方差分析

求是1025 2023-05-17 發(fā)布于山東

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其通過分析研究不同來源的變異對總變異的貢獻大小，從而確定可控因素對研究結果影響力的大小的一種方法。

一個復雜的事物，其中往往有許多因素互相制約又互相依存。方差分析的目的是通過數(shù)據(jù)分析找出對該事物有顯著影響的因素，各因素之間的交互作用，以及顯著影響因素的最佳水平等。方差分析是在可比較的數(shù)組中，把數(shù)據(jù)間的總的“變差”按各指定的變差來源進行分解的一種技術。對變差的度量，采用離差平方和。方差分析就是從總離差平方和分解出可追溯到指定來源的部分離差平方和。經過方差分析若拒絕了檢驗假設，只能說明多個樣本總體均數(shù)不相等或不全相等。若要得到各組均數(shù)間更詳細的信息，應在方差分析的基礎上進行多個樣本均數(shù)的兩兩比較。

方差分析的條件主要有：①可比性。若資料中各組均數(shù)本身不具可比性則不適用方差分析。②正態(tài)性。即偏態(tài)分布資料不適用方差分析。對偏態(tài)分布的資料應考慮用對數(shù)變換、平方根變換、倒數(shù)變換、平方根反正弦變換等變量變換方法變?yōu)檎龖B(tài)或接近正態(tài)后再進行方差分析。③方差齊性。即若組間方差不齊則不適用方差分析。多個方差的齊性檢驗可用Bartlett法，它用卡方值作為檢驗統(tǒng)計量，結果判斷需查閱卡方界值表。

方差分析的主要步驟為：提出原假設和備擇假設；計算各因素離差平方和；計算各因素方差；構造并計算統(tǒng)計量；查檢驗臨界值；判斷某因素作用是否顯著，據(jù)此拒絕或接受原假設。

方差分析主要分為：單因素方差分析、雙因素方差分析，以及多因素方差分析。

其中，單因素方差分析又稱一維方差分析，它檢驗由單一因素影響的一個（或幾個相互獨立的）因變量由因素各水平分組的均值之間的差異是否具有統(tǒng)計意義。還可以對該因素的若干水平分組中哪一組與其他各組均值間具有顯著性差異進行分析，即進行均值的多重比較。在計算時把總變異的離均平方和SS及自由度分別分解為組間和組內兩部分，其計算公式如下：

$\text{MS}組間=離均平方和/組間自由度；\\ \text{MS}組內=離均平方和/組內自由度；\\ \text{SS}總=\text{SS}組間+\text{SS}組內；\\$

設為 $A$ ，稱為因子（factor），因子 $A$ 有 $s$ 個水平（level） $A_{1},A_{2},\cdots,A_{s}$ ，每次試驗只需確定因子 $A$ 的一個水平。假定試驗得到的數(shù)據(jù)為：

$y_{i,j},i=1,\cdots,s,j=1,\cdots,n_{i}$

如果 $n_{i}$ 相等，則稱試驗是平衡的，否則稱為不平衡的。假設每個水平 $A_{i}$ 的均值為 $\mu_{i}=\mu+\alpha_{i}$ ，這里 $\mu$ 稱為總平均， $\alpha_{i}$ 稱為水平 $A_{i}$ 的效應，試驗得誤差為 $\epsilon_{i,j}$ ，于是這組數(shù)據(jù)就可寫為如下形式：

$y_{i,j}=\mu+\alpha_{i}+\epsilon_{i,j},i=1,\cdots,s,j=1,\cdots,n_{i}$

式中隨機誤差 $\epsilon_{i,j}$ 是獨立同分布的，服從正態(tài)分布 $N(0,\sigma^{2})$ ，且 $\begin{matrix} \sum_{i=1}^s\end{matrix}n_{i}\alpha_{i}=0$ 。這時單因素方差分析的任務就是考察 $s$ 個水平的效應是否有顯著差異，即檢驗如下統(tǒng)計假設：

$H_{0}:\alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{s}$

記 $n=\begin{matrix} \sum_{i=1}^{s}\end{matrix}n_{i},\hat y=\begin{matrix} \sum_{i=1}^{s}\end{matrix}\begin{matrix} \sum_{j=1}^{n_{j}}\end{matrix}y_{i,j},y_{i}=\begin{matrix}\sum_{i=1}^{n_{j}}\end{matrix}y_{i,j},\hat y.=y_{i}/n_{i}$ 利用最小二乘法，可以得到 $\hat\mu=\hat y..,\hat\alpha_{i}=\hat y.-\hat y..$ 。而檢驗零假設 $H_{0}$ 的統(tǒng)計量為如下 $F$ 統(tǒng)計量：

$F_{0}=\frac{S_{A}/(s-1)}{S_{\epsilon}/(n-s)}$

式中 $S_{A}=\begin{matrix}\sum_{i=1}^{s}\end{matrix}n_{i}(\hat y.-\hat y..)^{2}$ 稱為組間平方和（sum of squares between classes）, $S_{\epsilon}=\begin{matrix} \sum_{i=1}^{s}\end{matrix}\begin{matrix} \sum_{j=1}^{n_{i}}\end{matrix}(y_{i,j}-\hat y.)^{2}$ 稱為組內平方和（sum of squares within classes）,它們滿足：

$\sum_{i=1}^{s}\sum_{i=1}^{n_{i}}(y_{i,j}-\hat y.)^{2}=S_{T}=S_{A}+S_{\epsilon}$

式中 $S_{A}$ 稱為總平方和（total sum of squares）。若拒絕了零假設，則認為因素 $A$ 的各水平間存在顯著差異。

雙因素方差分析（Two-way ANOVA）遵從單因素方差分析的前提假定（采樣的隨機性、樣本的獨立性、分布的正態(tài)性、方差的一致性）?？梢酝瑫r研究兩個影響因素，包括兩個影響因素的獨立作用以及他們的交互作用。雙因素方差分析的數(shù)據(jù)來源于二維試驗設計，在試驗中每個因子取若干水平。多因素方差分析是指當需要考察的因素個數(shù)增至三個甚至三個以上時，可以用與雙因素方差分析類似的多因子\方差分析方法對這些因子以及它們之間的交互影響作顯著性檢驗。多因素方差分析方法又叫作析因方差分析(factorial analysis of variance)。對涉及三個因素的情形，稱為三因素方差分析。依次類推，還有四因素、五因素方差分析等。從原理上講，多因素方差分析和雙因素方差分析相同，然而由于多因素方差分析中涉及的交互影響個數(shù)隨因子數(shù)增加而增加，其檢驗過程變得非常煩瑣并且不太可靠。

所謂兩因素方差分析是指影響指標 $y$ 的因素有兩個，分別記為 $A$ 和 $B$ 。因子 $A$ 有 $s$ 個水平，記作 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{s},$ ，因子 $B$ 有 $t$ 個水平，記作 $B_{1},B_{2},\cdots,B_{t}$ 。對非重復試驗，即對每一個水平組合只做一次試驗，與單因素方差分析類似，對試驗得到的數(shù)據(jù) $y_{i,j},i=1,\cdots,s;j=1,\cdots,t$ ，有如下的模型：

$y_{i,j}=\mu+\alpha_{i}+\beta_{j}+\varepsilon_{i,j}$

式中 $\alpha_{i}$ 和 $\beta_{j}$ 分別表示 $A_{i}$ 和 $B_{j}$ 的效應，隨機誤差 $\varepsilon_{i,j}$ 是獨立同分布的，服從正態(tài)分布 $N(0,\sigma^{2})$ ，且 $\sum_{i=1}^{s}\alpha_{i}=0,\sum_{j=1}^{t}\beta_{j}=0$ ，這時雙因素方差分析的任務就是檢驗統(tǒng)計假設

$H_{01}:\alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{s},H_{02}:\beta_{1}=\beta_{2}=\cdots=\beta_{t}$

同樣利用最小二乘法，可以得到兩個檢驗統(tǒng)計量：

$F_{1}=\frac{S_{A}/(s-1)}{S_{\epsilon}/(s-1)(t-1)},F_{2}=\frac{S_{B}/(s-1)}{S_{\epsilon}/(s-1)(t-1)}$

式中 $S_{A}=t\begin{matrix} \sum_{i=1}^{s}\end{matrix}(\hat y.-\hat y..)^{2}$ 稱為因素 $A$ 的平方和， $S_{\epsilon}=\begin{matrix} \sum_{i=1}^{s}\end{matrix}\begin{matrix} \sum_{j=1}^{r}\end{matrix}(y_{i,j}-\hat y_{i.}-\hat y_{.j}+\hat y_{..})^{2}$ 稱為誤差平方和， $S_{B}=s\begin{matrix} \sum_{j=1}^{t}\end{matrix}(\hat y_{.j}-\hat y..)^{2}$ 稱為因素 $B$ 的平方和。按照假設檢驗的程序即可完成檢驗工作。當懷疑兩個因素之間有交互作用時，就需要對每個因素的各個水平的組合作重復試驗，得到數(shù)據(jù) $\{Y_{ijk},i=1,\cdots,s;j=1,\cdots,t;k=1,\cdots,n_{ij}\}$ ，滿足如下模型：

$y_{ijk}=\mu+\alpha_{i}+\beta_{j}+\gamma_{ij}+\varepsilon_{ijk}$

式中 $\gamma_{ij}$ 稱為因素 $A$ 和 $B$ 的交互效應。隨機誤差 $\text{var}\epsilon_{ijk}$ 獨立同分布，服從正態(tài)分布 $N(0,\sigma^{2})$ ，且滿足約束條件 $\begin{matrix} \sum_{i=1}^{s}\end{matrix}\alpha_{i}=\begin{matrix} \sum_{j=1}^{t}\end{matrix}\beta_{j}=\begin{matrix} \sum_{i=1}^{s}\end{matrix}\gamma_{ij}=\begin{matrix} \sum_{j=1}^{t}\end{matrix}\gamma_{ij}=0$ ，這時方差分析的任務就是解決：①因子 $A$ 的效應是否為零？②因子 $B$ 的效應是否為零？③因子 $A$ 和 $B$ 的交互效應是否為零？其檢驗方法與前類似，不再贅述。