文/老余

由于貝葉斯思想實在太過重要，本篇我們繼續(xù)。

但請放心，與之前的文章一樣，本篇也不會很燒腦，甚至連貝葉斯公式我都不會寫出來，我只想用最簡單的方式，把它給你講明白。

先問你一個問題：

假如新冠抗原的準確率為99%，而你測出是陽性，這就說明你99%感染了嗎？

這個對不對？

先按下不表。

我們先用貝葉斯眼光看乳腺癌診斷正確率的問題，再反過頭來看新冠抗原的。

比如張三體檢時，醫(yī)生告訴她乳腺癌的檢查呈陽性，且這種檢查的正確率為95%。那張三應不應該相信自己95%的可能性已經患了乳腺癌？

如果不把這個問題搞明白，誰聽到這個都會絕望地雙腿發(fā)軟。

下面，我們用貝葉斯（從結果追溯原因，正是貝葉斯出場的時候）推理，把這個問題分析清楚。

（一）張三應該感到絕望嗎？

且慢，先不要感到絕望！

這事兒其實沒這么簡單，因為這個“95%”只是很局部的數據，要把這事兒全部搞明白，起碼還要弄清楚以下兩點：

1、首先，這種癌癥普遍的患病率是多少（貝葉斯里的先驗概率）？

說白了，就是首先我們要搞清楚自己處于什么樣的宏觀概率里，我查了下全球女性乳腺癌的患病率已經到了0.03%。

由此，我們知道在張三沒有體檢前，她有99.97%的概率處在健康人群里，有0.03%的概率處在患病人群里，除此之外，再也沒有其他可能性了（當然，除非她是量子態(tài)，是薛定諤的貓）。

宏觀概率圖（1）

那張三到底處在哪類人群里呢？

這就需要回到微觀里看檢測結果是否為陽性，且還得看這個檢測對患癌人群及非患癌人群的判斷準確率是多少？

這就牽扯到第二點。

2、檢測的假陰性和假陽性問題

啥是假陰性概率？

就是本來患癌了，但檢測結果卻顯示為陰性誤以為沒有患癌的概率。上面說了，檢測的準確率為95%，也就是100人中，即使有5人患癌，診斷結果卻是陰性。

相反，假陽性就是本來沒有患癌，但檢測結果卻是陽性，誤以為患癌的概率，我們假設這個概率為1%。

現在，我們把問題的全貌歸攏一下：

1. 全球女性乳腺癌的發(fā)病率為0.03%。也就是說，每10000人里會有3人患病，另外9997人不會患?。?/li>
2. 檢測的準確率是95%。也就是說，患癌卻沒有檢測出來的概率為5%（一開始，我們只看到了這一點）；
3. 檢測假陽性概率為1%，也就是說：每10000人健康女性里，誤以為患有乳腺癌的人數是100人；

我們把“2、3”變?yōu)楦庇^的矩陣：

加上了全貌中的“2、3”后，“宏觀圖1”可變?yōu)椋?/p>

那在全局里，張三檢測前可能會出現四種情況，這四種情況及其概率為：

• （1）左上角-患癌，檢測為陽性，概率為：95%×0.03%=0.0285%
• （2）左下角-患癌，檢測卻為陰性，概率為：5%×0.03%=0.0015%
• （3）右上角-未患癌，檢測卻為陽性，概率為：1%×99.97%=0.9997%
• （4）右下角-未患癌，檢測為陰性，概率為：99%×99.97%=98.9703%

請注意，關鍵時刻到了，在沒有檢測前，這四種情況張三必占其一，但現在已知張三是陽性了，所以陰性的可能性就立馬排除掉了，也就是說，張三只可能在“（1）、（3）”中占其一了。

那張三確實患了乳腺癌的概率是多少呢？

這就很簡單也很好理解了，就是“患癌，檢測為陽性”的概率值除以全部為陽性的概率值，即：

——P=患癌，檢測為陽性÷（患癌，檢測為陽性+未患癌，檢測卻為陽性）=0.0285%÷（0.0285%+0.9997%）=2.7%（貝葉斯里叫后驗概率）。

你看，之前，我們認為張三患乳腺癌的概率是95%，基本上快到了板上釘釘的地步了，但實際情況是：

——即使檢測結果為陽性，張三患病的真實概率只有2.7%。

所以不要自己嚇自己，即使那個95%很嚇人。

接下來，我們再看看新冠的情況，如果抗原測試你羊了，且準確率為99%，那你真實已經感染的可能性是多少呢？

（二）新冠抗原的準確率為99%，而你測了是陽性，這就說明你99%感染了嗎？

同理，這事兒的全貌也還包括以下兩點：

1、全國，整體的感染率是多少（貝葉斯里的先驗概率）？

我查了相對靠譜的說法是60%以上，那我們就按60%來。

在你沒有測試之前，其實我有60%的概率處在這個羊了人群里，有40%的概率處在沒有感染的人群里。

概率圖（1）

那你到底處在哪個人群里呢？

我們回到微觀里看假陽性和假陰性。

2、抗原的假陰性和假陽性問題

上面說了，抗原的準確率為99%（也就是說假陰性概率為1%），那假陽性的概率是多少呢？我查了一下，在1%-5%之間，我們就取3%吧。

現在，我們復原這個問題的全貌：

1. 現在全國新冠感染率為60%；
2. 抗原試劑的準確率是99%；
3. 抗原測試的假陽性為3%；

加上了全貌中的“2、3”后，“概率圖1”即可變?yōu)椋?/p>

在全局里，抗原測試前有四種情況，這四種情況及其概率為：

• （1）左上角-未感染測試為陰性，概率為：0.4×0.97=38.8%
• （2）左下角-未感染測試為陽性，概率為：0.4×0.03=1.2%
• （3）右上角-已感染測試為陰性，概率為：0.6×0.01=0.6%
• （4）右下角-已感染測試為陽性，概率為：0.6×0.99=59.4%

現在，已知你陽了，所以陰性的可能性就立馬排除掉了，那你確實羊了的概率是多少呢？

P=已感染測試為陽性÷（已感染測試為陽性+未感染測試為陽性）=59.4%÷（59.4%+1.2%）=98%。

——之前我們認為的概率是99%，而真實的概率為98%。

為何新冠與乳腺癌的前后概率相差如此之大，一個幾乎是完全顛覆了，而另一個基本沒變，這是為何？

我們繼續(xù)往下看。

（三）總結一下

因為患乳腺癌的風險相對于新冠來說，是非常小的。

所以，對于女性患乳腺癌來說：

健康人群所占比例遠遠高于患癌比例，這樣一來，健康人群被誤診為陽性的數據就不能被忽視。

由此，在整體患病風險較小的疾病里，如果醫(yī)生給了你一個確診，也請先不要著急不要悲觀，因為這個確診是誤診的概率非常大，即使這個醫(yī)生在專業(yè)上很牛，但他的概率可能會差點意思。

而對于新冠來說：

感染人群所在比例已經非常高，這樣一來，健康人群誤診為陽性的數據就基本可以忽略不計。

由此我們知道，在整體患病風險已經很高的疾病里，如果醫(yī)生遺憾的說你已經確診了，這句話的準確性就非常非常高了，即使這是個庸醫(yī)。

還有一點要引起重視：

雖然張三的患癌概率從誤以為的95%一下子降低到了客觀的2.7%，但乳腺癌的平均患病概率是0.03%，也就是說，張三在正確率為95%的檢查確診后，她的患病風險就變了，從0.03%飆升到了2.7%。

——增加了90倍。

反過來，當我們看到新聞里說某項疾病的發(fā)病率因為長期吃了什么東西翻了10倍時，也不要慌神，我們得冷靜下來搞清楚，是在多大的基礎概率上翻了10倍。

比如是在億萬分之一的基礎上翻的，那翻10倍基本等于沒翻，有些人就喜歡制造恐慌。

而數據，是最容易得手的工具，沒有之一。

（完）