數(shù)學(xué)之美：正十二邊形的對(duì)稱之美

換位思考0429 2024-02-07 發(fā)布于廣西

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邵勇講數(shù)學(xué)......

下面這個(gè)圖中，黃色區(qū)域的邊界是一個(gè)正十二邊形。

(1) 如何從一個(gè)正方形出發(fā)作出這個(gè)正十二邊形呢？

①分別以正方形的四條邊為邊，向內(nèi)各作一個(gè)正三角形，這樣共得到四個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)。②每個(gè)頂點(diǎn)與較近的四邊形兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)底角為15°的等腰三角形。共得到四個(gè)這樣的等腰三角形。③取腰的中點(diǎn)，得到8個(gè)點(diǎn)。④再加上正方形四邊中點(diǎn)4個(gè)，共12個(gè)點(diǎn)（圖中綠色），它們就是一個(gè)正十二邊形的12個(gè)頂點(diǎn)，如上圖中黃色區(qū)域的邊界（黑色）。

(2) 四個(gè)正三角形位于正方形內(nèi)部的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)小正方形。取它的四條邊的中點(diǎn)，共4個(gè)；再取四個(gè)正三角形位于正方形內(nèi)部的邊的中點(diǎn)，共8個(gè)點(diǎn)?？偣彩?+8=12個(gè)點(diǎn)（下圖中青色），它們是一個(gè)小一些的正十二邊形的12個(gè)頂點(diǎn)。這個(gè)小正十二邊形就是下圖中的粉色圖形。

(3) 連接大正方形的兩條對(duì)角線，則大正方形被分成四個(gè)等腰直角三角形。從每個(gè)這樣的等腰直角三角形的底角頂點(diǎn)處都向內(nèi)部發(fā)出兩條底角的三等分線(45°÷3=15°)，而從直角頂點(diǎn)也發(fā)出三條三等分線(90°÷3=30°)。這符合莫雷定理的條件，從而得到一個(gè)正三角形。共得到四個(gè)這樣的正三角形，如圖中的粉色三角形。

(4) 把大正方形從對(duì)角線一分為二，得到兩個(gè)大的等腰直角三角形，如圖所示?？梢宰鞒鏊膫€(gè)這樣的大等腰直角三角形。由莫雷定理，每個(gè)這樣的大等腰直角三角形內(nèi)部都將得到一個(gè)正三角形，所以一共得到四個(gè)這樣的正三角形（圖中綠色）。

都是非常漂亮的圖案！數(shù)學(xué)之美！

（5）再看開始時(shí)的圖形，如下圖所示。問正十二邊形所圍黃色區(qū)域的面積與大正方形的面積有怎樣的關(guān)系？

結(jié)論：正十二邊形的面積等于以它的外接圓半徑的兩倍為邊長的正方形面積的四分之三。為什么？

因?yàn)椋?/strong>

上圖中正十二邊形的四邊之一(相當(dāng)于第一象限內(nèi)部分)，

被分解成6個(gè)鈍角等腰三角形(黃色)

和三個(gè)正三角形(藍(lán)色),

然后,

正好可以把它們移動(dòng)到下圖中

正方形與正十二邊形之間的

三個(gè)角落處。

于是，

“3比4”的關(guān)系躍然紙上！

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