一條簡(jiǎn)單的三角函數(shù)曲線。復(fù)雜的振動(dòng)可以由若干個(gè)圓頻率不同、振幅和初相位也可能不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加而成。

由于正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)相似，我們也可以將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中的余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)： $\begin{align} x&=A\cos(\omega t+\varphi_0)\notag \\&=A\sin(\omega t+\varphi_0+\frac{\pi}{2})\notag \\&=A\sin(\omega t+\varphi'_0)\notag \end{align}$ 得到用正弦函數(shù)表示的振動(dòng)方程。

在簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程的解中，振幅 $A$ 是物理量對(duì)平衡值的最大偏離，它給出了振動(dòng)的范圍或幅度。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本性質(zhì)是它的時(shí)間周期性，物理量作一次完整振動(dòng)所需要的時(shí)間 $T$ 被稱為振動(dòng)的周期。根據(jù)振動(dòng)周期的這個(gè)定義可以知道，經(jīng)過(guò)一個(gè)振動(dòng)周期后，系統(tǒng)完全恢復(fù)原來(lái)的狀態(tài)： $\begin{align} x&=A\cos(\omega t+\varphi_0)\notag \\&=A\cos(\omega(t+T)+\varphi_0)\notag \end{align}$ 振動(dòng)周期的倒數(shù) $\nu$ 表示單位時(shí)間內(nèi)完整振動(dòng)的次數(shù)，被稱為振動(dòng)的頻率。不難明白，周期、頻率和圓頻率之間滿足如下關(guān)系： $\begin{equation}\notag \nu=\frac{1}{T}\ ,\ \omega=2\pi\nu=\frac{2\pi}{T} \end{equation}$ 在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，振動(dòng)的周期、頻率和圓頻率完全由系統(tǒng)的性質(zhì)決定，因此，在物理學(xué)中，分別把它們稱為固有周期、固有頻率和固有圓頻率。這幾個(gè)物理量給出了振動(dòng)進(jìn)行的快慢程度。

現(xiàn)在，我們來(lái)討論振動(dòng)物體的速度和加速度。將簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位置—時(shí)間函數(shù)關(guān)系對(duì)時(shí)間分別求一階和二階導(dǎo)數(shù)，就可以得到振子的速度和加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系： $\begin{align} v&=-\omega A\sin(\omega t+\varphi_0)\notag\\ a&=-\omega^2A\cos(\omega t+\varphi_0)\notag \end{align}$ 為了將這兩個(gè)物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系與位置隨時(shí)間的變化關(guān)系做比較，把它們的形式改寫一下是有好處的： $\begin{align} v&=\omega A\cos(\omega t+\varphi_0+\frac{\pi}{2})\notag\\ a&=\omega^2A\cos(\omega t+\varphi_0+\pi)\notag \end{align}$ 我們看到，速度和加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系也是余弦函數(shù)，滿足我們?cè)谇懊鎸?duì)廣義的振動(dòng)的定義，因而也是一種振動(dòng)。

位置、速度和加速度是反映物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的三個(gè)基本物理量，對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)而言，這三個(gè)物理量與振動(dòng)相位 $\omega t+\varphi_0$ 密切相關(guān)。從這三個(gè)物理量的表達(dá)式可以看到，當(dāng)振幅和圓頻率確定時(shí)，振動(dòng)的瞬時(shí)狀態(tài)完全取決于振動(dòng)相位。在初始時(shí)刻，振動(dòng)的狀態(tài)取決于初相位 $\varphi_0$ ： $\begin{equation}\notag x_0=A\cos\varphi_0\ ,\ v_0=-\omega A\sin\varphi_0 \end{equation}$ 由此可以解出振幅和初相位與初始狀態(tài)的關(guān)系： $\begin{equation}\notag A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}\ ,\ \tan\varphi_0=-\frac{v_0}{\omega x_0} \end{equation}$ 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，只要初始狀態(tài)已知，位置—時(shí)間的函數(shù)關(guān)系就完全被確定下來(lái)了。

相位總是相對(duì)而言的，對(duì)單個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，我們總可以適當(dāng)?shù)剡x擇計(jì)時(shí)的零點(diǎn)，使振動(dòng)的初相位等于零。對(duì)多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們之間的相位差反映了各個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的步調(diào)之間的關(guān)系，是一個(gè)具有重要物理意義的量。如果兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率相同，那么，它們的相位差不隨時(shí)間改變，等于它們?cè)谡駝?dòng)初始時(shí)刻的相位差： $\begin{equation}\notag \Delta\varphi=\varphi_{20}-\varphi_{10}=\Delta\varphi_0 \end{equation}$ 如果兩個(gè)振動(dòng)的步調(diào)一致，則它們之間的相位差 $\begin{equation}\notag \Delta\varphi=\pm2k\pi\ ,\ k=0,1,2,\cdots \end{equation}$ 我們把這種情況稱為兩個(gè)振動(dòng)是同相位的；如果兩個(gè)振動(dòng)的步調(diào)相反，則它們之間的相位差 $\begin{equation}\notag \Delta\varphi=\pm(2k+1)\pi\ ,\ k=0,1,2,\cdots \end{equation}$ 我們把這種情況稱為兩個(gè)振動(dòng)是反相位的；一般情況下，如果兩個(gè)振動(dòng)的相位差處于上半平面： $\begin{equation}\notag0<\Delta\varphi<\pi\end{equation}$ 我們就說(shuō)第二個(gè)振動(dòng)的相位比第一個(gè)振動(dòng)的相位超前，或者說(shuō)第二個(gè)振動(dòng)的步調(diào)領(lǐng)先于第一個(gè)振動(dòng)；如果兩個(gè)振動(dòng)的相位差處于下半平面： $\begin{equation}\notag -\pi<\Delta\varphi<0 \end{equation}$ 我們就說(shuō)第二個(gè)振動(dòng)的相位比第一個(gè)振動(dòng)的相位落后，或者說(shuō)第二個(gè)振動(dòng)的步調(diào)落后于第一個(gè)振動(dòng)。當(dāng)然，所謂 “超前” 與 “落后” 也是相對(duì)而言的。事實(shí)上，“第二個(gè)振動(dòng)的相位比第一個(gè)振動(dòng)的相位超前 $\Delta\varphi$ ” 這個(gè)結(jié)論與 “第二個(gè)振動(dòng)的相位比第一個(gè)振動(dòng)的相位落后 $2\pi-\Delta\varphi$ ” 的說(shuō)法是等價(jià)的。

從振子的速度和加速度的表達(dá)式可以看出，與振子的位置相比，速度和加速度的振幅發(fā)生了改變，而且，這兩個(gè)振動(dòng)達(dá)到極大的時(shí)刻也比位置極大提前了一段時(shí)間，或者從相位的視角看，超前了一定相位。從公式中可以看出，速度的相位比位置的相位超前了 $\pi/2$ ，而加速度的相位比位置的相位超前了 $\pi$ 。從振動(dòng)的圖象上看，這個(gè)結(jié)果并不難理解，當(dāng)加速度達(dá)到正向極大時(shí)，振子位于負(fù)向極大處，而當(dāng)速度達(dá)到正向極大時(shí)，振子則到達(dá)平衡位置并準(zhǔn)備朝正方向運(yùn)動(dòng)，上面給出的位置、速度和加速度隨時(shí)間變化的曲線圖正好反映了這種關(guān)系。