除了“靜力法”和“動(dòng)力法”之外，還有其他方法求解軸心壓桿穩(wěn)定問題嗎？在《終極科學(xué)真理存在嗎？》和其他文章中，我們?cè)磸?fù)討論過“最小作用量原理”和“變分法”。對(duì)尼古拉斯.曼頓的如下名言應(yīng)該已有所體會(huì)：“用一個(gè)統(tǒng)一的觀點(diǎn)貫穿整個(gè)物理世界，這就是變分原理，它最重要的范例就是最小作用量原理，幾乎所有成功物理理論都能利用這個(gè)觀點(diǎn)進(jìn)行闡述，它是現(xiàn)代物理學(xué)的核心?！保ㄕ浴逗筚M(fèi)曼物理學(xué)講義》序）

下面我們通過“變分法”來求解軸心壓桿穩(wěn)定問題，為表述方便，以 表示對(duì)的1~4階微分。

式中：——截面曲率、轉(zhuǎn)角和位移；

——彎矩；

——彈性模量；

——截面慣性矩。

桿件勢(shì)能為：

設(shè)變分法中的拉格朗日量為如下形式：

根據(jù)最小作用量原理，對(duì)任意，需滿足，必有：

對(duì)于兩端鉸接桿，幾何條件為，滿足幾何條件的桿件變形可一般性地以三角函數(shù)表達(dá)如下：

式中：——變形三角函數(shù)分量幅值。

數(shù)學(xué)太美了！微積分太偉大了！你體會(huì)到了嗎？

軸心壓桿穩(wěn)定問題求解可采用“靜力法”、“動(dòng)力法”和“變分法”，這幾種方法分別根據(jù)物理原理，列出了常微分方程、偏微分方程和積分方程，最終得出了同樣的物理結(jié)論。

多么了不起的人類智慧啊!

無論采用上述哪種軸心壓桿穩(wěn)定問題的求解方法，都隱含著如下幾個(gè)前提假定：

1）理想均勻直桿假定：構(gòu)件無初始應(yīng)力、初始缺陷、初始偏心或初始變形；

2）理想邊界約束假定：構(gòu)件兩端為理想固接或鉸接；

3）材料彈性假定：彈性模量保持為常量；

4）小變形假定：構(gòu)件橫向變形遠(yuǎn)小于構(gòu)件軸向長(zhǎng)度；

5）平截面假定：構(gòu)件受力變形后截面仍保持為平面；

了解物理問題求解方法中的前提假定非常重要，每個(gè)前提假定都限定了其解的適用范圍。一旦前提假定不再成立，所得結(jié)論將產(chǎn)生較大的誤差甚至錯(cuò)誤，這一點(diǎn)我們從后期文章中可以體會(huì)到。

還有一個(gè)有意思的問題值得說說，我們一般將軸心壓桿穩(wěn)定臨界承載力公式叫做“歐拉穩(wěn)定公式”，這個(gè)公式是歐拉首先推導(dǎo)得到的嗎？

查了一下文獻(xiàn)，除在數(shù)學(xué)方面的突出貢獻(xiàn)外，歐拉確實(shí)對(duì)經(jīng)典力學(xué)的發(fā)展也起到了關(guān)鍵性作用，被視為分析力學(xué)的奠基人之一。歐拉作為約翰.伯努利（(Johann Bernoulli）的學(xué)生和約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的老師，共同開創(chuàng)了變分法這一數(shù)學(xué)和科學(xué)利器。

但似乎沒有直接證據(jù)表明軸心壓桿穩(wěn)定臨界承載力公式是歐拉首次推導(dǎo)得到的，雖然變分法是分析力學(xué)的基本方法，但將軸心壓桿穩(wěn)定臨界承載力公式稱作“歐拉穩(wěn)定公式”總覺得很牽強(qiáng)，而且這種叫法似乎也弱化了歐拉對(duì)于分析力學(xué)的貢獻(xiàn)，因?yàn)榉€(wěn)定問題只是分析力學(xué)很小的一個(gè)部分。通過“變分法”確實(shí)可以得到軸心壓桿穩(wěn)定臨界承載力計(jì)算公式，但若因此以歐拉命名，那很多近代物理定律前面都應(yīng)該加上歐拉的名字，而且是不是還應(yīng)該加上一長(zhǎng)串其他數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字？

相信歐拉一定非常不喜歡后人濫用他的名字，只有將他的名字與那些他做出過直接貢獻(xiàn)的偉大公式聯(lián)系起來（例如將復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)對(duì)應(yīng)起來的“歐拉公式”），才是對(duì)他真正的尊重。

通過對(duì)軸心壓桿穩(wěn)定問題的討論，可能會(huì)感覺鋼結(jié)構(gòu)要比混凝土“優(yōu)美”，了解鋼結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)和進(jìn)行設(shè)計(jì)可能要比混凝土結(jié)構(gòu)更容易，我大學(xué)畢業(yè)時(shí)就是這樣認(rèn)為的。是這樣嗎？我們下期文章接著討論。