量子力學是描述微觀物質(zhì)的理論，與相對論一起被認為是現(xiàn)代物理學的兩大基本支柱，許多物理學理論和科學如原子物理學、固體物理學、核物理學和粒子物理學以及其它相關(guān)的學科都是以量子力學為基礎(chǔ)所進行的。

量子力學是描寫原子和亞原子尺度的物理學理論^[3]。該理論形成于20世紀初期，徹底改變了人們對物質(zhì)組成成分的認識。微觀世界里，粒子不是臺球，而是嗡嗡跳躍的概率云，它們不只存在一個位置，也不會從點A通過一條單一路徑到達點B^[3]。根據(jù)量子理論，粒子的行為常常像波，用于描述粒子行為的“波函數(shù)”預(yù)測一個粒子可能的特性，諸如它的位置和速度，而非確定的特性^[3]。物理學中有些怪異的概念，諸如糾纏和不確定性原理，就源于量子力學^[3]。

電子云 19世紀末，經(jīng)典力學和經(jīng)典電動力學在描述微觀系統(tǒng)時的不足越來越明顯。量子力學是在20世紀初由馬克斯·普朗克、尼爾斯·玻爾、沃納·海森堡、埃爾溫·薛定諤、沃爾夫?qū)づ堇?a data-lemma-id='63503291' target='_blank' >路易·德布羅意、馬克斯·玻恩、恩里科·費米、保羅·狄拉克、阿爾伯特·愛因斯坦、康普頓等一大批物理學家共同創(chuàng)立的。量子力學的發(fā)展革命性地改變了人們對物質(zhì)的結(jié)構(gòu)以及其相互作用的認識。量子力學得以解釋許多現(xiàn)象和預(yù)言新的、無法直接想象出來的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象后來也被非常精確的實驗證明。除通過廣義相對論描寫的引力外，至今所有其它物理基本相互作用均可以在量子力學的框架內(nèi)描寫（量子場論）。

量子力學并沒有支持自由意志，只是于微觀世界物質(zhì)具有概率波等存在不確定性，不過其依然具有穩(wěn)定的客觀規(guī)律，不以人的意志為轉(zhuǎn)移，否認宿命論。第一，這種微觀尺度上的隨機性和通常意義下的宏觀尺度之間仍然有著難以逾越的距離；第二，這種隨機性是否不可約簡難以證明，事物是由各自獨立演化所組合的多樣性整體，偶然性與必然性存在辯證關(guān)系。自然界是否真有隨機性還是一個懸而未決的問題，對這個鴻溝起決定作用的就是普朗克常數(shù)，統(tǒng)計學中的許多隨機事件的例子，嚴格說來實為決定性的。

在量子力學中，一個物理體系的狀態(tài)由波函數(shù)表示，波函數(shù)的任意線性疊加仍然代表體系的一種可能狀態(tài)。對應(yīng)于代表該量的算符對其波函數(shù)的作用；波函數(shù)的模平方代表作為其變量的物理量出現(xiàn)的幾率密度。

量子力學是在舊量子論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。舊量子論包括普朗克的量子假說、愛因斯坦的光量子理論和玻爾的原子理論。

1900年，普朗克提出輻射量子假說，假定電磁場和物質(zhì)交換能量是以間斷的形式（能量子）實現(xiàn)的，能量子的大小同輻射頻率成正比，比例常數(shù)稱為普朗克常數(shù)，從而得出普朗克公式，正確地給出了黑體輻射能量分布。

1905年，愛因斯坦引進光量子（光子）的概念，并給出了光子的能量、動量與輻射的頻率和波長的關(guān)系，成功地解釋了光電效應(yīng)。其后，他又提出固體的振動能量也是量子化的，從而解釋了低溫下固體比熱問題。

普朗克 1913年，玻爾在盧瑟福原有核原子模型的基礎(chǔ)上建立起原子的量子理論。按照這個理論，原子中的電子只能在分立的軌道上運動，在軌道上運動時候電子既不吸收能量，也不放出能量。原子具有確定的能量，它所處的這種狀態(tài)叫“定態(tài)”，而且原子只有從一個定態(tài)到另一個定態(tài)，才能吸收或輻射能量。這個理論雖然有許多成功之處，對于進一步解釋實驗現(xiàn)象還有許多困難。

在人們認識到光具有波動和微粒的二象性之后，為了解釋一些經(jīng)典理論無法解釋的現(xiàn)象，法國物理學家德布羅意于1923年提出了物質(zhì)波這一概念。認為一切微觀粒子均伴隨著一個波，這就是所謂的德布羅意波。

德布羅意的物質(zhì)波方程： ， ，其中 ，可以由 得到 。

由于微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子所遵循的運動規(guī)律就不同于宏觀物體的運動規(guī)律，描述微觀粒子運動規(guī)律的量子力學也就不同于描述宏觀物體運動規(guī)律的經(jīng)典力學。當粒子的大小由微觀過渡到宏觀時，它所遵循的規(guī)律也由量子力學過渡到經(jīng)典力學。

波粒二象性 1925年，海森堡基于物理理論只處理可觀察量的認識，拋棄了不可觀察的軌道概念，并從可觀察的輻射頻率及其強度出發(fā)，和玻恩、約爾當一起建立起矩陣力學；1926年，薛定諤基于量子性是微觀體系波動性的反映這一認識，找到了微觀體系的運動方程，從而建立起波動力學，其后不久還證明了波動力學和矩陣力學的數(shù)學等價性；狄拉克和約爾丹各自獨立地發(fā)展了一種普遍的變換理論，給出量子力學簡潔、完善的數(shù)學表達形式。

當微觀粒子處于某一狀態(tài)時，它的力學量（如坐標、動量、角動量、能量等）一般不具有確定的數(shù)值，而具有一系列可能值，每個可能值以一定的幾率出現(xiàn)。當粒子所處的狀態(tài)確定時，力學量具有某一可能值的幾率也就完全確定。這就是1927年，海森伯得出的測不準關(guān)系，同時玻爾提出了并協(xié)原理，對量子力學給出了進一步的闡釋。

量子力學和狹義相對論的結(jié)合產(chǎn)生了相對論量子力學。經(jīng)狄拉克、海森伯（又稱海森堡，下同）和泡利等人的工作發(fā)展了量子電動力學。20世紀30年代以后形成了描述各種粒子場的量子化理論——量子場論，它構(gòu)成了描述基本粒子現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。

海森堡還提出了測不準原理，原理的公式表達如下： 。

量子力學基本的數(shù)學框架建立于：量子態(tài)的描述和統(tǒng)計詮釋、運動方程、觀測物理量之間的對應(yīng)規(guī)則、測量公設(shè)、全同粒子公設(shè)的基礎(chǔ)上。

薛定諤 海森堡 狄拉克

玻爾 在量子力學中，一個物理體系的狀態(tài)由狀態(tài)函數(shù)表示，狀態(tài)函數(shù)的任意線性疊加仍然代表體系的一種可能狀態(tài)。狀態(tài)隨時間的變化遵循一個線性微分方程，該方程預(yù)言體系的行為，物理量由滿足一定條件的、代表某種運算的算符表示；測量處于某一狀態(tài)的物理體系的某一物理量的操作，對應(yīng)于代表該量的算符對其狀態(tài)函數(shù)的作用；測量的可能取值由該算符的本征方程決定，測量的期望值由一個包含該算符的積分方程計算。 （一般而言，量子力學并不對一次觀測確定地預(yù)言一個單獨的結(jié)果。取而代之，它預(yù)言一組可能發(fā)生的不同結(jié)果，并告訴我們每個結(jié)果出現(xiàn)的概率。也就是說，如果我們對大量類似的系統(tǒng)作同樣地測量，每一個系統(tǒng)以同樣的方式起始，我們將會找到測量的結(jié)果為A出現(xiàn)一定的次數(shù)，為B出現(xiàn)另一不同的次數(shù)等等。人們可以預(yù)言結(jié)果為A或B的出現(xiàn)的次數(shù)的近似值，但不能對個別測量的特定結(jié)果做出預(yù)言。）狀態(tài)函數(shù)的模平方代表作為其變量的物理量出現(xiàn)的幾率。根據(jù)這些基本原理并附以其他必要的假設(shè)，量子力學可以解釋原子和亞原子的各種現(xiàn)象。

根據(jù)狄拉克符號表示，狀態(tài)函數(shù)，用<Ψ|和|Ψ>表示，狀態(tài)函數(shù)的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（?/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率為概率密度的空間積分。

狀態(tài)函數(shù)可以表示為展開在正交空間集里的態(tài)矢比如 ，其中|i>為彼此正交的空間基矢， 為狄拉克函數(shù)，滿足正交歸一性質(zhì)。 態(tài)函數(shù)滿足薛定諤波動方程， ,分離變數(shù)后就能得到不顯含時狀態(tài)下的演化方程 ，En是能量本征值，H是哈密頓算子。

于是經(jīng)典物理量的量子化問題就歸結(jié)為薛定諤波動方程的求解問題。