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弗朗西斯·蘇說：錯過數(shù)學(xué)，就意味著未曾經(jīng)歷人類那些美麗的思想。數(shù)學(xué)家哈代在《一個數(shù)學(xué)家的辯白》中提到：當(dāng)埃斯庫羅斯（古希臘詩人）被人們遺忘了,阿基米德仍會被人們記住,因為語言文字會消亡，而數(shù)學(xué)思想卻不會。也有人感慨——數(shù)就是一種思想。那就循著數(shù)的發(fā)展歷程，聊聊先賢們的思考吧！ 我們將用以計量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)稱之為自然數(shù)。至于自然數(shù)何時產(chǎn)生，并不可考，共識是，人類自從從事生產(chǎn)實踐活動后，對自然數(shù)的認(rèn)識便開始了，慢慢的有了數(shù)字符號。四大文明古國不約而同的采用了一橫或一豎表示數(shù)字“1”，從“1”開始了數(shù)字符號的演變，“1”便有了“數(shù)字之母”的稱謂。 從上圖四大文明古國早期數(shù)字上，不難看出，上下左右的排列組合，開始累積起越來越大的數(shù)，慢慢的從“5”或“10”開始，有了不同的變化。符號背后有著不同文明的各自思考，稍稍有所不同的是古巴比倫文明，由于古老的美索不達(dá)米亞平原盛產(chǎn)一種軟泥，削尖的木筆在軟泥上就會印下一個類似倒三角形的印記，稱之為楔形（是下面尖上面粗的一種形狀，像楔子）數(shù)字。然而，作為數(shù)字符號開始的自然數(shù)，盡管在不同文明都最早出現(xiàn)，但不約而同的缺少0，這也導(dǎo)致了后來許多地區(qū)沒有把0歸入自然數(shù)范疇，0是不是自然數(shù)一度爭議不斷。自然數(shù)后，分?jǐn)?shù)開始出現(xiàn)，比較一致的看法是分?jǐn)?shù)源于分配，當(dāng)一個整體要被分割成若干份，分?jǐn)?shù)自然產(chǎn)生。在許多民族的古代文獻(xiàn)中，都有關(guān)于分?jǐn)?shù)的記載和各種不同的分?jǐn)?shù)制度。早在公元前2100多年，古代巴比倫人就使用了分母是60的分?jǐn)?shù)，公元前1850年左右的埃及算學(xué)文獻(xiàn)中，也開始使用分?jǐn)?shù)，古埃及人就曾創(chuàng)造了這樣的符號表示分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)在我國也很早就出現(xiàn)了，春秋時代的《左傳》中記載有諸侯的都城大小，最大不可超過周文王國都的三分之一，中等的不可超過五分之一，小的不可超過九分之一。印度的分?jǐn)?shù)表示法和我國相似，再往后，阿拉伯人發(fā)明了分?jǐn)?shù)線，分?jǐn)?shù)的表示法由此誕生。導(dǎo)致數(shù)學(xué)危機(jī)的無理數(shù)分?jǐn)?shù)之后，緊接著產(chǎn)生的并非負(fù)數(shù)，而是無理數(shù)，這也是導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的“元兇”。危機(jī)源于信仰，在哲學(xué)成為生活方式的古希臘，人們非常熱衷于“世界的本源是什么”這樣的話題。公元前600年前后的泰勒斯提出“世界的本源是水”，他的學(xué)生阿那克西曼德提出“世界的本源是火”，有人則認(rèn)為是一種暗物質(zhì)，直到公元前520年前后，畢達(dá)哥拉斯提出世界的本源是數(shù)，“萬物皆數(shù)”成為了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信仰。但有所局限的是，畢達(dá)哥拉斯把“數(shù)”局限在“能表示為整數(shù)比形式”（即分?jǐn)?shù)形式）的數(shù)，也就是有理數(shù)。而熟知勾股定理的學(xué)派信徒發(fā)現(xiàn)，單位正方形的對角線長，無論如何都無法用“整數(shù)比”表示，信徒希帕索斯透露了這一發(fā)現(xiàn)，動搖了學(xué)派信仰的基石，引起了學(xué)界的恐慌，從而導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。
這種無法用兩個整數(shù)之比表示的數(shù)，被稱為“非可比數(shù)”，即“無理數(shù)”。無理數(shù)出現(xiàn)而導(dǎo)致的數(shù)學(xué)危機(jī)，極大的推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，使得古希臘人堅信，觀察和測量并不一定可靠，只有通過演繹推理證明的結(jié)論才是靠得住的，從而催生了《幾何原本》的誕生，公理化體系由此提出。華夏祖先獨領(lǐng)風(fēng)騷的負(fù)數(shù)約公元前400多年，魏文侯的老師李悝在他編纂的《法經(jīng)》中，提出類似“3-5”這樣的問題，用不足“2”來表示，這是迄今為止發(fā)現(xiàn)的最早關(guān)于負(fù)數(shù)的表達(dá)。后來，成書于公元一世紀(jì)的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》，便有正負(fù)數(shù)加減法則的記載：魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽給《九章算術(shù)》作注時，進(jìn)一步提出了區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法——正算赤，負(fù)算黑，否則以斜正為異。意思是說，用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù)，用黑色的小棍擺出的數(shù)表示負(fù)數(shù)，也可以用斜擺的小棍表示負(fù)數(shù)，用正擺的小棍表示正數(shù)。
華夏祖先用顏色區(qū)分正數(shù)與負(fù)數(shù)，也開始了用正負(fù)數(shù)來表示相反意義的量，例如他們用紅色算籌記賬以表收入多少，黑色算籌表示支出。其它文明對負(fù)數(shù)的認(rèn)識則來得較晚，例如從古巴比倫人解二次方程開始，到丟番圖的《算術(shù)》，負(fù)根一直未曾出現(xiàn)。稍早使用負(fù)數(shù)的便是印度人，數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在628年完成的《婆羅摩修正體系》第18章中，給出了正負(fù)數(shù)的運算法則, 認(rèn)為負(fù)數(shù)就是負(fù)債和損失, 并用小點或小圈標(biāo)在數(shù)字上面表示負(fù)數(shù)。歐洲人一直忌諱負(fù)數(shù)的存在，人們一度陷入了關(guān)于方程負(fù)根意義的討論中，文藝復(fù)興開始后的好長時期，包括韋達(dá)、帕斯卡在內(nèi)的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為負(fù)數(shù)是荒謬的。然而負(fù)數(shù)的不被認(rèn)同并不妨礙虛數(shù)在那個時期被提出，不斷的爭論中，思想的碰撞激起了關(guān)于數(shù)的絢麗火花。作為最重要的數(shù)字之一，0的產(chǎn)生頗具爭議。有記載早在公元前3000多年，古巴比倫人就會用空位表示0，古代中國的籌算系統(tǒng)也采用了空位的方法。也有人提出，古埃及人曾用特別符號表示0，瑪雅數(shù)字中0則以貝殼模樣出現(xiàn)，但當(dāng)瑪雅人以各種形式使用“0”表示“沒有”后，0的使用規(guī)則又成了一道難以逾越的鴻溝。有著確鑿證據(jù)的是，印度人發(fā)明了現(xiàn)今使用的“0”，并且將它使用于十進(jìn)制的進(jìn)位過程中。0的出現(xiàn)時間現(xiàn)已考證為公元300年前后（印度人認(rèn)為早在公元前2000年左右，婆羅門教文獻(xiàn)《吠陀》已有“0”這個符號的應(yīng)用），在印度的一個神廟石壁上也發(fā)現(xiàn)了這一符號。0在古印度出現(xiàn)絕非偶然，這與他們的宗教信仰有關(guān)。在印度宗教中，世間萬物皆生于“無”，“無”是人類追求的最高境界，狂熱的宗教文化“空”奠定了零產(chǎn)生的思想基礎(chǔ)，古印度人能夠自然的接受表示“沒有”的0。當(dāng)阿拉伯人將包括0在內(nèi)的印度數(shù)字傳入西班牙后，由于羅馬教皇認(rèn)為0是一個魔鬼數(shù)字，對使用者施以酷刑，進(jìn)行封殺，因而歐洲人很長一段時間未曾使用0作為數(shù)字符號。有學(xué)者甚至認(rèn)為，正是由于封殺0的緣故，已經(jīng)掌握了阿基米德的逼近法計算圓周率的歐洲人，小數(shù)點無法進(jìn)位，才導(dǎo)致祖沖之的π近似值領(lǐng)先世界上千年。負(fù)數(shù)得以承認(rèn)，也使0的含義不再束縛于“沒有”，成為了介于正數(shù)與負(fù)數(shù)之間的中間數(shù)，一個基準(zhǔn)，甚至被視為一個平衡關(guān)系的支點。至此，現(xiàn)代意義上的實數(shù)在時間序上，經(jīng)歷了自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)、負(fù)數(shù)以及0的出現(xiàn)，終于匯聚一堂。由于實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，而數(shù)軸描述的是一維世界，所以“實數(shù)”也被稱之為“一元數(shù)”。“二元數(shù)”指的便是復(fù)數(shù)，這與虛數(shù)的引入有關(guān)，它源于方程根的求解。對于一元二次方程，當(dāng)判別式△＜0時，認(rèn)定方程無解，一度時間人們認(rèn)為這是無可厚非的。為了解決這樣的疑惑，盡管笛卡爾在1637年就引入了虛數(shù)的說法，但在萊布尼茨看來，這是無法接受的。然而類似情況總是反復(fù)出現(xiàn)，又不得不面對這樣的現(xiàn)實。事實上，接受虛數(shù)的存在只是一個時間問題，當(dāng)歐拉引進(jìn)了符號i表示單位虛數(shù)后，一切便迎刃而解，進(jìn)而復(fù)數(shù)概念于1813年被高斯確立。
人們發(fā)現(xiàn)，用直角坐標(biāo)系的y軸表示虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b均為實數(shù)）就是復(fù)平面上的一個點，用復(fù)數(shù)解決平面幾何問題，勢如破竹，復(fù)數(shù)為二維世界的描述增添了一把利劍。由于復(fù)數(shù)的廣泛應(yīng)用，人們很自然地又想到，能不能仿照復(fù)數(shù)集找到“三元數(shù)”?愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密爾頓經(jīng)過長期的研究發(fā)現(xiàn)不存在三元數(shù)。因為要想在實數(shù)基礎(chǔ)上建立三維復(fù)數(shù)，使它具有實數(shù)和復(fù)數(shù)的各種運算性質(zhì)，這是不可能的。他在1843年發(fā)現(xiàn)一個“新數(shù)”，這種新數(shù)要包含四個分量，并且乘法交換律再也無法得到滿足。于是他開始研究“四維復(fù)數(shù)”，提出了“四元數(shù)”的概念，由實數(shù)加上三個虛數(shù)單位 i、j和k 組成，而且它們有如下的關(guān)系：i2 = j2 = k2 = -1， io = jo = ko = 1 , 每個四元數(shù)都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數(shù)一般可表示為a + bi+ cj + dk（其中a、b、c 、d是實數(shù)）。對于i、j和k本身的幾何意義可以理解為一種旋轉(zhuǎn)。四元數(shù)的出現(xiàn)，成功的開啟了近世代數(shù)的大門，盡管四元數(shù)的用途仍在爭議，但它的運算在電動力學(xué)與廣義相對論中有廣泛的應(yīng)用。四元數(shù)以后還誕生了八元數(shù)、雙四元數(shù)等，它們都是超復(fù)數(shù)。八元數(shù)沒有結(jié)合律，代數(shù)運算律在數(shù)的發(fā)章過程中逐漸丟失。我們生活在三維世界里，自然地，復(fù)數(shù)和四元數(shù)有著眾多的應(yīng)用，而八元數(shù)的維度多，且其乘法不再滿足交換律和結(jié)合律，它的應(yīng)用有待人們進(jìn)一步探索。歷數(shù)數(shù)的發(fā)展歷程，混沌與糾纏中，人們慢慢明晰了方向，期間蘊(yùn)含著對意義、探索、自由、真理的追尋，無處不在的是思想的碰撞，某種意義上，數(shù)就是一種思想，人類智慧的結(jié)晶。
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