《幾何學(xué)的力量》是我最喜愛(ài)的數(shù)學(xué)書(shū)籍之一。如果你對(duì)幾何感興趣，那么這本書(shū)正是你要尋找的佳作；如果你對(duì)幾何不感興趣，那么你更應(yīng)該閱讀這本書(shū)，因?yàn)樗貙⒆屇闵钊肜斫狻皫缀巍钡恼嬷B。 艾倫伯格以幽默的文字和敏銳的見(jiàn)解闡述了深?yuàn)W的真理和常見(jiàn)的誤解，將幾何學(xué)演繹成一門充滿樂(lè)趣的學(xué)問(wèn)。這本書(shū)幫助讀者拓展了對(duì)現(xiàn)實(shí)和抽象世界的認(rèn)知，讓人受益匪淺。以下是《幾何學(xué)的力量》的引子。
作為一名數(shù)學(xué)家，我經(jīng)常在公共場(chǎng)合談?wù)摂?shù)學(xué)，這似乎能幫助人們解開(kāi)某些謎團(tuán)。他們會(huì)告訴我一些事情，我感覺(jué)那些都是他們長(zhǎng)時(shí)間深埋心底的故事。其中一些故事與數(shù)學(xué)有關(guān)：有時(shí)它們是悲傷的，例如， 一名數(shù)學(xué)老師無(wú)緣無(wú)故地踐踏了一個(gè)孩子的自尊心；有時(shí)它們是快樂(lè)的， 例如，一個(gè)孩子受到啟發(fā)后茅塞頓開(kāi)，或者一個(gè)成年人怎么也找不到回家的路了（事實(shí)上，這個(gè)故事也有點(diǎn)兒悲傷）。
這些故事常跟幾何學(xué)有關(guān)。在人們對(duì)中學(xué)時(shí)期的記憶中，幾何學(xué)是那么另類，猶如交響樂(lè)中冒出來(lái)的異常大聲的不和諧音調(diào)。有些人憎惡幾何學(xué)，他們告訴我，從開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何學(xué)的那一刻起，數(shù)學(xué)就超出了他們的理解范圍。但也有些人告訴我，幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中他們唯一能弄懂的部分。幾何學(xué)就像數(shù)學(xué)這道大餐中的香菜一樣，人們對(duì)它要么甘之如飴， 要么避之不及。是什么讓幾何學(xué)變得如此與眾不同呢？在某種程度上，它是原始的， 根植于我們的身體。自出生之日起，我們就開(kāi)始思考兩個(gè)問(wèn)題：事物在哪里？它們長(zhǎng)什么樣子？有些人會(huì)告訴你，所有與我們的內(nèi)心生活息息相關(guān)的事情，都可以追溯到非洲稀樹(shù)草原上那群狩獵采集者的需求。我不認(rèn)同這種說(shuō)法，但我也無(wú)法否認(rèn)，那些原始人在學(xué)會(huì)用語(yǔ)言談?wù)撔螤睢?/span>距離和地點(diǎn)之前，對(duì)這些概念就有所了解了。南美的神秘主義者（及南美以外地區(qū)的模仿者）喝下死藤水（一種宗教致幻劑）后，會(huì)在第一時(shí)間（好吧，是在不受控制地嘔吐后的第一時(shí)間）感知到一些純粹的幾何形狀，例如，像傳統(tǒng)清真寺里反復(fù)出現(xiàn)的格柵一樣的二維圖形，或者像由六面體巢室排列而成的蜂巢一樣的三維圖形。即使在我們失去了其他推理思維的情況下，幾何學(xué)也不會(huì)拋棄我們。讀者朋友，讓我開(kāi)誠(chéng)布公地告訴你們：起初我對(duì)幾何學(xué)毫無(wú)興趣。這的確令人難以理解，畢竟我現(xiàn)在是一位數(shù)學(xué)家，而且我的工作就是跟幾何學(xué)打交道！但是，自從我和其他孩子組隊(duì)參加數(shù)學(xué)聯(lián)賽，一切就都變得不一樣了。是的，一場(chǎng)數(shù)學(xué)聯(lián)賽。我所在中學(xué)的參賽隊(duì)伍名叫“地獄天使”，我們每次上場(chǎng)比賽都穿著黑色T 恤，帶著一臺(tái)手提錄音機(jī)，播放著休伊·劉易斯和新聞樂(lè)隊(duì)演唱的歌曲“HiptoBeSquare”（《洗心革面》）。我在那場(chǎng)聯(lián)賽中“出名”了：只要遇到“證明∠ APQ= ∠ CDF”之類的問(wèn)題， 我就會(huì)止步不前。這并不是因?yàn)槲也粫?huì)解答這類問(wèn)題，而是因?yàn)槲沂褂玫氖亲畋?、最麻煩的方法：給圖中的多個(gè)點(diǎn)逐一分配坐標(biāo)值，然后通過(guò)大量的代數(shù)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算，求出三角形的面積和線段的長(zhǎng)度。事實(shí)上， 只要運(yùn)用有效的幾何方法就可以避免這些煩瑣的步驟。我得出的答案有時(shí)是對(duì)的，有時(shí)是錯(cuò)的，但每次的解題過(guò)程都非常痛苦。如果世界上有幾何天賦這種東西，那我肯定沒(méi)有。我們可以給嬰兒做幾何測(cè)試：以兩幅為一組，連續(xù)向嬰兒展示一系列圖片，其中大多數(shù)組別中的兩幅圖片展示的形狀都相同，但大約每隔三組，右邊的那幅圖片展示的形狀就會(huì)與左邊的那幅圖片相反。嬰兒會(huì)花更多的時(shí)間去看那些相反的形狀，這表明他們知道“有事情發(fā)生了”，他們追求新奇事物的頭腦也會(huì)迅速做出反應(yīng)。嬰兒凝視鏡像形狀的時(shí)間越長(zhǎng)，他們?cè)趯W(xué)齡前期的數(shù)學(xué)和空間推理測(cè)試中的得分就越高，也能更快、更準(zhǔn)確地想象出不同的形狀，以及這些形狀旋轉(zhuǎn)或粘在一起后的樣子。至于我，我?guī)缀跬耆痪邆溥@種能力。你知道加油站的刷卡機(jī)上貼的那個(gè)小圖片吧？它會(huì)告訴你刷信用卡時(shí)卡片應(yīng)該朝著哪個(gè)方向。但是，它對(duì)我毫無(wú)用處，因?yàn)槲业拇竽X無(wú)法把那幅平面圖轉(zhuǎn)化成三維動(dòng)作。每次刷卡，我都不得不把 4 種可能的朝向嘗試一遍——磁條向上朝右、磁條向上朝左、磁條向下朝右、磁條向下朝左——直到機(jī)器開(kāi)始讀卡。然而，人們通常認(rèn)為幾何學(xué)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一些運(yùn)算而言至關(guān)重要。凱瑟琳·約翰遜是美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）的一位數(shù)學(xué)家，她因?yàn)?/span>《隱藏人物》這本書(shū)及同名電影的主人公而出名。談到她早年間在飛行研究部門取得的成功時(shí)，凱瑟琳說(shuō)：“那些家伙都有數(shù)學(xué)碩士學(xué)位，但他們徹底忘記了他們學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)……而我還記得我學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)。”非凡的魅力威廉·華茲華斯的自傳體長(zhǎng)詩(shī)《序曲》（The Prelude）講述了一個(gè)有點(diǎn)兒令人難以置信的故事：一個(gè)人在遭遇海難后漂流到一座無(wú)人島上， 他身上除了一本歐幾里得的《幾何原本》之外別無(wú)他物。大約 2500 年前，這本書(shū)闡述的幾何公理和命題使幾何學(xué)變成了一門正式學(xué)科。對(duì)一個(gè)遭遇海難的家伙來(lái)說(shuō)，他的運(yùn)氣還算不錯(cuò)：盡管他饑腸轆轆、心情沮喪，但他可以用樹(shù)枝在沙灘上作圖，通過(guò)逐一驗(yàn)證歐幾里得的證明過(guò)程， 打發(fā)獨(dú)居荒島的寂寞時(shí)光。而這恰恰是步入中年的華茲華斯向往的人生——年輕、敏感、富有詩(shī)意。詩(shī)人寫(xiě)道：（飲用死藤水的人也有類似的感受，這種藥物會(huì)對(duì)大腦產(chǎn)生影響，讓自認(rèn)為陷入困境的大腦得到解脫。）華茲華斯的“海難– 幾何學(xué)”故事的最奇怪之處在于，它基本上是真實(shí)的。華茲華斯從約翰·牛頓的回憶錄中借用了這個(gè)故事，其中有幾行詩(shī)句更是原樣照搬過(guò)來(lái)的。1745 年，年輕的奴隸販子約翰·牛頓被困在塞拉利昂附近的普蘭廷島上。他沒(méi)有遭遇海難，而是被他的老板扣留在那里，過(guò)著無(wú)所事事、食不果腹的生活。普蘭廷島也不是一座無(wú)人島， 除了他以外，那里還住著一些非洲奴隸。他主要的痛苦來(lái)源是一名控制 食物流通的非洲婦女，用牛頓的話說(shuō)，這是“一個(gè)在她的國(guó)家擁有重要 地位的人”。牛頓百思不得其解自己為什么會(huì)落到這步田地，他抱怨道：“這個(gè)女人從一開(kāi)始就對(duì)我抱有莫名其妙的偏見(jiàn)。”
幾年后，差點(diǎn)兒死在海上的牛頓開(kāi)始信奉宗教，成了一名圣公會(huì)牧師，還創(chuàng)作了基督教贊美詩(shī)《奇異恩典》（Amazing Grace，它對(duì)人們抑郁時(shí)應(yīng)該讀什么書(shū)給出了截然不同的建議）。最后，他宣布不再?gòu)氖屡`貿(mào)易，并成為大英帝國(guó)廢除奴隸制運(yùn)動(dòng)的一員干將?，F(xiàn)在，我們回過(guò)頭講他在普蘭廷島上的生活。沒(méi)錯(cuò)，他隨身帶著一本書(shū)——艾薩克·巴羅英譯版的歐幾里得《幾何原本》。在那段黑暗的日子里，這本書(shū)中的抽象概念給了他莫大的心理安慰。他寫(xiě)道：“我常常沉迷其中，幾乎忘記了自己的悲傷?！?/span>華茲華斯借用了牛頓的“沙灘– 幾何學(xué)”故事，而這并不是他與該學(xué)科僅有的親密接觸。與華茲華斯同時(shí)代的托馬斯·德·昆西在《一個(gè)鴉片吸食者的懺悔錄》（Confessions of an English Opium-Eater）中寫(xiě)道：“華茲華斯是一個(gè)徹頭徹尾的數(shù)學(xué)崇拜者，尤其是對(duì)高深莫測(cè)的幾何學(xué)。這種崇拜源于抽象世界和激情世界之間的對(duì)立?！鄙蠈W(xué)期間，華茲華斯的數(shù)學(xué)成績(jī)很糟糕，但他與年輕的愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·哈密頓建立了惺惺相惜的友誼。有些人認(rèn)為，正是因?yàn)槭艿焦茴D的啟發(fā)，華茲華斯才會(huì)在《序曲》中寫(xiě)出描述牛頓（是艾薩克·牛頓而不是約翰·牛頓）的著名詩(shī)句：“一個(gè)靈魂，永遠(yuǎn)孤獨(dú)地航行在陌生的思想海洋中。”
哈密頓從小就沉迷于各類學(xué)科知識(shí)，包括數(shù)學(xué)、古代語(yǔ)言、詩(shī)歌等。而他開(kāi)始對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，則是因?yàn)樗陼r(shí)期與“美國(guó)計(jì)算神童”謝拉·科爾伯恩的一次偶遇。謝拉來(lái)自佛蒙特州一個(gè)中等收入的農(nóng)場(chǎng)家庭，在他 6 歲那年，他的父親阿比亞發(fā)現(xiàn)他坐在地上背誦著從未有人教過(guò)他的乘法表。后來(lái)，這個(gè)男孩被證明擁有強(qiáng)大的心算能力，并在新英格蘭地區(qū)一鳴驚人。（他和家族所有的男性成員一樣，兩只手各有 6 根手指，兩只腳各有 6根腳趾。）謝拉的父親帶著他面見(jiàn)了多位當(dāng)?shù)氐娘@要人物，包括馬薩諸塞州州長(zhǎng)埃爾布里奇·格里。格里告訴阿比亞，只有歐洲人才能理解和培養(yǎng)這個(gè)孩子的特殊技能。1812 年，父子倆跨越大西洋來(lái)到歐洲，謝拉一邊接受教育，一邊輾轉(zhuǎn)歐洲各地賺錢。在都柏林，他曾和一個(gè)巨人、一個(gè)白化病患者和霍尼韋爾小姐（一個(gè)用腳趾表演雜技的美國(guó)女人）同臺(tái)演出。1818 年，14 歲的謝拉參加了一場(chǎng)計(jì)算比賽，他的對(duì)手正是愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)神童哈密頓。最終，哈密頓“斬獲桂冠，盡管他的對(duì)手通常是這類比賽的贏家”。不過(guò)，謝拉沒(méi)有繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，他只對(duì)心算感興趣。謝拉學(xué)習(xí)歐幾里得幾何時(shí)覺(jué)得它非常簡(jiǎn)單，但“枯燥無(wú)味”。兩年后，當(dāng)哈密頓再次遇到這位“計(jì)算神童”并詢問(wèn)他的計(jì)算方法時(shí)（哈密頓回憶道：“我根本看不出來(lái)他以前長(zhǎng)了 6 根手指。”在倫敦，謝拉通過(guò)外科手術(shù)分別切除了兩只手上的第 6 根手指），哈密頓發(fā)現(xiàn)謝拉幾乎不明就里。放棄學(xué)業(yè)后，謝拉試圖登上英國(guó)的舞臺(tái)，但沒(méi)有成功。他搬回了佛蒙特州，以傳教士的身份度過(guò)余生。
1827 年遇到華茲華斯時(shí)哈密頓才 22 歲，但他已經(jīng)是都柏林大學(xué)的教授和愛(ài)爾蘭皇家天文學(xué)家了。而那時(shí)，華茲華斯 57 歲。哈密頓在寫(xiě)給他妹妹的信中描述了他和華茲華斯的這次碰面：一位年輕的數(shù)學(xué)家和一位年長(zhǎng)的詩(shī)人“一起漫步于午夜，走了很久很久，陪伴我們的只有天上的星星，以及我們熾熱的思想和言語(yǔ)”。從他的文風(fēng)可以看出，哈密頓并沒(méi)有完全放棄他在詩(shī)歌上的抱負(fù)。很快，他就給華茲華斯寄去了詩(shī)歌，華茲華斯做出了熱情的回應(yīng)，但也提出了批評(píng)意見(jiàn)。隨后不久，哈密頓在一首寫(xiě)給繆斯的詩(shī)中宣稱他放棄了詩(shī)歌，并把這首名為《致詩(shī)歌》的詩(shī)送給了華茲華斯。1831 年，他又改變了主意，并寫(xiě)了另一首名為《致詩(shī)歌》的詩(shī)來(lái)表明他的決定。他把這首詩(shī)也寄給了華茲華斯，華茲華斯的回復(fù)十分經(jīng)典而委婉：“就像其他人一樣，我也很樂(lè)意收到你寄給我的大量詩(shī)作，但我們擔(dān)心熱衷此道可能會(huì)讓你偏離科學(xué)之路，而你似乎注定會(huì)在科學(xué)之路上為自己贏得殊榮，為他人謀得福利。”在華茲華斯的圈子里，并非人人都像他和哈密頓一樣欣賞感性與冷靜、奇怪、孤獨(dú)的理性之間的相互作用。1817 年年底，在畫(huà)家本杰明·羅伯特·海登家中舉行的一次晚宴上，華茲華斯的朋友查爾斯·蘭姆喝醉了。他詆毀起牛頓來(lái)，稱這位科學(xué)家“不相信任何事物，除非它像三角形的三條邊一樣清晰可辨”，以此取笑華茲華斯。約翰·濟(jì)慈也加入其中，指責(zé)牛頓用棱鏡展示類似于彩虹的光學(xué)效應(yīng)，徹底破壞了彩虹的浪漫色彩。華茲華斯站在一旁笑了笑，卻一語(yǔ)不發(fā)，有人猜測(cè)他是不想引發(fā)爭(zhēng)吵。德·昆西還宣揚(yáng)了華茲華斯《序曲》中另一個(gè)與數(shù)學(xué)有關(guān)的場(chǎng)景。（當(dāng)時(shí)這本書(shū)還沒(méi)有出版，但在那個(gè)年代，詩(shī)歌出版前通常會(huì)進(jìn)行預(yù)熱宣傳。）在這個(gè)場(chǎng)景中，華茲華斯在閱讀《堂·吉訶德》時(shí)睡著了，并在夢(mèng)中遇見(jiàn)了一個(gè)騎著駱駝穿越荒漠的貝都因人。（德·昆西興奮地承諾：“在我看來(lái)，這個(gè)場(chǎng)景將數(shù)學(xué)的崇高地位展現(xiàn)得淋漓盡致。”）那個(gè)貝因都人的手里拿著兩本書(shū)，其中一本不僅是書(shū)，也是一塊沉重的石頭（這只能出現(xiàn)在夢(mèng)境中），另一本書(shū)同時(shí)也是一枚閃閃發(fā)光的貝殼。（讀了幾頁(yè)之后，讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)貝都因人就是堂·吉訶德。）
當(dāng)你把這本貝殼書(shū)貼在耳邊時(shí)，它會(huì)發(fā)出末日預(yù)言。那本石頭書(shū)呢？它就是歐幾里得的《幾何原本》。不過(guò)在這里，它不再是一件卑微的自助工具，而是我們與冷漠無(wú)情、亙古不變的宇宙相聯(lián)系的一座橋梁，它“用最純粹的理性紐帶將靈魂與靈魂結(jié)合在一起，不受空間或時(shí)間的干擾”。德·昆西喜歡這種迷幻的場(chǎng)景是有原因的，他曾是一位神童，后來(lái)染上了吸食鴉片的惡習(xí)，并在 19 世紀(jì)初轟動(dòng)一時(shí)的暢銷書(shū)《一個(gè)鴉片吸食者的懺悔錄》中描寫(xiě)了他吸食鴉片后產(chǎn)生的種種幻覺(jué)。華茲華斯心目中的幾何學(xué)是典型的遠(yuǎn)距離視角下的幾何學(xué)。是的， 他欣賞幾何學(xué)，但這與我們欣賞奧運(yùn)會(huì)體操運(yùn)動(dòng)員能做出常人不可能完成的空翻轉(zhuǎn)體動(dòng)作沒(méi)什么兩樣。這種欣賞在最著名的幾何學(xué)詩(shī)歌——埃德娜·圣文森特·米萊的十四行詩(shī)《只有歐幾里得見(jiàn)過(guò)赤裸之美》——中也有所體現(xiàn)。米萊筆下的歐幾里得是一個(gè)超凡脫俗的人物，在一個(gè)“神圣而可怕的日子”里，他頓悟了。米萊說(shuō)，我們不同于歐幾里得，運(yùn)氣好的話，我們可能會(huì)聽(tīng)到美沿著遠(yuǎn)處的走廊匆匆離去的腳步聲。但這不是本書(shū)要討論的幾何學(xué)。請(qǐng)不要誤解我——作為一名數(shù)學(xué)家， 幾何學(xué)的威望讓我獲益良多。當(dāng)人們認(rèn)為你從事的工作神秘、永恒且超越普通層面時(shí)，你會(huì)自我感覺(jué)良好。“你今天過(guò)得怎么樣？”“嗯，和往常一樣，神圣而可怕?！?/span>然而，你越是堅(jiān)持這種觀點(diǎn)，你就越會(huì)傾向于讓人們把學(xué)習(xí)幾何學(xué)看作一項(xiàng)義務(wù)。它像歌劇一樣散發(fā)出輕微的霉味，但人們欣賞它，因?yàn)樗鼘?duì)人們有益。不過(guò)，這種欣賞并不足以維系這項(xiàng)事業(yè)。新的歌劇作品層出不窮，你能逐一說(shuō)出它們的名字嗎？不能！當(dāng)你聽(tīng)到“歌劇”一詞時(shí)，你也許會(huì)聯(lián)想到一位穿著皮草的女中音歌手高唱普契尼作品的情景， 整個(gè)畫(huà)面可能還是黑白的。就像新的歌劇作品一樣，新的幾何學(xué)也有很多，但它們并未引起太多關(guān)注。幾何學(xué)不等于歐幾里得幾何，從很早以前兩者之間就不能畫(huà)等號(hào)了。它不是一件帶著教室氣味的文物，而是一門鮮活的學(xué)科，正在以前所未有的速度向前發(fā)展著。在接下來(lái)的章節(jié)中，我們將會(huì)看到與疫情傳播、混亂的美國(guó)政治進(jìn)程、國(guó)際跳棋錦標(biāo)賽、人工智能、英語(yǔ)、金融、物理學(xué)乃至詩(shī)歌都有著密切聯(lián)系的新興幾何學(xué)。從全球視角看，我們生活在一座蓬勃生長(zhǎng)、欣欣向榮的“幾何城市” 中。幾何學(xué)并未超越時(shí)空，它就在我們身邊，與日常生活中的各種推理交織在一起。它美嗎？是的，但它不是赤裸裸的，幾何學(xué)家看到的都是穿著“制服”的幾何學(xué)之美。
|
