封面｜阿喀琉斯與烏龜?? 來自 Hein de Haan

大家好，我是科學(xué)羊。

在一個陽光明媚的日子里，一場看似荒誕的比賽正在進(jìn)行。挑戰(zhàn)者是一只聰明的烏龜，而對手是希臘神話中以速度聞名的阿喀琉斯。聽起來毫無懸念？

但事情沒那么簡單。

“你想和我比賽？”阿喀琉斯輕蔑地問道，“我是最快的，你卻是公認(rèn)的慢動物，這根本沒有懸念。”

烏龜卻不以為然：“那當(dāng)然，但如果你讓我先跑10米，我們的比賽可能會有趣得多...”

阿喀琉斯覺得無妨，便欣然同意。

比賽開始后，烏龜一邊跑一邊說道：“你要追上我，得先跑完我領(lǐng)先的這10米，對吧？

可是當(dāng)你跑完10米時，我早就又向前爬了一米。

然后你還要追這一米，而這時我又爬到了更前方。這樣下去，你永遠(yuǎn)也追不上我！”

這個看似荒謬的邏輯，讓阿喀琉斯陷入了困惑。

但直覺告訴我們，怎么可能....他一定能追上烏龜。

問題是，烏龜貌似沒有錯，但它的數(shù)學(xué)推理錯在哪里？

烏龜邏輯的漏洞：無限循環(huán)的終點(diǎn)

為了弄清問題，我們可以用數(shù)學(xué)建模來解析（如上圖所示）。

假設(shè)阿喀琉斯的速度是烏龜?shù)?0倍，那么烏龜每爬行1米時，阿喀琉斯就能跑10米。

于是，阿喀琉斯需要1秒就能追上烏龜領(lǐng)先的10米，而在這1秒里，烏龜不過前進(jìn)了1米。

隨后阿喀琉斯只需0.1秒追上這一米，再用0.01秒追上下一段距離……如此循環(huán)下去，盡管時間間隔無限遞減，總的時間是有限的，通過數(shù)學(xué)計算，準(zhǔn)確的答案實(shí)際是10/9秒，也就是1.1111....秒。

烏龜?shù)倪壿媶栴}就在于對“無限”的誤解，它是對這個理論數(shù)字的誤解。

雖然這個過程看似無窮無盡，但每一步所需的時間越來越短，累加起來不過是有限值。

希爾伯特酒店的無限客人奇想

如果說烏龜與阿喀琉斯的比賽僅僅是個開胃菜，那么“希爾伯特酒店”的故事則為我們打開了通往無限悖論的奇幻之門。

想象一個擁有無限房間的酒店，每個房間都標(biāo)著1、2、3……以此類推。

某天，這家酒店客滿了——每個房間都住著客人。

但這時，又來了一個新客人。酒店經(jīng)理靈機(jī)一動，命令每位住客搬到下一個房間：住在1號房的客人搬到2號房，2號房的客人搬到3號房，以此類推。

如此一來，1號房空了出來，新客人有了住處！

這還沒完。

一輛載有100名乘客的大巴車到達(dá)了酒店。經(jīng)理再次動用同樣的方法：讓每位住客搬到自己當(dāng)前房間號加100的房間，騰出前100個房間給大巴上的乘客。

于是，每位新來的乘客也都妥善安頓。

一輛無限長的大巴車

問題逐漸升級。

一輛無限長的大巴車到達(dá)，每個座位都有一個編號：1、2、3……經(jīng)理這次想了個新辦法，把每位現(xiàn)有住客搬到房間號為他們當(dāng)前房號的兩倍的房間（即從n號房搬到2n號房），讓所有奇數(shù)號房間騰空。

這樣，大巴上的乘客就可以分別入住這些奇數(shù)號房間：1號座位的乘客入住1號房，2號座位的乘客入住3號房，以此類推。

然而，真正的挑戰(zhàn)來自無窮的“層級”。

假如無數(shù)輛無限大巴車同時抵達(dá)，每輛車上也有無限多的乘客。

酒店經(jīng)理依舊有辦法：為每輛大巴分配一個質(zhì)數(shù)，例如第1輛車分配質(zhì)數(shù)3，第2輛車分配質(zhì)數(shù)5，第3輛車分配質(zhì)數(shù)7……再用這些質(zhì)數(shù)的冪來分配房間號。

如此，所有乘客都能找到唯一的房間。

不過，并非所有無限都是可以這樣安排的。

例如，如果某輛大巴上的乘客是以無限長小數(shù)（如0.111111…、0.121212…）編號的，那么即使酒店有無限房間，也無法容納這些乘客。

這種無限被稱為“不可數(shù)無限”，與前面提到的“可數(shù)無限”截然不同。

圣彼得堡悖論：無限中的收益與風(fēng)險

無限悖論不僅出現(xiàn)在空間安排中，也常常在概率與收益的計算中讓人抓狂。

想象一個賭局：拋一枚硬幣，如果第一次出現(xiàn)反面，你贏2美元；如果第一次是正面，接著再拋，直到出現(xiàn)反面，此時獎金翻倍。例如，第二次出現(xiàn)反面時，你贏4美元；第三次出現(xiàn)反面時，你贏8美元……這個游戲的預(yù)期收益是無限的！

然而，大多數(shù)人不會愿意支付高昂的費(fèi)用來參與這個游戲。

為什么？

因為人類對收益的感知并非線性增長。

換句話說，贏得100美元確實(shí)讓人興奮，但如果已經(jīng)擁有10000美元，再贏100美元的興奮感會明顯降低。

這種現(xiàn)象被稱為“邊際效用遞減”，在數(shù)學(xué)上可以用對數(shù)函數(shù)（如ln）來衡量貨幣的實(shí)際價值。

盡管如此，圣彼得堡悖論依舊提醒我們，面對“無限”的收益預(yù)期時，人類的直覺往往會被復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念所挑戰(zhàn)。

總結(jié)：

從烏龜與阿喀琉斯到希爾伯特酒店，再到圣彼得堡悖論，我們一路探索了無限的奧秘。

無限可以是可數(shù)的，也可以是不可數(shù)的，它可以帶來無窮的收益，也可能讓人陷入悖論。

通過這些看似荒謬的故事，我們不禁感嘆：無限不僅是一種數(shù)學(xué)概念，更是一扇通向思維深處的大門。無論是科學(xué)家、哲學(xué)家，還是普通人，每個人都能從中發(fā)現(xiàn)屬于自己的奇妙旅程。

好，今天就先這樣啦～

科學(xué)羊??  2024/11/28

祝幸福~ 

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