對于不少的幾何壓軸題，我們往往需要綜合利用幾何圖形的性質(zhì)和代數(shù)推理的運算進行問題解決。對于此類問題，如何選擇未知數(shù)，合理設元就顯得至關(guān)重要。

對于選取的未知數(shù)要滿足以下幾個要素：①有明顯的數(shù)量關(guān)系；②起到“中間量”即“橋梁”的轉(zhuǎn)化作用；③用未知數(shù)表示或計算不是太繁雜。

本題的背景和以往的壓軸題不同，題目中有一個定角和兩條定線段。由題意可知，線段OC的長度和位置是不變的，點P的軌跡是一條與OA平行且距離為2的平行線，點B的位置隨著點A的變化而變化。

通過分析題設可知，由tan∠MON=2，因此聯(lián)想可以過點B作OM的垂線，這也是貫穿本題的輔助線的添加方式。后面的問題主要圍繞著三角形形狀的判定、等腰三角形的存在性以及與三角形面積比和線段比相關(guān)的問題。

本題的第(1)問是直角三角形的存在性問題。根據(jù)點P為AB的中點，通過過點B作OA垂線，構(gòu)造A型基本圖形。借助A型基本圖形的比例式以及解直角三角形，再利用勾股定理得逆定理解決問題。本題的思路流程圖如下圖所示：

簡而言之，通過設OG=x，BG=2x，借助等腰三角形的背景，用含x的代數(shù)式表示AC、AG的長度，借助PC-BG-A型基本圖形，列出一個關(guān)于x的的方程，通過解方程求出x的值，從而求出AC的長度。

具體分類的如上圖所示。如圖1，當AB=AO時，在Rt△OBG和Rt△OHA中，利用cosC，用含x的代數(shù)式表示出OA的長度，繼而求出AC的長度，利用A型基本圖形列出比例關(guān)系。上述的解題策略在等腰三角形的存在性問題中比較常見：

如圖2，當OB=OA時，可以直接表示出OA的長度，但是由于OA=OB=√5x，因此計算量會比較大；如圖3，當OB=BA時，直接可以利用等腰三角形的三線合一定理，可得OG=GA，再結(jié)合A型圖中的比例式，可以約去x，求得AC=1。

本題的第(3)問是三角形面積比和線段比相關(guān)的問題。

根據(jù)AP:AB=k，可以借助A型基本圖形表示出BG，繼而表示出OG、CG，再次利用A型基本圖形表示出AC的長度，通過用含k的代數(shù)式表示△AOP和△AOB的面積，再利用面積比為k，列出一個關(guān)于k的方程，繼而求解。

但是上述過程計算量較大，因此提供一個更為簡便的方法。根據(jù)AP:AB=k，可以將線段比轉(zhuǎn)化為S△ACP:S△ABC=k，而S△ACP:S四邊形OBPC=k，得到S△ABC=S四邊形OBPC，繼而得到△BOC和△ACP的面積相等，繼而可以用含x的代數(shù)式表示BG的長，再借助A型基本圖形列出一個關(guān)于x的方程，求出x的值后，就可以得到k的值。

解法分析：本題的難點在于如何列出線段間的比例關(guān)系。根據(jù)AG=AE等腰三角形的背景，聯(lián)系過點A作GE的垂線，則此時構(gòu)造了與△DGE相似的三角形，同時得到了一組比例式。不妨設正方形的邊長為x，利用CG-EF-A型圖，可以用含x的代數(shù)表示出CG、DG、AG的長度，再將這些數(shù)據(jù)帶回相似得到的比例式中，結(jié)合勾股定理就可以求出x的值。

當幾何問題中的線段比較難以用未知數(shù)表示或者沒有典型的基本圖形，題目中出現(xiàn)了直角、中點、角平分線、等腰直角三角形、矩形等信息時，可以考慮建立平面直角坐標系，利用解析法解決幾何問題。

解法分析：本題是等腰三角形的存在性問題，對于△CMP而言，除了線段CM的長度是可求的，其余的邊長是比較難求的，同時輔助線的添加較為復雜，因此可以考慮通過建立平面直角坐標系解決問題。

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