大家好，我是科學羊??，這里是數(shù)學專欄第2季第15篇。

在我們的中學數(shù)學課本中，一元二次方程的解法是基礎(chǔ)，但提到一元三次方程，往往就會讓學生感到困惑。

這是因為一元三次方程沒有一個普遍適用的解法，而是需要針對特定的方程運用特殊技巧才能找到解。

這引出了一個問題：是否存在一元三次方程的通用解法？

答案是肯定的，但這個公式的復雜性導致它并沒有被納入中學課程。

如今，我們有了計算機的幫助，只需理解方程的意義，就可以讓計算機來找到解答。

回顧歷史，我們發(fā)現(xiàn)在15世紀，歐洲的數(shù)學家們對一元三次方程的解法還一無所知。

雖然一元三次方程看上去只比一元二次方程未知數(shù)的次數(shù)高了一次，但是解決難度很大。在花拉子米發(fā)現(xiàn)了一元二次方程通解之后幾百年，依然沒有人能解決，如 x^3+x+1=0這樣的方程的解法。

不過最后還是被解決了，但是，但是，這個發(fā)現(xiàn)成了數(shù)學史上的一樁著名的公案。

接下來，我們來解讀下這個故事。

當時著名的意大利博洛尼亞大學（全世界最早的大學）的數(shù)學家希皮奧內(nèi)*費羅（Scipione del Ferro）和他的學生安東尼奧*菲奧爾（Antonio Fior）都在這個領(lǐng)域做出了貢獻。

費羅在臨終前將他對一元三次方程的獨特解法傳授給了菲奧爾，這成了菲奧爾挑戰(zhàn)其他數(shù)學家的法寶。

但是這個菲奧爾其實一定也不聰明，也不好學，完全躺平。老師之所以把秘密法寶給他，是因為實在沒后人傳，再加上不放心徒弟的未來！

而且費羅呢，也知道他這個不爭氣的徒弟就是個“弟弟”，在他去世前早就把這類方程的通解告訴了自己的女婿安尼巴勒*德拉*納夫（Annibale della Nave)，以及這個弟弟學生，沒有讓其他人知道。

后來呢，菲奧爾果然去挑戰(zhàn)了名為塔爾塔利亞的數(shù)學家，這個數(shù)學家因為口吃而得名，本名尼科洛·豐塔納。

當時的數(shù)學界流行通過解題挑戰(zhàn)來證明自己的智慧，就是互相PK。

菲奧爾和塔爾塔利亞之間的挑戰(zhàn)就是這樣開始的。類似，

菲奧爾給塔爾塔利亞出了一系列沒有二次項的三次方程，而塔爾塔利亞則給菲奧爾出了一些有二次項但沒有一次項的三次方程。

當然，這兩類方程的解法各有不同，塔爾塔利亞最終解出了菲奧爾的難題，而菲奧爾則失敗了。

之后，塔爾塔利亞花了六年時間完全解決了一元三次方程的問題。

一位名為卡爾達諾的數(shù)學家也對這個問題非常感興趣。

他類三顧茅廬似的去央求塔爾塔利亞那里請教解法，剛開始塔爾塔利亞死活都不說，后來卡爾達諾發(fā)了毒誓保守秘密后才在1539年將上述兩類特殊的一元三次方程的解法告訴他。

后來卡爾達諾和他自己的學生費拉里一起在塔爾塔利亞的基礎(chǔ)上進一步研究，最終找到了所有一元三次方程的通解。

雖然他們很興奮，但是卻不敢公布。

當然，幾年后，也就是1541年塔爾塔利亞也發(fā)現(xiàn)了所有的一元三次方程的解法，不過他當然死守秘密。

直到1543年，卡爾達諾和他的學生費拉里去訪問博洛尼亞，在那里見到了費羅的女婿納夫，才得知原來費羅早就解決了這個問題。

這下師徒兩人終于吼不住了，就1545年的《大術(shù)》（Art Magna,數(shù)學大典）一書中公開了這一解法，這本書成為了代數(shù)學領(lǐng)域的重要著作。

在這本書中，卡爾達諾公開了費羅最早發(fā)現(xiàn)的一元三次方程的解法，并在此基礎(chǔ)上，費拉里提出了一元四次方程的解法。

盡管塔爾塔利亞對此感到憤怒，認為卡爾達諾違背了承諾，但卡爾達諾辯解稱他公開的是費羅的工作而非塔爾塔利亞的。

這件事在當時引起了巨大的轟動，塔爾塔利亞和卡爾達諾的學生費拉里之間還進行了一場數(shù)學上的“決斗”，結(jié)果費拉里贏得了勝利。

盡管塔爾塔利亞退出了學術(shù)界，但今天三次方程的標準解法公式仍被稱“卡爾達諾-塔爾塔利亞公式”，大家并不否認他的功績。

好，我們看下這個一元三次方程的通解公式究竟是怎樣個神奇的？

*對于一個標準三次方程：

要算出它的第一個解，需要先算下面三個中間變量。

然后再根據(jù)這三個中間變量，按照下面的公式算出第一個解。

這段歷史不僅揭示了一元三次方程解法的發(fā)現(xiàn)過程，還讓我們思考為何中學課程不涉及這個公式。

其原因在于這個解法的復雜性會嚇退學生。

相比之下，美國的教學方式更為高效，它教授簡單技巧并鼓勵學生使用數(shù)學軟件工具，如Mathematica，來解決問題。

這種方法強調(diào)了將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題并利用工具解決的重要性，而不是僅僅依賴于復雜的計算技巧。

這也引出了虛數(shù)的概念，因為在解三次方程時，根號內(nèi)可能出現(xiàn)負數(shù)，而三次方程又總有實數(shù)解。

虛數(shù)的引入是數(shù)學家們對這個問題的應(yīng)對策略，虛數(shù)的概念我們明天聊。

總結(jié)來說，這個故事不僅講述了數(shù)學史上的一個重要時刻，還強調(diào)了數(shù)學作為工具的重要性，以及在解決實際問題時應(yīng)將重點放在概念的理解和應(yīng)用上，而非僅僅局限于技巧性的解題方法。

它展示了數(shù)學知識的層層遞進和累積性質(zhì)，強調(diào)了在學習過程中對基本概念的理解和思維方式的培養(yǎng)的重要性。

通過費羅、塔爾塔利亞、卡爾達諾和費拉里的故事，我們看到數(shù)學定理的發(fā)展過程是如何從基礎(chǔ)引理逐漸演化到具有普遍意義的定理的。

這不僅是數(shù)學發(fā)展的一個縮影，也是學習和理解數(shù)學的一個重要途徑。

在當代，隨著計算技術(shù)的發(fā)展，我們更應(yīng)該注重數(shù)學思維的培養(yǎng)和問題轉(zhuǎn)化能力的提升，而不是單純追求解題技巧。

吳軍老師說：學習數(shù)學的目的不僅是為了解決具體問題，更是為了培養(yǎng)邏輯思維和抽象能力，這對于理解和創(chuàng)新科學技術(shù)至關(guān)重要。

最后，通過這個故事，我們也可以看到數(shù)學史上的一些重要時刻，如虛數(shù)概念的引入，這不僅豐富了數(shù)學的內(nèi)容，也為后來的數(shù)學和物理學的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

這樣的歷史故事不僅有趣，而且能夠幫助我們更好地理解數(shù)學概念和公式背后的深層意義。

好，今天就先這樣～

科學羊??  2024/01/18

祝幸福~

參考文獻：

[1].《吳軍*數(shù)學通識》

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