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泊松分布（Poisson Distribution）是統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論中一種重要的離散概率分布，用于描述在單位時間或單位空間內(nèi)某事件發(fā)生次數(shù)的概率。 泊松分布廣泛應(yīng)用于排隊(duì)論、通信、保險(xiǎn)、交通流量、生物統(tǒng)計(jì)等多個領(lǐng)域。 泊松分布的定義如果隨機(jī)變量 X 表示某單位時間或單位區(qū)域內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)，并且滿足以下條件。- 獨(dú)立性：事件的發(fā)生是獨(dú)立的，某一區(qū)域的發(fā)生不影響另一區(qū)域。
- 稀疏性：在很短的時間間隔或很小的區(qū)域內(nèi)，事件發(fā)生的概率很低。
- 恒定速率：單位時間或單位區(qū)域內(nèi)，事件發(fā)生的平均次數(shù)是恒定的。
那么，X 就服從泊松分布，其概率質(zhì)量函數(shù)為 其中 泊松分布的性質(zhì)1.泊松分布的期望和方差這表明，泊松分布的均值和方差相等，這一特性在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義。 2.無記憶性泊松過程具有無記憶性，即未來的事件發(fā)生與過去無關(guān)。3.加法性泊松分布與其他分布的關(guān)系二項(xiàng)分布的極限 當(dāng)二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù) n 趨近于無窮大，而成功概率 p 趨近于零，且 時公式表示為： 指數(shù)分布的事件間隔 如果事件間隔服從指數(shù)分布，且事件獨(dú)立發(fā)生，那么在單位時間內(nèi)事件的次數(shù)服從泊松分布。 泊松分布的應(yīng)用- 電信領(lǐng)域：用于建模電話呼叫中心在單位時間內(nèi)接到的呼叫數(shù)量。
- 交通領(lǐng)域：描述某段道路在單位時間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)。
- 生物統(tǒng)計(jì)：用于描述細(xì)胞分裂、基因突變或動物個體的分布情況。
- 網(wǎng)絡(luò)安全：評估網(wǎng)絡(luò)攻擊事件在單位時間內(nèi)發(fā)生的次數(shù)。
- 保險(xiǎn)業(yè)：用于預(yù)測單位時間內(nèi)的索賠次數(shù)。
案例分享例1：呼叫中心電話到達(dá)某呼叫中心平均每分鐘接到 5 個電話。假設(shè)電話到達(dá)是獨(dú)立的，求一分鐘內(nèi)接到7個電話的概率。import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson
# 參數(shù)設(shè)定
lambda_ = 5 # 平均到達(dá)率 λ
k = 7 # 事件次數(shù)
# 計(jì)算泊松概率
prob = poisson.pmf(k, lambda_)
print(f'一分鐘內(nèi)接到{k}個電話的概率為: {prob:.4f}')
例2：交通事故某城市平均每天有 2 起交通事故。求某一天無交通事故發(fā)生的概率。所以某天無交通事故發(fā)生的概率為 # 參數(shù)設(shè)定
lambda_ = 2 # 平均事故發(fā)生率 λ
k = 0 # 事件次數(shù)
# 計(jì)算泊松概率
prob = poisson.pmf(k, lambda_)
print(f'某天無交通事故發(fā)生的概率為: {prob:.4f}')
例三：繪制泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)下面的代碼將繪制不同 λ 值下的泊松分布 PMF 圖像。 # 參數(shù)設(shè)定
lambda_values = [2, 5, 10] # 不同的 λ 值
k_max = 15 # k 的最大值
# 生成 k 值
k = np.arange(0, k_max + 1)
# 繪制不同 λ 值的泊松分布
plt.figure(figsize=(10, 6))
for lambda_ in lambda_values:
pmf = poisson.pmf(k, lambda_)
plt.plot(k, pmf, 'o-', label=f'λ = {lambda_}')
plt.title('泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù) (PMF)')
plt.xlabel('事件發(fā)生次數(shù) (k)')
plt.ylabel('概率 P(X = k)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
該圖顯示了 λ = 2、5、10 時泊松分布的 PMF。可以觀察到，隨著 λ 的增加，分布的形狀由偏斜逐漸趨于對稱。 
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