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隨著復雜系統(tǒng)領域研究方法的成熟，包括信息熵、混沌邊緣等概念被應用于對音樂的分析和生成中。本文先介紹從復雜系統(tǒng)的視角分析音樂，之后是基于復雜網(wǎng)絡的音樂類型分類，最后展示基于復雜適應系統(tǒng)的音樂生成工具。從這一系列研究，可以看到藝術之美的背后，有著堅實的科學理論做支撐。而跨學科的認知，可以促成對音樂進行更有深度的賞析。 9月30日（周五）晚，集智俱樂部主辦的「復雜科學×藝術系列研討會」第三期，將從數(shù)學和復雜性兩條主線來討論音樂，同時交叉音樂神經(jīng)科學與神經(jīng)美學、符號學、統(tǒng)計物理、聲學等視角。我們特別邀請到了集智科學家、美國西北大學復雜系統(tǒng)研究所（NICO）博士后研究員靳擎，中央音樂學院在讀博士、鋼琴家牟吉喆老師，分別分享「秩序的涌現(xiàn)與東西方音樂的流變」與「音樂的結構與意義：數(shù)學及符號學視角」。 同時，我們又非常重視對當代音樂的創(chuàng)作實踐探索，邀請到了北京師范大學未來設計學院特聘副研究員、作曲和聲音設計師周天歌帶來「音樂創(chuàng)作——在混沌與分形之中」，以及聲音設計師、游戲音樂作曲、音樂科技研究者侯晨鐘老師為我們帶來「摩爾紋、微光、音序器——從游戲聲音設計師的視角解讀Steve Reich的音樂」的分享。 歡迎大家報名為期一年的「復雜科學×藝術系列研討會」，參與科學家和藝術家深度探討，同時本期活動也將公開直播。 研究領域：音樂復雜性，信息熵，混沌邊緣，復雜網(wǎng)絡，復雜適應系統(tǒng) 從三和弦中所構造出來的，不是第四個音符，而是整個星辰。 1. 音樂作為一種涌現(xiàn)現(xiàn)象
何為音樂？從還原論的定義來看，音樂不過是一段時間上連續(xù)的聲音或寂靜組成的序列。然而杰出的音樂作品，卻有著1+1>2的效果，將交響樂拆分成不同樂器的獨奏，就失去其壯麗；將其拆分成一個個樂章，聽眾就無法從中感受到完整的故事。而這背后的科學道理，就是涌現(xiàn)現(xiàn)象，即整體呈現(xiàn)了部分之和所不具有的性質(zhì)。傳統(tǒng)音樂分析中，關注音樂的節(jié)奏，只考察節(jié)奏的快慢，然而一首樂曲中的節(jié)奏并非一成不變的。下文提到的研究通過對節(jié)奏異質(zhì)性（Heterogeneity）、切分節(jié)奏（Syncopation）、模塊結構（structure）的分析，介紹了一種復雜系統(tǒng)視角下對音樂作品的定量研究模式，并使用該方法分析了不同年代的西方古典音樂。論文標題：Rhythm and form in music: a complex systems approach論文地址：https:///abs/2207.03602 小朋友參加樂器演奏考級時，最初彈的曲子沒那么復雜，等到了九級，曲子中節(jié)奏的變化就會增加。如何定量地描述上述區(qū)別，可以使用香農(nóng)提出的信息熵概念。最初的信息熵，是描述一段文本中蘊含了多少不確定性，一段只是由字母A組成的文本，其中蘊含的信息遠比同長度的莎翁詩句要少。將樂譜看成一串符號構成的序列，也可以計算一段樂曲的信息熵，這一數(shù)值描述了曲子節(jié)奏的多樣性程度。樂曲中并非所有的音符都符合節(jié)拍，作曲家通過“由弱到強”的切分音來連接不同的旋律。該研究通過測量非節(jié)拍音符的分布與所有音符可能落在節(jié)拍中的分布之間的距離，來評價一首曲子的切分節(jié)奏（Syncopation）。將節(jié)奏的多樣性和切分節(jié)奏的多少匯總，可計算樂曲的復雜性。具體的計算方法如下圖所示，感興趣的讀者可參考原文。圖1：定量衡量音樂異質(zhì)性和切分節(jié)奏的示意圖樂曲復雜度的全局指標與每段音樂對應指標的平均值并不相同。這進一步為節(jié)奏是一種涌現(xiàn)屬性的觀點提供了支持證據(jù)。想象一個帶有復雜音樂主題的樂譜，這些主題在樂曲中重復了很多次，沒有任何顯著的改變。因此，對樂曲每個主題的分析將揭示出高度的節(jié)奏復雜性。相比之下，樂曲整體的復雜性會很低，因為盡管這些主題本身就很復雜，但從整體來看卻會變得重復和可預測。2. 音符連接網(wǎng)絡，量化分析音樂復雜性
鋼琴演奏時，音符持續(xù)的時間有長有短，在感知層面上，聲音事件的長度在理解聲音結構方面起著決定性的作用，一個持續(xù)時間更長的音符，可以被看成是英語中的重音，標志著一段節(jié)奏的開始或結束。而一段時間內(nèi)的沉默，也會被聽者視為是一個獨立的音符。由此，將曲譜中音符的持續(xù)時間按長短繪制柱狀圖，再將長的音符和之后比它短的音符連接組成圖。上述的音符連接圖拓撲包含了該段的聚類信息，我們可以使用圖的度數(shù)分布來提取這些信息。具體來說，可通過聚類算法，將樂曲分為多個模塊，如圖2所示：圖2：對莫扎特的A大調(diào)第11號鋼琴奏鳴曲的音符進行模塊分析后，繪制的音符連接圖聚類后，聚類算法給出的四個聚類簇與樂曲初始主題的結構準確對應 根據(jù)音符網(wǎng)絡中度數(shù)的分布，可以計算該網(wǎng)絡的同配性（assortativity）與傳遞性（transitivity），具體的定義限于篇幅略去。值得注意的是，某些樂曲中持續(xù)時間短的段落和長時間段落，在度數(shù)分布上符合冪律法則，即樂曲中持續(xù)時間較長的模塊，和較短的模塊在其內(nèi)部音符的持續(xù)時間上，有著相似的規(guī)律。圖3：莫扎特的A大調(diào)第11號鋼琴奏鳴曲的音符可見性圖的度相關性呈現(xiàn) b=0.12 的冪律分布 而通過對不同年代作曲家典型樂曲的定量分析（圖4），可以發(fā)現(xiàn)，從巴赫到德彪西，樂曲的復雜性在上升，而樂曲不同模塊之間的同配性和連接性在下降。盡管該方法只是基于少量樂曲，但上述結論是符合直覺的，我們會覺得巴赫的曲子有規(guī)律可循，之后的作曲家不斷打破規(guī)則，在豐富音樂表現(xiàn)力的同時，使得樂曲變得更加不可預測。圖4 ：巴洛克、古典、浪漫主義和印象派時期代表作曲家的（a）樂曲復雜度折線圖以及（b）音符可見圖的同配性和連接性折線圖 小結該研究，通過提出對古典音樂作品的節(jié)奏復雜性的三個量化指標（分別捕捉節(jié)奏的異質(zhì)性，切分音和對整個作品的模塊間相似性），指出基于復雜系統(tǒng)的視角得到的結論，與傳統(tǒng)的音樂形式分析所得結論呈現(xiàn)出顯著的對應關系。由于新方法找到的模式基于簡單的定量規(guī)則，而不包含先入為主的概念，這支持在音樂中，節(jié)奏應被視為涌現(xiàn)屬性。樂曲復雜性不等于分段樂章復雜性之和，以及音符持續(xù)時間構成的可見圖的度數(shù)分布滿足冪律法則，這兩個發(fā)現(xiàn)都為研究音樂節(jié)奏提供了全新的洞見。基于該研究指出的方法，可以對樂曲進行量化評估，這意味著以后作曲家可以知道不同年齡、不同性別，或者不同教育背景的聽眾，在人群層面上更偏好何種復雜度的樂曲。音樂研究者還可以找出對應不同情緒的樂曲在復雜度上是否存在統(tǒng)計差異。談論完基于復雜網(wǎng)絡特征對音樂進行定量分析，再來看看利用這些特征區(qū)分不同流派的音樂的例子。對于管理音樂推薦系統(tǒng)的媒體行業(yè)和音樂流媒體服務來說，這是一項基礎需求，也是研究熱點。一項基于復雜網(wǎng)絡進行特征提取的分類方法，在GTZAN和FMA數(shù)據(jù)集上，分類準確性都顯著高于之前的（包括基于深度學習）模型，如圖4所示。能夠提取出可用于構建準確分類器的特征，說明算法把握了不同類別音樂之間的本質(zhì)區(qū)別。通過在更大數(shù)據(jù)集、更多類型音樂上的模型構建，該研究從反方向進一步論證了，可將音樂（不僅是古典音樂）視為復雜系統(tǒng)呈現(xiàn)出的涌現(xiàn)特征。論文標題：Complex Network-Based Approach for Feature Extraction and Classifification of Musical Genres論文地址：https:///abs/2110.04654 圖4. 使用復雜網(wǎng)絡提取的樂曲特征，結合隨機森林模型，在8種音樂類型上的分類準確性熱圖接下來介紹自動作曲工具 NetWorks (NW)，其構建基礎來自復雜科學提出的關于創(chuàng)造力的解釋性理論。該工具能夠產(chǎn)生音樂作品，在一定程度上預示了不僅人類對音樂的賞析可以用復雜科學的工具（諸如涌現(xiàn)）加以審視，音樂創(chuàng)作行為也符合復雜系統(tǒng)的規(guī)律。論文標題：A Music-generating System Inspired by the Science of Complex Adaptive Systems論文地址：https:///abs/1610.02475 音樂作為一種藝術，就一定要推陳出新才能永葆生機。故而，可以將音樂的演化看成是復雜適應系統(tǒng)的一種特例。人類的心智活動，尤其是創(chuàng)造力，在這一視角下，被視為對變化環(huán)境的適應過程，以最小化環(huán)境與自身預期之間的信息熵。人的創(chuàng)造力取決于 (1) 使用類似于“心理熵”（psychological entropy）的東西進行自組織，并動態(tài)保持在“混亂邊緣”（edge of chaos）的能力，以及（2）在分析和聯(lián)想處理模式之間轉換的能力，即創(chuàng)造力的磨削理論（honing theory）。論文標題：Honing Theory: A Complex Systems Framework for Creativity論文地址：https:///abs/1610.02484 創(chuàng)造力的磨削理論指出：就像身體受傷時自我修復一樣，大腦始終從不同的角度探索現(xiàn)實與預期之間的差距，例如不完整、不一致或壓抑的情感，直到獲得新的理解。而面對外界的輸入信息，發(fā)揮創(chuàng)意的過程可被視為遞歸地考慮這些信息，使得它們被充分地重組，直到新信息帶來的刺激消散。重構過程涉及到神經(jīng)同步和動態(tài)結合，并且可以通過暫時轉換到一個更加聯(lián)想的思維模式對其加以促進。一部具有創(chuàng)造性的作品同樣可以引起其他作品的重組，從而促進個人的心智向更微妙的世界觀演變。為達成這一目標，需要讓心智中的各個模塊可通過簡單的局部相互作用，在秩序和混沌之間的過渡中找到一個臨界狀態(tài)，這在復雜系統(tǒng)的研究中被稱為“混沌邊緣”，這一現(xiàn)象被稱為自組織臨界（self-organized criticality）。滿足自組織臨界特征的系統(tǒng)，具有包括稀疏連通性、平均路徑長度短、強局部聚類、空間和時間的長程相關性，以及對響應外部輸入進行快速重置等結構特征。有研究表明，大腦以及活細胞都處在混沌邊緣。描述自組織臨界的最經(jīng)典模型是沙堆模型。向沙堆上增加沙子時，大多數(shù)擾動沒有什么影響，但偶爾的擾動（超過臨界值后）有戲劇性的影響。人類的創(chuàng)造性活動亦是如此，大多數(shù)想法對一個人的世界觀影響不大，但偶爾一個想法會觸發(fā)另一個想法，再觸發(fā)另一個想法，造成概念變化的連鎖反應。回到 NetWorks 這個自動作曲工具，該工具可經(jīng)由與藝術家的互動，基于特定規(guī)則產(chǎn)出由系統(tǒng)生成的 MIDI 音樂。該工具包括核心域映射層。核心允許藝術家用戶定義節(jié)點連接，以及由規(guī)則決定節(jié)點何時以及如何響應他們的輸入，其中節(jié)點包含音高、持續(xù)時間、強度及負責保持模塊對應節(jié)點的同步 entry delay 模塊。映射層允許藝術家用戶節(jié)點輸出值映射到 MIDI 數(shù)據(jù)路由到軟件儀器在數(shù)字音頻工作站（DAW）。圖5：NetWorks 架構具有淺層、分形、自相似的結構。該圖為不同類型的節(jié)點及其相互關系的示意圖。無向邊（黑色）表示值可以在兩個方向上交換，即兩個節(jié)點都向它們所連接的節(jié)點發(fā)送值，并從這些節(jié)點接收值。有向邊（紫色）表示 entry delay 模塊的單個節(jié)點與其他模塊的相應節(jié)點之間的關系。entry delay 模塊節(jié)點決定它何時會激活自身，以及在持續(xù)時間、速度和音高模塊中相應的節(jié)點。 在音樂生成過程中，NetWorks 產(chǎn)生音樂的動力學特征處于完全的有序（因此沒有變化的重復）與完全的混亂（因此沒有可預測性的因素）之間。當系統(tǒng)被調(diào)到這兩個極端之間的位置，也就是前文所述的“混沌邊緣”時，輸出樂曲的音樂性最大。在這一位置，在熟悉、重復的模式和新奇感之間會產(chǎn)生一種令人愉快的平衡。通過對比信息熵，可以評價生成樂曲的音樂性。下圖6中，1代表巴赫的合唱曲，2代表爵士樂，3是 NetWorks 產(chǎn)生的樂曲，4是完全隨機的樂符產(chǎn)生的樂曲，5是由近乎均勻的規(guī)則產(chǎn)生的樂曲。可以看到 NetWorks 產(chǎn)生的樂曲根據(jù)信息熵這一指標衡量，和爵士及古典音樂都處在隨機混亂度的中間地帶，即音樂性較高的“混沌邊緣”。在復雜系統(tǒng)的動力學中，常常會出現(xiàn)多個吸引子共同存在的狀態(tài)，可以將其想象成登山時看到的一個個凹陷盆地。音樂生成的語境下，每個吸引子對應一個曲調(diào)的主題旋律。而發(fā)揮創(chuàng)造力的過程，可以看成一個“舊的想法”把系統(tǒng)的動力學推到不同的盆地，使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)改變，從而表現(xiàn)出“自我修復”的行為。對應到音樂的語境，曲調(diào)中主題的改變，會導致樂曲呈現(xiàn)全新的模式。NetWorks 節(jié)點通過集成和簡化來自多個來源的輸入，并返回一個特定的值來對其他集群做出反應。這樣的機制可以使系統(tǒng)兼具自下而上和自上而下的反饋以及在互動之間存在時間延遲，這對于創(chuàng)造開放式進化的系統(tǒng)至關重要。通過模擬人類發(fā)揮創(chuàng)造力的機制，NetWorks 使音樂創(chuàng)造者能夠簡單地調(diào)整網(wǎng)絡中的節(jié)點參數(shù)，就創(chuàng)造出具有音樂性的樂曲。具體來看，從一個聽起來很混亂的任意初始配置“種子事件“，NetWorks 開始演化。樂曲的主題和/或旋律從開始時的重復展開，然后系統(tǒng)走向包含一個或多個吸引子（或盆地）的狀態(tài)，從而產(chǎn)生一個更穩(wěn)定、更有組織的樂曲模式。具有不同交互規(guī)則的節(jié)點容易干擾（干擾可能是由具有不同交互規(guī)則的節(jié)點，或由進入流的延遲值引起）系統(tǒng)的動力學，將其推入另一個盆地（具有新的主題）。這種準周期動力學通過循環(huán)的音樂模式，或一個松散的主題和變化結構，為樂曲提供了一種組織感。而這為當前主題和處于混沌邊緣的舊主題之間產(chǎn)生了一種平衡。欣賞 NetWorks 產(chǎn)生的音樂可以來這里： 總結來看，上述三項研究結合音樂與復雜系統(tǒng)，展示了科學與藝術的交叉可以創(chuàng)造出有趣且有用的全新洞見。使用復雜系統(tǒng)的工具，不僅能夠對音樂的類別進行區(qū)分，還可以量化地評價樂曲，甚至產(chǎn)生符合人類創(chuàng)造力運作方式的樂曲。20世紀下半葉以來，受到復雜性研究啟發(fā)的“思維方式”已迅速傳播到認知活動的多個領域。混沌、自組織、臨界、自創(chuàng)生、涌現(xiàn) ……其概念層次的豐富性為我們提供了研究世界的靈活工具。從這個意義上說，我們有理由將復雜性理論視為一個擴充藝術與科學之間交叉領域的重要課題。藝術對復雜性做出反應的一種基本方式是創(chuàng)造出顯示“涌現(xiàn)行為”的系統(tǒng)。就本體論而言，我們不再將藝術品視為靜態(tài)之物，而是將其看作不斷發(fā)展的創(chuàng)造性過程的一個實例。同時，新興的復雜科學（Complexity Science）也向當代藝術實踐者提供了一個敞開的工具箱，這些工具包括混沌、分形、元胞自動機、遺傳算法、蟻群算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡、L-System、人工生命等，它們進一步推動了數(shù)字美學、生物藝術與人工智能藝術等領域的發(fā)展。復雜科學不僅幫助我們深入了解意識和生命系統(tǒng)的生成機制，而且有利于激發(fā)各學科的研究者和實踐者協(xié)同發(fā)掘后人類創(chuàng)造力和新美學的潛力，以期打開更趨向于綜合性的創(chuàng)意空間。
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