題型:x2+bx2/cx2=d

x≠4

解法①:配方

原方程變?yōu)?

x2（x-4）2+16x2-180（x-4）2=0

（x2-4x）2+（4x）2-180（x-4）2=0

（x2-4x）2+2.4x.（x2-4x）+（4x）2-8x2（x-4）-180（x-4）2=0

∴x?-8x2（x-4）-180（x-4）2=0

∴[x2-18（x-4）][x2+10（x-4）]=0

∴（x2-18x+72）（x2+10x-40）=0

∴（x-12）（x-6）（x2+10x-40）=0

∴原方程的解為:x1=12，x2=6，x3=-5+√65，x4=-5-√65

解法②:分解因式

原方程變?yōu)?

x2（x-4）2+16x2=180（x-4）2

∵180=122+62

∴（x2-4x）2+（4x）2=（12x-48）2+（6x-24）2

（x2-4x）2-（12x-48）2=（6x-24）2-（4x）2

∴（x2+8x-48）（x2-16x+48）=（10x-24）（2x-24）

∴（x+12）（x-4）（x-12）（x-4）=4（5x-12）（x-12）

∴x-12=0，∴x=12

∴（x+12）（x-4）2=20x-48

∴[（x-4）+16]（x-4）2=20（x-4）+32

令x-4=a

（a+16）a2=20a+32

∴a3+16a2-20a-32=0

（a-2）（a2+18a+16）=0

∴a=2或a=-9+√65或a=-9-√65

當a=2，x=6

當a=-9+√65，x=-5+√65

當a=-9-√65，x=-5-√65

∴原方程的解為:x1=12，x2=6，x3=-5+√65，x4=-5-√65

解法③:配方

原方程變?yōu)?

x2+2.x.4x/（x-4）+16x2/（x-4）2-8x2/（x-4）=180

[x+4x/（x-4）]2-8x2/（x-4）-180=0

[x2/（x-4）]2-8.x2/（x-4）-180=0

[x2/（x-4）-18][x2/（x-4）+10]=0

∴x2/（x-4）-18=0或x2/（x-4）+10=0

當x2/（x-4）-18=0，即x2-18x+72=0

（x-12）（x-6）=0，∴x=12或x=6

當x2/（x-4）+10=0，即x2+10x-40=0

∴x=-5±√65

∴原方程的解為:x1=12，x2=6，x3=-5+√65，x4=-5-√65

解法④:構(gòu)造

原方程變?yōu)?

x2+[4x/（x-4）]2=180

令x=a，4x/（x-4）=b

∴a2+b2=180…①

∵ab=4x2/（x-4），a+b=x2/（x-4）

∴ab=4（a+b）…②

由①:（a+b）2-2ab=180…③

將②代入③:（a+b）2-8（a+b）-180=0

∴[（a+b）-18][（a+b）+10]=0

∴a+b=18或a+b=-10

當a+b=18時，ab=72

依韋達定理，a、b可視為方程u2-18u+72=0的兩根，（u-12）（u-6）=0

∴a=12，b=6或a=6，b=12

∵x=a，∴x=12或x=6

同樣地，當a+b=-10時，ab=-40

a=-5+√65，b=-5-√65或a=-5-√65，b=-5+√65

∴x=-5+√65或x=-5-√65

∴原方程的解為:x1=12，x2=6，x3=-5+√65，x4=-5-√65