2023/07/12 原創(chuàng)題
先看下面這道基本的同構(gòu)題目

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

解： （1）當(dāng)時，
求導(dǎo)數(shù)得
其中0' data-formula-type='inline-equation'>，
所以在上單調(diào)遞增，又
故在上單調(diào)遞減
在上0,f(x)' data-formula-type='inline-equation'>單調(diào)遞增
綜上：的增區(qū)間是,減區(qū)間是.
（2）由題知恒成立
即恒成立
令
則在上恒成立
因為0' data-formula-type='inline-equation'>,所以單調(diào)遞增
故在上恒成立
即在上恒成立
令，則
令得
故在上單調(diào)遞減
在上0,p(x)' data-formula-type='inline-equation'>單調(diào)遞增
所以
故只需
即的取值范圍是.

??本題屬于中檔題，根據(jù)剛才的解題過程，我們可以嘗試命制一道利用同構(gòu)函數(shù)處理不等式恒成立的問題。
??比如,先選取一個不等式,再構(gòu)造一個函數(shù)。令恒成立,代入得恒成立，因此可以如下的命制一道題目：

已知函數(shù)，若,求實數(shù)的取值范圍.

添上第一問，讓其看起來更像一道題目

已知函數(shù)，若.
（1）當(dāng)時，證明:；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.

??根據(jù)這樣的思路，我們大量的命制一些原創(chuàng)題目，可以是小題也可以是解答題。下面我們再給出一道原創(chuàng)題題。
??

已知函數(shù).
（1）判斷的單調(diào)性；
（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.