知識(shí)解讀

圓中的比例線段問題，一般是指圓冪定理以及與圓有關(guān)的相似形推證比例線段問題.下面先介紹一下圓冪定理：

（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的乘積相等。

如圖①，⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，則PA·PB＝PC·PD.

連接AC，BD，證明△PAC∽△PDB，即可獲證.

特別的，如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。

如圖②，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，CP⊥AB，垂足為P，則PC²＝PA·PB.

（2）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，這點(diǎn)到圓的切線長是這點(diǎn)到割線與圓兩交點(diǎn)的兩條線段的比例中項(xiàng)。

如圖③，PC切⊙O于點(diǎn)C，割線交OO于點(diǎn)A，B，則PC²＝PA·PB.

（3）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。

如圖④，PAB，PCD是⊙O的兩條割線，則PA·PB＝PC·PD.（讀者可自行證明）

上述結(jié)論統(tǒng)稱圓冪定理.

同時(shí)，由相似三角形得對應(yīng)邊成比例，也是研究比例線段的最重要的方法.而角在圓中轉(zhuǎn)變靈活，為尋找構(gòu)造相似三角形，得到比例線段提供了可能.

典例示范

例1如圖1－6－2，圓內(nèi)兩條弦AB，CD的延長線相交于圓外一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AD的平行線與直線BC交于F，作切線FG，G為切點(diǎn).求證：FE＝FG.

【提示】將問題轉(zhuǎn)化為證明FE²＝FG²，這由切割線定理和相似三角形的性質(zhì)可獲證.

【解答】

【拓展訓(xùn)練】

1.如圖1－6－3，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，與∠BAC相鄰的外角平分線所在的直線交BC的延長線于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓O于點(diǎn)E，DF切⊙O于F.求證：AB·AC＝DF²－DA².

【提示】注意到DF²＝DA·DE，從而DF²－DA²可化為DA·AE，然后把四條線段放在兩個(gè)三角形中，通過△ABE與△ACD相似可證得.

【解答】

2.如圖1－6－4，AB是⊙O的直徑，過A，B引兩條弦AD和BE，相交于點(diǎn)C.求證：AC·AD+BC·BE＝AB².（輔助線作法見文末）

【解答】

拓展訓(xùn)練2圖解：