當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長(zhǎng)中線或類中線，構(gòu)造全等三角形，目的是對(duì)已知條件中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移．

如圖①，AD 是△ABC 的中線，延長(zhǎng) AD 至點(diǎn) E 使 DE＝AD，易證：△ADC≌△EDB（SAS）．

如圖②，D 是 BC 中點(diǎn)，延長(zhǎng) FD 至點(diǎn) E 使 DE＝FD，易證：△FDB≌△EDC（SAS）

經(jīng)典例題

【例1】．（2020·陜西咸陽·一模）問題提出

（1）如圖，是△ 的中線，則 + __________2；（填“ > ”“ < ”或“ = ”）

問題探究

（2）如圖，在矩形中， = 3, = 4，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，當(dāng)△ 的周長(zhǎng)最小時(shí)，求的長(zhǎng)；

問題解決

（3）如圖，在矩形中， = 4, = 2，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接、、，是否存在這樣的點(diǎn)，使折線的長(zhǎng)度最小？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，并求出折線的最小長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）＞；（2） = 1；（3）當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，折線的長(zhǎng)度最小，最小長(zhǎng)度為4．

【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出 = ，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出 = 3,∠ = ∠ = 90°,//，從而可得AE 的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)之間線段最短得出△ 的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)F 的位置，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；

（3）如圖（見解析），先根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短得出折線的長(zhǎng)度最小時(shí)，′,,,′四點(diǎn)共線，再利用直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)得出∠ = 30°， = 2 3， = 2，然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)、角的和差可得′ = 2 3,′ = 2，∠′′ = 90°。由此利用勾股定理可求出′′的長(zhǎng)，即折線的最小長(zhǎng)度。

設(shè)′′交于點(diǎn)′，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得′ = 2，從而可得′ = ，由此即可得折線的長(zhǎng)度最小時(shí)，點(diǎn)Q 的位置．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），利用軸對(duì)稱的性質(zhì)正確找出折線的最小長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．

【例2】．（2021·湖北武漢·八年級(jí)期中）已知△ 中，

（1）如圖1，點(diǎn)E 為的中點(diǎn)，連并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使 = ，則與的數(shù)量關(guān)系是________．

（2）如圖2，若 = ，點(diǎn)E 為邊一點(diǎn)，過點(diǎn)C 作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接，若∠ = ∠，求證： = ．

（3）如圖3，點(diǎn)D 在△ 內(nèi)部，且滿足 = ，∠ = ∠，點(diǎn)M 在的延長(zhǎng)線上，連交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N 為的中點(diǎn)，求證： = ．

【答案】（1） = ；（2）見解析；（3）見解析

【分析】（1）通過證明△ ≌ △ ，即可求解；

（2）過點(diǎn)A 引 ∥ 交于點(diǎn)F，通過△ ≌ △ 得到 = ，再通過△ ≌ △ 即可求解；

（3）過點(diǎn)作 ∥ 交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)， ∥ ，在上取一點(diǎn)，使得 = ，連接，利用全等三角形的性質(zhì)證明 = 、 = ，即可解決．

【詳解】證明：（1） = ，由題意可得： = ，在△ 和△ 中

∴ =

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．

【例3】．（2020·安徽合肥·二模）如圖，正方形ABCD 中，E 為BC 邊上任意點(diǎn)，AF 平分∠EAD，交CD 于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若點(diǎn)F 恰好為CD 中點(diǎn)，求證：AE=BE+2CE；

(2)在(1)的條件下，求/的值；

(3)如圖2，延長(zhǎng)AF 交BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AE 交DC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接HG，當(dāng)CG=DF 時(shí)，求證：HG⊥AG．

【例4】．（2020·江西宜春·一模）將一大、一小兩個(gè)等腰直角三角形拼在一起， = , = ,∠ = ∠ = 90°，連接,．

（1）如圖1,若、、三點(diǎn)在同一條直線上，則與的關(guān)系是；

（2）如圖2，若、、三點(diǎn)不在同一條直線上,與相交于點(diǎn)，連接,猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

（3）如圖3，在(2)的條件下作的中點(diǎn),連接，直接寫出與之間的關(guān)系．

【答案】（1） = 且 ⊥ ；（2） = + 2；證明見解析；（3） = 2且 ⊥ ．

【分析】（1）根據(jù)題意利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及延長(zhǎng)AC 交BD 于點(diǎn)C’進(jìn)行角的等量代換進(jìn)行分析即可；

（2）根據(jù)題意在上截取 = ,連接，并全等三角形的判定證明?和?，進(jìn)而利用勾股定理得出2 +2 = 2進(jìn)行分析求解即可；

（3）過點(diǎn)B 作BM∥OC，交OF 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)FO 交AD 于點(diǎn)N，證明ΔBFM?ΔCFO，ΔAOD?ΔOBM，進(jìn)而即可得到結(jié)論．