【原】如果老黃告訴你，離散數(shù)列也可以有極限，你敢相信嗎？

老黃的圖書館 2022-08-17 發(fā)布于廣東

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曹操說：“不可能，那絕對不可能”！

離散數(shù)列當(dāng)然沒有極限了。但是和函數(shù)結(jié)合之后，它就有可能有極限了。

沒錯！老黃寫這樣的標(biāo)題，就是個噱頭。不喜請隨便噴！

這道題只涉及到幾個式子，而且都是超級亂的那種，老黃只能盡可能解釋得詳細一些，盡量讓愛學(xué)習(xí)的小伙伴能夠看懂了。

設(shè)a1,a2,…,an為n個正實數(shù)，且f(x)=((a1^x+a2^x+…+an^x)/n)^(1/x). 證明：

(1)lim(x→0)f(x)=(a1?a2?…?an )^(1/n)；(2)lim(x→∞)f(x)=max{a1,a2,…,an}.

分析：題目中涉及到一個離散數(shù)列{an}(當(dāng)然，它也可能不是離散數(shù)列，結(jié)果不影響)。記所有項的x次方的平均數(shù)的x分之一次方為函數(shù)f(x)。第一個極限指的是，當(dāng)x趨于0時，函數(shù)的極限是這個數(shù)列所有項的幾何平均數(shù)。第二個極限指的是，當(dāng)x趨于無窮時，函數(shù)的極限是這個數(shù)列中各項的最大值。這兩個極限有它們共通之處，但它們的求法卻又有不同。

(1)第一個極限，其實是自然常數(shù)e類型的極限，或者說，它是1的無窮次方型的未定式極限。最簡單粗暴的方法，就是把它構(gòu)造成如下的e類型極限的形式。

這是底數(shù)等于“1加上一個以0為極限的式子”，指數(shù)是這個式子的倒數(shù)的形式。這個形式的導(dǎo)數(shù)就等于自然常數(shù)e，而為了構(gòu)造這個形式的極限，一般會產(chǎn)生另外一個伴隨極限，即下面這個極限。

它是一個“0比0型”的未定式極限，可以運用洛必達法則，分子分母同時求導(dǎo)。分母的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)n。雖然n可以無窮大，即這個數(shù)列可以有無窮多項，但對于這個極限來說，它再大，也是一個具體值，而不是作為變量的無窮大。分子的極限是一系列指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和，以及-n的導(dǎo)數(shù)等于0.而指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于它本身與底數(shù)的自然對數(shù)的積。現(xiàn)在這個極限已經(jīng)可求了。把x=0代進去，得到的結(jié)果，分子可以運用對數(shù)和等于積的對數(shù)公式。再把n分之一移到自然對數(shù)內(nèi)，做真數(shù)的指數(shù)。就求得了伴隨極限的值。

將這個結(jié)果代回原極限，就得到原極限等于原數(shù)列各項的幾何平均數(shù)。

(2)繼續(xù)看第二個極限。求x趨于無窮的極限又該怎么求呢？還能用上面的方法嗎？這已經(jīng)不是一個e類型的極限了，所以不能再簡單粗暴地構(gòu)造e極限了。那該怎么辦呢？

這里要采用的是自然對數(shù)法求極限，即取極限的e的ln次方。這些方法老黃在以前的作品中，都有過詳細介紹，關(guān)鍵是把真數(shù)的指數(shù)x分之一前提做自然對數(shù)的系數(shù)。為了下面描述的方便，老黃還把數(shù)列的最大項記為M.

現(xiàn)在就只需要求e的指數(shù)極限，它是一個“無窮大比無窮大型”的未定式極限。同樣運用洛必達法則，分子分母同時求導(dǎo)。分母的導(dǎo)數(shù)等于1，分子一個復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，外函數(shù)自然對數(shù)的函數(shù)等于u分之一，u是中間變量。內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一系列指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和，這在第一小題中已經(jīng)介紹過了。