【原】線段和差最值的本質(zhì)變化（一）

黃河清 2024-08-28 發(fā)布于河南

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講解今天的內(nèi)容，先講解一種數(shù)學(xué)思想“轉(zhuǎn)化與化歸”。

轉(zhuǎn)化與化歸，是在解決問(wèn)題時(shí)，化未知為已知，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化陌生為熟悉，化抽象為具體，化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法，它具有普遍適用性，在解決問(wèn)題時(shí)幾乎無(wú)處不在。

化歸思想包含三個(gè)要素：化歸對(duì)象、化歸目標(biāo)和化歸途徑。正確運(yùn)用化歸思想，需要理解化歸對(duì)象，明確化歸目標(biāo)，探究化歸途徑。

一、基本圖形（基本知識(shí)依據(jù)）

所有問(wèn)題匯總只有兩個(gè)：

①定點(diǎn)到定點(diǎn)：兩點(diǎn)之間，線段最短

②定點(diǎn)到定線：點(diǎn)線之間，垂線段最短


基本圖形1	基本圖形2

由此衍生出以下5個(gè)問(wèn)題：

③定點(diǎn)到定點(diǎn)：三角形兩邊之和大于第三邊

④定線到定線：平行線之間，垂線段最短

⑤定點(diǎn)到定圓：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長(zhǎng)）

⑥定線到定圓：線圓之間，心垂線截距最短

⑦定圓到定圓：圓圓之間，連心線截距最短（長(zhǎng)）

二、問(wèn)題類型

①直接包含基本圖形

②動(dòng)點(diǎn)路徑待確定；

③動(dòng)線（定點(diǎn)）位置需變換

三、問(wèn)題轉(zhuǎn)化（幾何變換）的方法

①等值變換：平移、對(duì)稱（翻折）、旋轉(zhuǎn)

②比例變換：三角轉(zhuǎn)換、相似變換

四、解題思想：轉(zhuǎn)化與化歸

核心方法1：同側(cè)變異側(cè)

（以下作圖，黑色的點(diǎn)表示“定點(diǎn)”，紅色表示“動(dòng)點(diǎn)”）

作B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B'，即PA+PB=PA+PB'，所以一般情況下，求（PA+PB）最小值，等同于（PA+PB’）最小值。

以上是將軍飲馬的基本圖形，由這個(gè)圖形可以衍生出幾種基本變化：

變化1：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)變化成兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

問(wèn)題描述：PQ為定長(zhǎng)線段，在直線l上運(yùn)動(dòng)；求線段PQ運(yùn)動(dòng)到哪里，（PA+PQ+QB）最??？

問(wèn)題解決：如何通過(guò)化歸思想將上面的圖轉(zhuǎn)化成我們的基本圖形1？

①基本圖形1中，只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，但是這里有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q；

②“化陌生為熟悉”，如果兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，這個(gè)問(wèn)題就解決了；

③此時(shí)利用幾何三大變換里面的“平移變換”，將問(wèn)題②得到解決，只是平移的時(shí)候，需要整體平移。

④將動(dòng)點(diǎn)Q平移到動(dòng)點(diǎn)P，平移了距離d，同時(shí)定點(diǎn)B也延相同方向平移相同距離，則QB=PB'，此時(shí)（PA+PQ+QB）等同于（PA+PQ+PB'）；

⑤又因?yàn)镻Q=d為定值，所以（PA+PQ+QB）最小=（PA+QB）最小+d=（PA+PB'）最小+d。當(dāng)A、P、B'三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值。

以上，通過(guò)平移轉(zhuǎn)化，將這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了基本圖形1.

但同時(shí)，在這類問(wèn)題中，一般出題再增加上對(duì)稱變換，讓問(wèn)題稍顯復(fù)雜，但我們的思路沒(méi)有變，還是逐步“化陌生為熟悉”，比如下圖的變化：

問(wèn)題描述：PQ為定長(zhǎng)線段，在直線l上運(yùn)動(dòng)；求線段PQ運(yùn)動(dòng)到哪里，（PA+PQ+QB）最小？

問(wèn)題解決：只是在上面的問(wèn)題中增加了一步，對(duì)稱變化。

變化2：一條直線變成兩條直線

問(wèn)題描述：動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在直線l1和l2上運(yùn)動(dòng)；求P、Q運(yùn)動(dòng)到哪里，（PA+PQ+QB）最??？

這個(gè)問(wèn)題很好解決，即當(dāng)A、P、Q、B四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。

在這類問(wèn)題下，一般情況下又會(huì)衍生兩種常見(jiàn)的題型。

首先看下面這類最特殊的題型：

問(wèn)題描述：直線l1∥l2，PQ為定長(zhǎng)線段且垂直于兩條直線；求線段PQ運(yùn)動(dòng)到哪里，（PA+PQ+QB）最?。?/span>

問(wèn)題解決：如何通過(guò)化歸思想將上面的圖轉(zhuǎn)化成我們的基本圖形1？

①基本圖形1中，只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，但是這里有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q；只有一條直線，這里有兩條直線。

②“化陌生為熟悉”，如果兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩條直線變成一條直線，這個(gè)問(wèn)題就解決了；在這里這類題型能同時(shí)處理這兩個(gè)問(wèn)題是因?yàn)樘厥庑?，直線平行，線段與直線垂直。

③此時(shí)利用幾何三大變換里面的“平移變換”，將問(wèn)題②得到解決，只是平移的時(shí)候，需要整體平移。

④將直線l2平移到與直線l1重合，則此時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q平移到動(dòng)點(diǎn)P，平移了距離d，同時(shí)定點(diǎn)B也延相同方向平移相同距離，則QB=PB'，此時(shí)（PA+PQ+QB）等同于（PA+PQ+PB'）；

⑤又因?yàn)镻Q=d為定值，所以（PA+PQ+QB）最小=（PA+QB）最小+d=（PA+PB'）最小+d。當(dāng)A、P、B'三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值。

以上，通過(guò)平移轉(zhuǎn)化，將這個(gè)問(wèn)題也轉(zhuǎn)化成了基本圖形1.

在這類題型下，再增加對(duì)稱變換，會(huì)構(gòu)成以下幾種題型。

以上三種類型的變化，僅僅只是增加了“對(duì)稱變換”，核心就是“同側(cè)變異側(cè)”。

今天針對(duì)初中階段，一般情況下，線段和差最值問(wèn)題中涉及到“基本圖形1”的變化，進(jìn)行了梳理，所以“萬(wàn)變不離其宗”，我們透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，很多復(fù)雜的問(wèn)題都能簡(jiǎn)單化。后續(xù)我們?cè)賮?lái)完善其他部分。