假設(shè)我擲一對骰子，然后你下注兩個骰子的和是多少，你會選擇什么？明智的選擇是7，因為兩個骰子加起來為7的組合最多。

其實(shí)，你可以將同樣的邏輯應(yīng)用到預(yù)測宇宙的行為上。讓我們來看看物理學(xué)中最強(qiáng)大的工具如何真的就像一場宇宙級的賭博游戲。

在19世紀(jì)，科學(xué)家們忙著找出一系列的法則來將物質(zhì)的性質(zhì)相互聯(lián)系起來。通過將溫度、壓力和流體體積等聯(lián)系起來，他們發(fā)現(xiàn)了熱力學(xué)定律。但這些定律的起源卻讓那些科學(xué)家們困惑不已。當(dāng)他們意識到物質(zhì)是由原子和分子組成的，以及熱力學(xué)性質(zhì)和定律是由這些粒子的運(yùn)動和相互作用產(chǎn)生的，事情開始變得更有意義。

我們不能將運(yùn)動定律應(yīng)用到每一個空氣分子上來計算一個房間中的氣體行為，因為分子數(shù)量實(shí)在太多。但幸運(yùn)的是，我們并不需要這樣做。只需理解粒子運(yùn)動的統(tǒng)計特性，就可以預(yù)測它們的行為，這正是統(tǒng)計力學(xué)領(lǐng)域所做的，但統(tǒng)計力學(xué)也做出了超越19世紀(jì)物理學(xué)家想象的驚人預(yù)測。

它預(yù)測了超流體（superfluids）和超導(dǎo)體（superconductors）等非常奇特的物態(tài)的存在，甚至預(yù)測了恒星在“死亡”時會塌縮成黑洞。

讓我們開始一個實(shí)驗：

有一個真空的房間，沒有重力，在其中射出一百個彈球。每個球都很小并且具有完全的彈性，以某種隨機(jī)的角度和速度射入。球足夠小，以至于它們永遠(yuǎn)不會互相碰撞，但卻可以在不失去任何能量的情況下在墻壁上反彈。它們也移動得足夠快，以至于很快就充滿了整個房間。

讓我們只關(guān)注其中一個彈球。如果知道它的初始速度和方向，就可以確定它的路徑。但是，如果我們不知道它的初始速度和方向，那么它的位置看起來將是隨機(jī)的。實(shí)際上，如果允許無限的反彈，那么這個球可能出現(xiàn)在房間的任何地方，各個位置的可能性基本相等。所以，這100個球可能排列成一個完美的晶格，可能毫無規(guī)律地（隨機(jī)）散落在房間的各個角落。

無規(guī)律地彌散在房間中看起來最有可能，但實(shí)際上，任何特定的球的排列方式的概率是相等的。我們更可能看到一個看起來隨機(jī)的分布，只是因為隨機(jī)分布的方式，比規(guī)律分布的方式多得多。

為了更容易理解這一點(diǎn)，讓我們將房間劃分成10個盒子。將球投入房間相當(dāng)于隨機(jī)將它們投入這些盒子中。我們更可能得到一個相對平均的分布，而不是它們?nèi)柯湓谕粋€盒子里。

但是，如果給每個球貼上標(biāo)簽，并指定每個球?qū)儆谔囟ǖ暮凶樱?strong>那么每個球隨機(jī)落入其預(yù)分配的盒子的機(jī)會就和所有球落入同一個盒子的機(jī)會一樣小。兩者的概率都是1除以10的100次方。

我們可以用同樣的思想來考慮房間中的氣體分子的狀態(tài)，但現(xiàn)在有10的27次方個粒子而不是100個，所以得到任何一個特定分布的概率都是極其微小的。同時，氣體分子大致均勻分布在房間內(nèi)的情況遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于更有序的情況。

在統(tǒng)計力學(xué)中，我們將氣體分子的每一個特定分布情況稱為微觀狀態(tài)，而分布的大致形狀（分散或聚集）稱為宏觀狀態(tài)。宏觀狀態(tài)代表了可觀察的性質(zhì)，通常是熱力學(xué)性質(zhì)，如溫度、壓力和體積。微觀狀態(tài)代表了隱藏的性質(zhì)，如每個粒子的位置，每個宏觀狀態(tài)都對應(yīng)許多可能的微觀狀態(tài)。

我們幾乎總是觀察到世界處于與最大可能數(shù)目的微觀狀態(tài)接近的宏觀狀態(tài)。一個系統(tǒng)的每一個可能的微觀狀態(tài)（即給定的粒子配置或能級分布）都被賦予相等的概率。然而，一些特定的宏觀狀態(tài)對應(yīng)的微觀狀態(tài)的數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其他的宏觀狀態(tài)。因此，系統(tǒng)在任何給定的時間點(diǎn)上都極有可能處于這些"最可能"的宏觀狀態(tài)。

例如，考慮一個簡單的系統(tǒng)，如理想氣體在容器中的分布。盡管理論上有可能所有的氣體分子都偶然地聚集在容器的一角（這將是一個非常罕見的宏觀狀態(tài)），但我們幾乎總是觀察到氣體分子均勻分布在整個容器中（這是一個非常常見的宏觀狀態(tài)），因為這個宏觀狀態(tài)對應(yīng)的微觀狀態(tài)的數(shù)目非常多。

這就是為什么我們幾乎總是觀察到世界處于與最大可能數(shù)目的微觀狀態(tài)接近的宏觀狀態(tài)。這也是熱力學(xué)第二定律中熵增加的原理：系統(tǒng)總是傾向于進(jìn)入熵更高（即可能的微觀狀態(tài)更多）的宏觀狀態(tài)。

回到彈球，假設(shè)它們也可以相互反彈。當(dāng)它們在房間內(nèi)移動時，它們的位置改變，同時它們在碰撞時速度也改變，并且與其他球交換能量。我們可以像考慮位置分布一樣來考慮它們的能量分布。

將球可以擁有的所有可能能量分成一系列能量箱，球的能量分布就是每個能量箱中的球的數(shù)量。就像位置一樣，球在互相作用時會在能量箱之間移動，就像在位置空間一樣，隨著時間的推移...系統(tǒng)將探索這個能量空間的所有可能配置。

每個特定的能量分布再次是一個微觀狀態(tài)，而宏觀狀態(tài)是整體能量分布的特定形狀。例如，這些是不同的宏觀狀態(tài)，

而且我們極有可能觀察到的宏觀狀態(tài)和能量分布，是由最大數(shù)量的微觀狀態(tài)導(dǎo)致的。球的位置傾向于在房間內(nèi)均勻分布，球的能量也受到約束，但方式不同，因此，能量分布并不是在所有可能的能量上都是平均的。

能量是守恒的，如果一個球失去能量，另一個球就會得到相同的能量。你可以以各種方式將粒子在其能量箱中排列，以得到相同的總能量，例如這樣，

或者將它們?nèi)慷逊e在對應(yīng)平均能量的箱子中，

這些分布可以通過在基本擴(kuò)散范圍內(nèi)交換球來建立多個不同的微觀狀態(tài)。但是有一個特定的能量分布，允許最多的交換，有最多的微觀狀態(tài)。就像這樣，

這是麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計結(jié)果的能量分布。在數(shù)學(xué)上，它看起來像這樣，

它告訴我們每個能量箱中的粒子數(shù)量，它取決于物質(zhì)的溫度。從這里我們也得到了粒子速度的分布，

這被稱為麥克斯韋-玻爾茲曼分布（Maxwell-Boltzmann Distribution），所有這些真的只是來自我們隨機(jī)地將球放入不同能量箱的方式的數(shù)量。

麥克斯韋-玻爾茲曼分布代表了最大的混亂，或者說是能量分布的最高熵。就像高熵由粒子以隨機(jī)的方式填滿房間表示的一樣。

為了給你一些關(guān)于為什么它看起來像這個歪曲的鐘形曲線，而不是平均分布的直覺，考慮一下之前的骰子。最常見的數(shù)字是七，那只是因為你可以用最多的方式擲出它：1和6、2和5、3和4、4和3、5和2、6和1。每一個這樣的數(shù)字組合都是一個微觀狀態(tài)，所有的微觀狀態(tài)都對應(yīng)于擲出七這個宏觀狀態(tài)。下一個最常見的宏觀狀態(tài)是六和八，每個都有五種方法可以擲出。

目前為止，我確實(shí)忽略了一個非常重要的東西。當(dāng)我在計算實(shí)體狀態(tài)時，我假設(shè)將球放入其能量箱的順序很重要。這沒問題，如果球彼此互不相同。但是，如果球無法區(qū)分，那么簡單地將兩個粒子互換位置不應(yīng)計算為兩個不同的微觀狀態(tài)。這意味著我們在計算狀態(tài)時過度計數(shù)了。

當(dāng)我們正確計算狀態(tài)時，得到的能量分布方程是這樣的，

它是由玻色和愛因斯坦在1925年共同發(fā)現(xiàn)的，因此這種統(tǒng)計被稱為玻色-愛因斯坦統(tǒng)計（Bose-Einsteinstatistics）。任何以這種方式行為的粒子類型都被稱為玻色子，所有的玻色子都

• 彼此無法區(qū)分，

• 并且能夠無限量地堆積在任何給定的能量箱中。

這減1在大多數(shù)情況下幾乎沒有任何差別，所以我們經(jīng)常只是使用麥克斯韋-玻爾茲曼公式。

但是，當(dāng)這個減1變得重要時，它也真的很重要。對于具有極低能量的系統(tǒng)，它導(dǎo)致每個能量箱中的粒子數(shù)量有巨大的不同，使得可以在最低能量狀態(tài)中塞入更多的粒子。這產(chǎn)生了一種全新的物質(zhì)狀態(tài)——玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)（Bose-Einstein condensate），它在超導(dǎo)、超流動和根據(jù)材料的不同表現(xiàn)出各種奇特行為。

最后，我們以一種導(dǎo)致玻色-愛因斯坦和麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計行為截然不同的方式計數(shù)狀態(tài)來結(jié)束。

每個能量箱中的粒子數(shù)量沒有限制，但并非所有粒子類型都是這樣。一些粒子拒絕分享他們的能量箱，所以每個能量狀態(tài)只能被一個粒子占據(jù)。就好像在一個骰子上擲出1，意味著另一個骰,不能擲出1。

我們需要以非常不同的方式計算這種粒子的可能狀態(tài)，結(jié)果是費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計（Fermi Dirac statistics）。

遵守這些統(tǒng)計規(guī)則的粒子被稱為費(fèi)米子。費(fèi)米子是無法區(qū)分的，并且他們每個能量箱只能有一個。

簡而言之，具有半整數(shù)量子自旋值（如1/2、3/2、5/2等）的粒子由于量子力學(xué)原理禁止重疊。這些粒子是費(fèi)米子，包括構(gòu)成大部分物質(zhì)的粒子，如電子、質(zhì)子和中子。整數(shù)自旋（如0、1、2等）的粒子是玻色子，包括像光子這樣的力攜帶粒子。但是，你也可以通過將自旋為1/2的費(fèi)米子組合起來制造出玻色子，例如氦-4原子。

費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計看起來與其他統(tǒng)計類型相似，但現(xiàn)在玻色-愛因斯坦的負(fù)號變成了正號。對于高溫，這個變化很小，但在低溫下，事情變得很奇怪。因為費(fèi)米子不能全部落入單一的最低能量狀態(tài)，它們反而填滿了所有可用的低能量狀態(tài)，每個狀態(tài)一個粒子。這導(dǎo)致了像原子中的電子只能有一個電子在每個能量殼層這樣的事情。實(shí)際上，由于電子的自旋允許最多兩個電子彼此區(qū)分，且自旋方向相反，所以每個殼層有兩個電子。

但結(jié)果是，如果電子是玻色子，原子會比現(xiàn)在大得多，這就是宇宙中有化學(xué)和結(jié)構(gòu)的原因。費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計的奇特行為也導(dǎo)致了宇宙中一些最奇特的物體，如白矮星和中子星，其中所有的最低能量狀態(tài)都被填滿，產(chǎn)生了我們所說的簡并物質(zhì)。這些物體只能通過他們的費(fèi)米子不能再靠近來抵抗引力崩潰。

使用費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計，我們計算出了一顆恒星需要多大的質(zhì)量才能通過白矮星階段和中子星階段坍縮成為黑洞。關(guān)于統(tǒng)計力學(xué)，我現(xiàn)在要說的就這些。它全在于計數(shù)。我們感知到的是宇宙的粗略屬性，其細(xì)節(jié)被隱藏在我們的視線之外。但只要我們數(shù)一數(shù)那些粗略的可觀測性質(zhì)可能產(chǎn)生的不同的隱藏方式，我們就能在預(yù)測這些可觀測性質(zhì)的行為方面獲得巨大的力量。

通過掌握宇宙骰子游戲，我們對物理定律的起源有了新的理解，就像在空間時間表面之下擲骰子一樣。