假設(shè)在某個黑夜，一名警察在空蕩蕩的街上巡邏．突然，他聽到防盜報警器的響聲．他立即向街對面看過去，發(fā)現(xiàn)一家珠寶店的窗戶被砸破了，一名戴著面具的男子從破碎的窗戶里爬了出來，身后還背著一個裝滿了昂貴珠寶的袋子．警察會毫不猶豫地判定這名男子是壞人．但他是通過什么推理過程得出這個結(jié)論的呢？讓我們先來看看這類問題的一般性質(zhì)． 只要稍微想一想，我們就會明白，警察的結(jié)論并非是依靠證據(jù)做演繹推理得出的．實際上，完全可能存在這名男子無辜的合理解釋．比如，這名男子是珠寶店的老板，剛從化妝舞會回家，沒有帶鑰匙．正當他經(jīng)過自己的店面時，從一輛路過的卡車里甩出來的石頭砸碎了窗玻璃．他為了保護自己的財產(chǎn)，才從窗戶帶走了珠寶． 盡管警察的推理過程并非邏輯演繹推理，我們?nèi)匀粫J為它具有一定程度的有效性．已有的證據(jù)并不能使該男子是壞人這件事確信無疑（certain），但確實使這件事變得極其合理可信（plausible）．在學習任何數(shù)學理論之前，我們或多或少已經(jīng)精于此類推理．在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會碰到這種情況：沒有足夠的信息來進行演繹推理，但是又不得不馬上采取行動．例如，判斷今天是否會下雨，然后采取相應(yīng)的行動． 盡管我們對此并不陌生，但合情結(jié)論的形成是一個非常微妙的過程．雖然歷史上對這個問題的討論已經(jīng)延續(xù)了 24 個世紀，但至今還沒有人對該過程做出過完全令人滿意的分析．我將闡述一些有用且激動人心的新進展，其中，明確的定理將取代相互矛盾的直覺判斷，確定的規(guī)則將取代特定的處理流程——這些規(guī)則由一些幾乎不可避免的基本的理性準則確定． 所有對這些問題的討論都是從舉例說明演繹推理與合情推理之間的區(qū)別開始的．歸功于亞里士多德的《工具論》（公元前 4 世紀），演繹推理通常最終可以分解為以下兩種強三段論的重復(fù)應(yīng)用：  和它的逆  這是我們希望能一直使用的推理模式．但是，如上所述，在我們面臨的幾乎所有實際情況中，都沒有適當?shù)男畔磉M行這種推理．我們不得不依賴于以下弱三段論：  證據(jù)并不能證明 A 真，但驗證其結(jié)果之一（B 真）能讓我們對 A 真更有信心．例如，我們定義： A ≡ 最遲在上午 10 點開始下雨； B ≡ 天空會在上午 10 點之前變得多云． 上午 9：45 觀察到天空多云并不能從邏輯上保證隨后一定會下雨．然而，我們的常識遵從弱三段論：如果烏云密布，可能會促使我們改變計劃，并表現(xiàn)得好像我們相信隨后會下雨． 這個例子還表明，大前提“A 真則 B 真”只表示 B 是 A 的邏輯結(jié)果，兩者并不一定存在物理上的因果關(guān)系（若是因果關(guān)系，B 只能在 A 之后發(fā)生）．上午10 點下雨不是 9：45 多云的物理原因．然而，正確的邏輯關(guān)系也不是由 B 推出 A這種并不確定的因果方向（多云 =? 下雨），而是由 A 推出 B 這種確定但非因果的邏輯方向（下雨 =? 多云）． 我們在一開始就強調(diào)我們關(guān)注的是邏輯關(guān)系，原因是一些關(guān)于推理的討論和應(yīng)用由于未能看到邏輯蘊涵關(guān)系與物理因果關(guān)系之間的區(qū)別，而陷入了嚴重的錯誤．西蒙和雷舍爾（Simon & Rescher，1966）曾深入分析了這種區(qū)別，他們指出，所有試圖將蘊涵關(guān)系解釋為因果關(guān)系的行為都會導(dǎo)致第二種三段論 (1.2) 中的 A與 B 之間產(chǎn)生不可置換性．也就是說，如果將大前提解釋為“A 是 B 的物理原因”，那么我們將很難接受“非 B 是非 A 的物理原因”． 另一種弱三段論使用了同樣的大前提：  在這種情況下，證據(jù)并不能證明 B 假．但是，保證 B 真的一個可能的依據(jù)已經(jīng)被排除了，所以我們對 B 真的信心會減少．科學家接受或拒絕某理論的推理過程幾乎全部由第二或第三種三段論組成． 現(xiàn)在來看，前述警察的推理過程甚至不屬于以上幾種模式中的任何一種．它用一種更弱的三段論來描述最合適：  盡管抽象地用 A 和 B 來描述的這種論證模式看似存在明顯的缺陷，但我們意識到警察的結(jié)論仍然有很強的說服力．有某種東西讓我們相信，在這一特定情況下，警察的論證幾乎與演繹推理有同樣的效力． 這些例子表明，大腦在做合情推理的過程中不僅會判斷某件事是變得更合情還是變得更不合情，而且會以某種方式來評估合情的程度．10 點之前下雨的合情程度非常依賴天空在 9：45 是否烏云密布．大腦會同時使用舊信息與新數(shù)據(jù)來決定如何行動．我們會試圖回憶關(guān)于云與雨的過往經(jīng)驗以及前一天晚上的天氣預(yù)報來做判斷． 為了說明警察也在使用過往經(jīng)驗來做判斷，我們只需要改變這種經(jīng)驗即可．假設(shè)類似事件每天晚上都會發(fā)生多次，每個警察幾乎都碰到過，但是那名男子每次都被證明是完全無辜的．很快，警察們將學會忽略這些無關(guān)緊要的事件． 因此，在推理過程中，我們非常依賴先驗信息來評估新問題的合情程度．這種推理過程是無意識的，幾乎是即時的．為了隱藏其復(fù)雜性，我們稱之為常識． 數(shù)學家喬治·波利亞寫了三本關(guān)于合情推理的書（George Pólya，1945，1954），舉了一大批有意思的例子，表明我們在做合情推理時存在確定的規(guī)則（盡管在他的著作中，這些規(guī)則是以定性的形式給出的）．以上弱三段論模式出現(xiàn)在《數(shù)學與猜想（第二卷）：合情推理模式》中．強烈建議讀者閱讀波利亞的這部著作，它是我很多思想的最初來源．下面將展示波利亞的原則如何以定量的形式給出，并提供有用的應(yīng)用． 顯然，上面描述的演繹推理有一種性質(zhì)，即我們可以用 (1.1) 和 (1.2) 進行一系列推理，所得結(jié)論和前提一樣有說服力．對于另外的推理模式 (1.3)～(1.5)，在經(jīng)過幾步推理后，結(jié)論的可靠性可能發(fā)生改變．但是，在它們的定量形式中，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論的可靠性在很多情況下可能接近于演繹推理（就像警察的例子讓我們相信的那樣）．波利亞向我們展示了，即使是純數(shù)學家，在大多數(shù)時候其實也在使用這種弱三段論模式進行推理．當然，在發(fā)表一個新定理時，數(shù)學家將努力發(fā)明一種僅依賴于演繹推理的證明方式．然而，在得到該定理的推理過程中，難免使用弱三段論模式（比如，用類比的方法得到后續(xù)的猜測）．斯特凡·巴拿赫也曾經(jīng)表述過類似的想法（引自 S. Ulam，1957）：
作為出發(fā)點，我們先來看看與另一個領(lǐng)域非常有啟發(fā)性的類比，它本身也是基于合情推理的． 在物理學中，我們很快就發(fā)現(xiàn)世界太過復(fù)雜，無法一次性地進行總體分析．只有“分而治之”，才能取得進展．有時候，我們可以發(fā)明一種數(shù)學模型來重現(xiàn)某一小部分的若干特征，每當發(fā)生這種情況時，我們就會感覺已經(jīng)取得了進展．這些模型稱為物理理論．隨著知識的進步，我們能夠發(fā)明越來越好的模型，這些模型能夠越來越準確地再現(xiàn)現(xiàn)實世界中越來越多的特征．沒有人知道這個過程是否存在自然的終點，是否將無限期繼續(xù)下去． 在試圖理解常識時，我們將采取類似的方法．我們不會試圖一下子全部理解，但是如果能夠構(gòu)建可以再現(xiàn)其一些特征的理想化數(shù)學模型，我們就認為取得了進展．我們希望當前構(gòu)建的所有模型在未來被更全面的模型取代，我們不知道這個過程是否存在自然的終點．  與物理理論做類比比與純粹方法做類比更加深刻．通常，我們最熟悉的事情是最難以理解的．絕大多數(shù)人不知道的物理現(xiàn)象（例如鐵和鎳的紫外光譜的差異）能通過詳盡的數(shù)學細節(jié)來解釋，然而面對像一片草葉的生長這樣的普通事實的復(fù)雜性，現(xiàn)代科學卻顯得無能為力．因此不應(yīng)該對我們的模型期望太高．對于人們最熟悉的一些心理活動特征，我們可能會發(fā)覺很難構(gòu)建適當?shù)哪Ｐ?，必須對此做好心理準備?/span> 還有更多類比．在物理學中，我們常常發(fā)現(xiàn)任何知識的進步都會帶來巨大的實用價值，但是這些價值具有不可預(yù)測的性質(zhì)．例如，倫琴發(fā)現(xiàn)的 X 射線帶來了醫(yī)學診斷的新方法；麥克斯韋發(fā)現(xiàn)了磁場旋度方程式的一個額外項，使得全球準實時通信成為可能． 我們關(guān)于常識的數(shù)學模型也表現(xiàn)出了實用的特征．任何成功的模型，即使只能重現(xiàn)常識的一小部分特征，也會在某個應(yīng)用領(lǐng)域中被證明是常識的強大擴展．在這個領(lǐng)域內(nèi)，模型使我們能夠解決涉及復(fù)雜細節(jié)的推理問題．如果沒有模型的幫助，我們永遠不會試圖解決這些問題．
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