解決九宮格問題，有訣竅！

只要你懂得了其中的規(guī)律，把握住了幾種常用的解題方法，再能迅速找到突破口，解決起來非常容易，就是分分鐘的事。

下面就這三個(gè)問題分述一下。

先說第一個(gè)問題：三階和幻方的規(guī)律。

第一，在九宮格中，每行、每列、每條斜線上三數(shù)之和都相等，這三數(shù)之和叫做幻和。

幻和等于中心數(shù)的三倍，也等于九數(shù)之和的三分之一。所以，已知中心數(shù)或者九數(shù)之和，都可以求得幻和。反過來，已知幻和，也可以求得中心數(shù)和九數(shù)之和。

第二，中心數(shù)。中心數(shù)是九個(gè)數(shù)中間的數(shù)，也是九宮格中位于中心位置上的數(shù)。

中心數(shù)等于九數(shù)的平均數(shù)，所以中心數(shù)等于九數(shù)之和的九分之一。

中心數(shù)還等于一、九兩數(shù)和的一半；還等于二、八兩數(shù)和的一半；還等于三、七兩數(shù)和的一半；還等于四、六兩數(shù)和的一半。

中心數(shù)是解決九宮格問題的一個(gè)很重要的因素。知道了中心數(shù)，就可以算出幻和。

第三，斜二格上兩個(gè)數(shù)的和等于相對(duì)角數(shù)的二倍，或者說角數(shù)等于相對(duì)斜二格上兩數(shù)和的一半。

斜二格上的兩個(gè)數(shù)和相對(duì)角上的數(shù)，由于具有特殊關(guān)系，所以這三數(shù)所構(gòu)成的圖形叫做黃金三角形。

第四，九宮格中的九個(gè)數(shù)是一個(gè)三段兩公差數(shù)列。

例如①1、2、3、4、5、6、7、8、9；

②1、2、3、5、6、7、9、10、11；

③2 、5、 7、 8 、10、 12 、13 、15、 18。

上面這三個(gè)數(shù)列都是符合要求的數(shù)列。

數(shù)列①是九個(gè)連續(xù)自然數(shù)，段內(nèi)差和段間差都是1。

數(shù)列②的段內(nèi)差是1，段間差是2。

數(shù)列③的段內(nèi)差是3，段間差是1。

再說第二個(gè)問題：常用的填數(shù)方法。

第一個(gè)常用的方法：口訣法。

對(duì)于已知數(shù)列的題目，適合用口訣法。

如果題目中只給出了一列數(shù)，而排列順序卻不符合三段兩公差的要求，那么就需要先把九個(gè)數(shù)按照三段兩公差重新排列后，再根據(jù)口訣法填數(shù)。

口訣法的具體內(nèi)容是：“二四為肩，六八為足，上九下一，左七右三，五居中央”。如圖所示，

需要說明的是，九宮圖即是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，所以把圖形旋轉(zhuǎn)，或者上下對(duì)調(diào)，或者左右對(duì)調(diào)，所構(gòu)成的新的九宮圖同樣符合要求。如下面諸圖所示：

第二個(gè)常用的方法：黃金三角形法。

因?yàn)榻菙?shù)等于相對(duì)斜二格上兩個(gè)數(shù)和的一半，所以利用這三個(gè)數(shù)的金三角關(guān)系，只要已知三個(gè)數(shù)中的任意兩個(gè)數(shù)，就可以求出第三個(gè)數(shù)。

第三個(gè)常用的方法：重疊空格法。

因?yàn)闄M、豎、斜方向上三數(shù)的和都相等，所以當(dāng)兩直線上有疊加的空格，并且有三個(gè)數(shù)（一條直線上有兩個(gè)數(shù)，另一條上有一個(gè)數(shù)）時(shí)，就可以算出而填入第四個(gè)數(shù)。

例如下圖中，左上角是重疊的空格，

那么每條線上另外兩個(gè)數(shù)的和就相等，所以可求得中心數(shù)是5。

第四個(gè)常用的方法：幻和法。

在已知幻和的情況下，對(duì)于每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)格，只要知道了兩個(gè)數(shù)，就可以算出第三個(gè)數(shù)。

最后說說找突破口，快速而準(zhǔn)確地找到突破口，是秒解九宮格的關(guān)鍵。

下面通過例題，介紹幾個(gè)快速找出突破口的方法。

列數(shù)列應(yīng)用口訣法：此類問題的關(guān)鍵是列出符合要求的數(shù)列，然后再應(yīng)用口訣法填數(shù)。此類問題的突破口就是如何確定“三段兩公差”。

【例題1】把下面九個(gè)數(shù)1、4、5、7、8、9、11、12、15填入九宮格中，使每一行、每一列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等。

解析：現(xiàn)有的數(shù)列不符合要求，需要重新按三段兩公差的順序排列，這就是該題的突破口。

把上面的九個(gè)數(shù)按段內(nèi)差為3，段間差為-2重新排列，可得到符合要求的數(shù)列1、4、7、5、8、11、9、12、15，然后按照口訣法填入九宮格中即可。

上面的九個(gè)數(shù)還可以按段內(nèi)差為4，段間差為-5重新排列，可得到符合要求的數(shù)列1、5、9、4、8、12、7、11、15，然后按照口訣法填入九宮格中即可。

【例題2】如圖所示，是利用口訣法完成九宮圖的部分內(nèi)容。用不同的自然數(shù)補(bǔ)全空白格，滿足①段內(nèi)差和段間差的比為1:2；②每一橫行，每一豎列，每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和均相等。

解析：圖中30、32分別是第七位數(shù)和第九位數(shù)，所以段內(nèi)差是1。因?yàn)槎蝺?nèi)差和段間差的比為1:2，所以段間差是2。由此可知，按照題目要求列出符合要求的數(shù)列，就是該題的突破口。

符合要求的數(shù)列是22、23、24、26、27、28、30、31、32 ，然后按照口訣法填入九宮格中即可。

【練習(xí)3】如圖所示，是利用口訣法完成九宮圖的部分內(nèi)容。用不同的自然數(shù)補(bǔ)全空白格，滿足①九數(shù)之和最??；②每一橫行，每一豎列，每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和均相等。

解析：圖中30、32分別是第七位數(shù)和第九位數(shù)，所以段內(nèi)差是1。要滿足九數(shù)之和最小，最小數(shù)應(yīng)取最小的自然數(shù)0。故此數(shù)列的段內(nèi)差是1，段間差為13。

由此可知，按照題目要求列出符合要求的數(shù)列，就是該題的突破口。

符合要求的數(shù)列是0、1、2、15、16、17、30、31、32，然后按照口訣法填入九宮格中即可。

【例題4】在下面的九宮格中，再填入七個(gè)不同的自然數(shù)，要求①九個(gè)數(shù)都是兩位數(shù)；②九個(gè)數(shù)的和最小。③每行、每列和每條對(duì)角線上的和都相等。

解析：本題要求都是兩位數(shù)，還要求總和最小，這就是必須讓48是最大數(shù)，而最小數(shù)取10。有了最大數(shù)和最小數(shù)，就可以算出中心數(shù)是29，幻和是87。

此題看起來復(fù)雜，其實(shí)很簡(jiǎn)單，利用口訣法、黃金三角形法、重疊空格法、幻和法都可以找到突破口。

如果從口訣法著手，第一位數(shù)是10，第五位數(shù)是29，第六位數(shù)是36，第九位數(shù)是48，那么符合要求的數(shù)列的段內(nèi)差是7，段間差為-2，符合要求的數(shù)列為10、17、24、22、29、36、34、41、48，然后按照逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)九十度的九宮圖填入數(shù)即可。

黃金三角形法、重疊空格法、幻和法等等，多數(shù)情況可以同時(shí)使用，只是選擇哪種分法更好切入突破口罷了。

上面的例題4，根據(jù)題意，由“九數(shù)都是兩位數(shù)，且九數(shù)之和最小”可知，48一定是最大數(shù)，與其相對(duì)的邊中格是最小的兩位數(shù)10，并由此進(jìn)一步得出“中心數(shù)”是29，如下圖所示。

在九宮格中，四個(gè)格中有了確定的數(shù)，并且知道了中心數(shù)是29，一般情況下幾種方法都可以找到突破口。

在已知中心數(shù)或者幻和的情況下，一般從幻和法下手。中心數(shù)是29，幻和就是87，橫、豎、斜方向上，只要已知兩個(gè)數(shù)，那么用幻和減去兩數(shù)之和，就可以得到第三個(gè)數(shù)。答案如圖所示

（黃金三角形法和重疊空格法都可行，自己練習(xí)練習(xí)。）

【例題5】在如圖所示的九宮格中，填入不相同的自然數(shù)，使每一行、每一列、每一條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等。

解析：突破口一——應(yīng)用重疊空格法，先填入左中格的3，

然后利用黃金三角形法及中心數(shù)的特點(diǎn)填入角格和中格。

突破口二——先填入中心數(shù)13。

然后再利用黃金三角形法和幻和法完成填圖。

突破口三——先利用黃金三角形法填入左上角的16和左下角的20，

再利用重疊空格法及中心數(shù)法或者幻和法完成填圖。

【例題6】在如圖所示的九宮格中，填入不相同的自然數(shù)，使每一行、每一列、每一條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等。

解析：突破口一——先填入中心數(shù)29。

然后再利用黃金三角形法及幻和法完成填圖。

突破口二——先利用黃金三角形法填入34和22，

然后再利用重疊空格法或者幻和法完成填圖。

突破口三——先利用重疊空格法填入17、24、34，

然后再利用黃金三角形法和幻和法完成填圖。

【例題7】在如圖所示的九宮格中，填入不相同的自然數(shù)，使每一行、每一列、每一條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等。

解析：突破口一——先利用黃金三角形法填入75、76，

然后再利用重疊空格法及幻和法完成填圖。

突破口二——先利用重疊空格法填入71、70、76，

然后再利用幻和法和黃金三角形法完成填圖。

【例題8】在如圖所示的九宮格中，填入不相同的自然數(shù)，使每一行、每一列、每一條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等。

解析：突破口一——先利用重疊空格法填入2、18、6，

然后再利用黃金三角形法或者幻和法完成填圖。

突破口二——先填入中心數(shù)10，用幻和法完成填圖。