【原】格點(diǎn)三角形中與求三角比、面積、相似三角形相關(guān)的問(wèn)題

妍小青 2023-05-24 發(fā)布于上海

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與求某個(gè)角的銳角三角比相關(guān)的問(wèn)題

類型1：所求銳角在現(xiàn)成的直角三角形中，直接求解

解法分析：在第(1)題中，當(dāng)圖形中有現(xiàn)成的直角三角形時(shí)，可以直接借助圖形中現(xiàn)成的直角三角形直接求解；在第(2)題中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的意義，將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而求出tanB'的值。

類型2：所求銳角不在現(xiàn)成的直角三角形中，構(gòu)造直角三角形

對(duì)于此類問(wèn)題往往通過(guò)作兩條高(已知一高長(zhǎng)度)，借助“等積法”求出另一高的長(zhǎng)度，在求出這個(gè)銳角的三角比，也可以通過(guò)“平移法”將難以表示的角借助平行線的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

解法分析：在第(3)題中，由于△ABC的三邊的長(zhǎng)度是可求的，因此可以借助等積法求出AC邊上的高求出cosA的值。

本題也可以通過(guò)利用∠C=45° ，求出BD的長(zhǎng)度，求出cosA的值。

解法分析：在第(4)題中，本題的難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)∠A=90°，若沒(méi)有發(fā)現(xiàn)∠A=90°，則可以采取割補(bǔ)法，求出▲ABC的面積，再求BC邊上的高，由于該三角形的三邊均不平行(垂直)于正方形的各邊，因此做兩條高就顯得過(guò)于復(fù)雜。

解法分析：在第(5)題中，由于∠AOC的位置比較“尷尬”，因此可以通過(guò)作平行線的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化。碰巧平移后的三角形是直角三角形，可以直接求解，若平移后的三角形是斜三角形，則采取“等積法”進(jìn)一步求解。

解法分析：和以往的正方形格點(diǎn)三角形不同，這次的格點(diǎn)三角形是由等邊三角形組成的，比較新穎。利用60°角解三角形以及120°等腰三角形三邊的比(1:1: $\sqrt{3}$ )可以求出三角形ABC各條邊的邊長(zhǎng)，從而利用勾股定理逆定理得到△ABC為直角三角形。

求格點(diǎn)中的某個(gè)角的三角比，可以推廣到平面直角坐標(biāo)系中求某個(gè)角的三角形比，方法是相通的，要能夠舉一反三。

與三角形相似相關(guān)的問(wèn)題

類型：根據(jù)相似三角形的判定定理畫出所有符合題意的相似三角形

解法分析：本題的難點(diǎn)在于能否找全點(diǎn)C，因此可以利用相似比進(jìn)行突破，即相似比分別為1、√2和2三種情況，畫出符合題意的圖形，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)。

解法分析：本題的背景是尋找與原三角形①有一個(gè)公共角；②各頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的相似三角形。因此本題需要分類討論，即平行型(A型)以及斜截型(斜A型)，根據(jù)原三角形線段間的比例關(guān)系確定新三角形的具體位置。

與三角形面積相關(guān)的問(wèn)題

類型1：根據(jù)三角形之間的面積比畫出符合題意的分割線

解法分析：本題的第(1)問(wèn)是常規(guī)的格點(diǎn)三角形中三角形面積和銳角三角比的求法；第(2)問(wèn)的靈活度就比較高了，根據(jù)面積比等于底之比，可得AB=5AP。但僅用一把無(wú)刻度的直尺如何作出一條的五等分點(diǎn)？依靠格點(diǎn)可以定位，再巧妙結(jié)合圖中的X型基本圖形確定P點(diǎn)位置，這種考察方式對(duì)于學(xué)生的綜合素養(yǎng)和應(yīng)變能力要求很高！

類型2：畫出與原三角形相似的面積最大/最小的三角形

解法分析：本題的背景雖然是“格點(diǎn)三角形”，但是考察了相似三角形的相似比。本題的難點(diǎn)在于能夠畫出與△ABC相似且面積最大的三角形，通過(guò)分析目標(biāo)△ABC的三邊的比例關(guān)系從而找到△DEF三邊的比例關(guān)系。

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