“π”并不神秘 但卻很復(fù)雜

圓周率是解決“化曲為直”的“精髓”

真正理解圓形與方形、弧線與直線的區(qū)別，就應(yīng)認(rèn)清直線的斜率，弧線的曲率，與圓周率的聯(lián)系與區(qū)別。

一、斜率、曲率、圓周率的關(guān)系

①直線的斜率

斜率用來量度斜坡的斜度。在數(shù)學(xué)上，直線的斜率處處相等，它是直線的傾斜程度的量度。

透過代數(shù)和幾何，可以計算出直線的斜率；直線的斜率的概念等同土木工程和地理中的坡度。傾斜角不是90度的直線才有斜率。

（1）顧名思義，“斜率”就是“傾斜的程度”。過去我們在學(xué)習(xí)解直角三角形時，教科書上就說過：斜坡坡面的豎直高度h與水平寬度l的比值i叫做坡度；如果把坡面與水平面的夾角α叫做坡度，那么；坡度越大<=>α角越大<=>坡面越陡，所以i=tanα可以反映坡面傾斜的程度?，F(xiàn)在我們學(xué)習(xí)的斜率k，等于所對應(yīng)的直線（有無數(shù)條，它們彼此平行）的傾斜角（只有一個）α的正切，可以反映這樣的直線對于x軸傾斜的程度。實際上，“斜率”的概念與工程問題中的“坡度”是一致的。

（2）解析幾何中，要通過點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程來研究直線通過坐標(biāo)計算求得，使方程形式上較為簡單。如果只用傾斜角一個概念，那么它在實際上相當(dāng)于反正切函數(shù)值arctank，難于直接通過坐標(biāo)計算求得，并使方程形式變得復(fù)雜。

（3）坐標(biāo)平面內(nèi)，每一條直線都有唯一的傾斜角，但不是每一條直線都有斜率，傾斜角是90°的直線（即x軸的垂線）沒有斜率。在今后的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常要對直線是否有斜率分情況進(jìn)行討論。

② 曲線的斜率與曲率

曲線的斜率與曲線的曲率，是有區(qū)別的。

曲線的斜率： 曲線的上某點(diǎn)的斜率則反映了此曲線的變量在此點(diǎn)處的變化的快慢程度。運(yùn)用微積分可計算出曲線中的任一點(diǎn)的斜率。

斜率曲線的變化趨勢仍可以用過曲線上一點(diǎn)的切線的斜率即導(dǎo)數(shù)來描述。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。

f'(x)>0時，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增，曲線呈向上的趨勢；f'(x)<0時，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)減，曲線呈向下的趨勢。

在（a,b）f''(x)<0時，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的圖形是凸（從上向下看）的；f''(x)>0時，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的圖形是凹的。

曲線的上某點(diǎn)的斜率則反映了此曲線的變量在此點(diǎn)處的變化的快慢程度。

曲線的曲率：平面曲線的曲率就是針對曲線上某個點(diǎn)的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度。

K=lim|Δα/Δs|，Δs趨向于0的時候，定義k就是曲率。

曲率半徑主要是用來描述曲線上某處 曲線彎曲變化的程度 特殊的如：圓上各個地方的彎曲程度都是一樣的 （常識）而曲率半徑就是它自己的半徑;直線不彎曲 ,所以曲率是0,0沒有倒數(shù),所以直線沒有曲率半徑.曲率半徑：曲率的倒數(shù)就是曲率半徑。

圓形越大,彎曲程度就越小,也就越近似一條直線.所以說,圓越大曲率越小,曲率越小,曲率半徑也就越大.

如果在某條曲線上的某個點(diǎn)可以找到一個相對的圓形跟他有相等的曲率,

那么曲線上這個點(diǎn)的曲率半徑就是該圓形的半徑（注意,是這個點(diǎn)的曲率半徑,其他點(diǎn)有其他的曲率半徑).也可以這樣理解：就是把那一段曲線盡可能的微分，直到最后近似一個圓弧，這個圓弧對應(yīng)的半徑即曲線上這個點(diǎn)的曲率半徑.

③圓周率是圓周角的總斜率和圓周長的總曲率

從曲線的斜率與曲率這個角度看圓周率，圓周率是在圓周線的斜率與曲率雙重變化下，圓周長與曲率半徑之比值。這是圓周線的總平均斜率下，圓周長相對直徑的總曲率。因而在不同的角度的點(diǎn)位的斜率是細(xì)微區(qū)別的；不同弧長對應(yīng)的半徑曲率也是有細(xì)微區(qū)別的。這種細(xì)微的不同，與所含角度與圓周角之比有關(guān)；與所含弧長與圓周長之比有關(guān)。

二、圓周率與角度、半徑的關(guān)系

為什么2πr等于360度（π是圓周率）？

2πr是數(shù)值，而360度是角度，二者單位不一樣，怎么能相等?

數(shù)量的單位是可以互換的；就相當(dāng)于“1米”等于“3尺”、“一小時等于六十分鐘”一樣,只是用“57度”表示一弧度,簡寫為1,而已，而已罷了。這就是“弧度制”的運(yùn)用。
弧度制的定義，等于半徑長的圓弧所對的圓心角，叫做1弧度的角,用符號rad表示,讀作弧度。用弧度作單位來度量角的制度叫做弧度制。
　　以已知角a的頂點(diǎn)為圓心,以任意值R為半徑作圓弧,則a角所對的弧長L與R之比是一個定值﹝與L、R長短無關(guān)，L、R是同比同步變化﹞,我們稱L=R時的正角為1弧度的角。以1弧度角為量角大小的單位,稱此度量制為弧度制,以示與角的另一種度量制(即角度制)區(qū)別。

無論采用角度制或弧度制,都能使角的集合與實數(shù)集合R存在一一對應(yīng)關(guān)系：每一個角都對應(yīng)唯一的一個實數(shù)?；《戎频幕舅枷胧鞘箞A半徑與圓周長有同一度量單位,然后用對應(yīng)的弧長與圓半徑之比來度量角度。

如若先定半徑為1個單位,那么半圓的弧長為π,此時的正弦值為0,就記為sinπ= 0；同理,1/4圓周的弧長為π/2,此時的正弦為1,記為sin(π/2)=1.從而確立了用π、π/2分別表示半圓及1/4圓弧所對的中心角。其它的角也可依此類推。
弧度制的精髓，弧度制的精髓就在于統(tǒng)一了度量弧與半徑的單位,從而大大簡化了有關(guān)公式及運(yùn)算,尤其在高等數(shù)學(xué)中,其優(yōu)點(diǎn)就格外明顯。

一弧度的角(rad)：等于半徑長的圓弧所對的圓心角，叫做1弧度的角。那么，一弧度的角，是多少度？
|a|=l/r
1弧度約等于57.2°
　　大約是57°17′45″
　　但準(zhǔn)確的是等于180°/π， 即 1rad =1800/π； 180°=πrad； π=1800/1 rad = 1800/57017’45”= 3.14159 ；
　　利用弧度制證明扇形面積公式S=1/2LR。其中L是扇形的弧長,R是圓的半徑如果半徑為R的圓的圓心角a所對弧的長l；那么|a|=l/R（a的正負(fù)由旋轉(zhuǎn)方向決定）。
然而，一弧度角所對的圓心角，卻不是一個整數(shù)，是一個無理數(shù)，是難以精準(zhǔn)、精確表達(dá)的數(shù)，是一個無限不循環(huán)的小數(shù)，只能用約等于57.180表示。

為什么半徑的“長短”決定“圓周線”的長短？

圓周長是半徑繞圓心一周而形成的。半徑的長短決定圓周的大小及圓周線的長短。

① 圓面積等于兩個“底邊長為πr，高為r(半徑)”的三角形面積。

因用“半徑”繞圈時，一頭(端點(diǎn))是定點(diǎn)(圓心點(diǎn))，一頭(端點(diǎn))是作移動的，移動角度為三百六十度，而移動的長度為πr；這就相當(dāng)于頂角在圓心點(diǎn)，底邊長為πr，高為r(半徑)，其三角形的面積為πr×r÷2=πr2/2；其兩個這樣的三形面積之和，πr2/2+πr2/2=πr2為圓面積。

② 圓面積等于長度為πr、寬度為r的長方形的面積

若假設(shè)將“半徑”線段豎立，作平直的移動，移動的區(qū)間線段長度為πr，其半徑兩頭(兩端點(diǎn))移動軌跡，成為兩條平行線段，從而形成矩形的面積為πr×r=πr2；這也即為圓面積。圓面積等于長度為πr，寬度為r的矩形(長方形)的面積。

③ 圓面積等于π乘以半徑的平方(r2)；即π乘以邊長為半徑長(r)的正方形。

若用邊長為(r)乘以邊長為(r)，得到正方形(r2)；圓面積相當(dāng)于π個正方形(r2)。

所以說，圓面積的大小，完全取決于“半徑”的長短。因此，半徑的長短，也決定了“圓周長的“長短”。

由此可見，“化圓為方”，或“化圓為三角形”，都是“可行可通”的。其關(guān)鍵在圓周率(π)；在于圓周率數(shù)值的精準(zhǔn)度及精確度。

在“化弧為角”、“化曲為直”、“化圓為化”中，其“三化”的關(guān)鍵在于“化曲為直”。而這“化曲為直”的關(guān)鍵，又在于曲線的“曲率”。

而這相對于“化弧為角”而言，則稱為“內(nèi)拐角率”，即“斜率”；相對于“化圓為方”而言，則稱之為“圓周率”?！叭钡木珳?zhǔn)度，關(guān)鍵在“斜率”、“曲率”、“圓周率”這“三率”的精確度。不同的斜線的“斜率”、與不同曲線的“曲率”是變化不定的；而圓周率，則不因圓周長和半徑的長短如何變化，其圓周長與半徑的比值是恒定不變的。(它是一個固定的常數(shù)，是一個超越的無理數(shù)。Π≈3.1415926……)。所以，推演圓周率的精準(zhǔn)度，常常成為推演“曲率”、“斜率”精確度的典范。

平面曲線的曲率就是針對曲線上某個點(diǎn)的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度。

K=lim|Δα/Δs|，Δs趨向于0的時候，定義k就是曲率。

曲率半徑主要是用來描述曲線上某處 曲線彎曲變化的程度 特殊的如：圓上各個地方的彎曲程度都是一樣的 （常識）而曲率半徑就是它自己的半徑；直線不彎曲 ,所以曲率是0，(0的倒數(shù)為0；(即0沒有倒數(shù))；所以直線沒有曲率半徑。

圓形越大,彎曲程度就越小,也就越近似一條直線.所以說,圓越大曲率越小,曲率越小,曲率半徑也就越大.

如果在某條曲線上的某個點(diǎn)可以找到一個相對的圓形跟它有相等的曲率,那么曲線上這個點(diǎn)的曲率半徑就是該圓形的半徑，（注意,是這個點(diǎn)的曲率半徑,其他點(diǎn)有其他的曲率半徑)。也可以這樣理解：就是把那一段曲線盡可能的微分，直到最后近似一個圓弧，這個圓弧對應(yīng)的半徑即曲線上這個點(diǎn)的曲率半徑。

但因“化弧為角”所借用的弧長可以長短不定，角度的大小也難一定不變；又因“化曲為直”所借用的“扇形半徑”的長度可無限延長，而弦長也難確定一成不變；可在“化圓為方”中，圓周角始終為360度，半徑始終為直徑的二之一；圓周長與直徑之長都隨半徑之長的變化而變化，而且是同步同比地變化。因而，圓周長與直徑之比值是一個確定值，是一成不變的。半圓周長與半徑之比值，也是同一個確定值；也是一成不變的。這就好比是：圓周長與直徑作同比例縮小或放大，其比值不變。這就是“圓周率”是一個確定值。只要半徑一經(jīng)確定，那么，半圓周長與半徑關(guān)系就已確定，二者的比值也就確定，就是“一成不變”的。它就是圓周率(π)。

C=2πr；π=c/2r；r=c/2π。π=3600/2r；r=360/2π。π=1800/r；r=180/π。(c為3600的周角，或為360倍的每度角的弧長)。所以π=180/r或180/π=r 。

因為每度圓心角是圓周角的1/360；每度角是所對的弧長，是圓周長的1/360；所以，每度角與每度角對弧長，與所對圓周(長或角)是可換算的。從“比值”的視野來看，它們都等于圓周(長或角)的三百六十分之一；其比值是相等的。

為何圓面積等于圓周率乘以半徑的平方？

圓面積等于πr2 ；圓周長等于2πr；圓面積等于圓周長的二分之一乘以半徑，即2πr/2×r=πr2 ；而π等于圓面積除以r2，即πr2 /r2；也等于圓周長除以2r，即2πr/2r。

若“化圓為方”；則：圓面積相當(dāng)于2πr×r/2=πr2；等式兩邊同除r，得πr；即圓面積等于πr×r的矩形面積。即πr為矩形的長邊，r為寬的乘積。π為長與寬的比值。圓面積相當(dāng)于矩形(πr×r)的面積。

或者，圓面積相當(dāng)于兩個直角三角形的面積。即πr為底邊，r為直角三角形底邊上的高，即(0+πr)/2×r×2=πr×r=πr2；相當(dāng)于π個邊長為r的正方形 。

知道圓面積的計算，也就可計算有關(guān)的扇形、圓錐體表面積、圓柱體、球體積，等等。

如何將圓周率精密化？

我們分析認(rèn)為：

一是因圓周角分為三百六十度，求每度角的弧長與弦長之比，再將這比值乘360。

二是設(shè)定弧心柱與弦心柱的比值為九十比八十九(89/90)，即內(nèi)接的一度角的等腰三角形的“高”(直角邊)與斜邊長”僅相差九十分之一(1/90)，其兩銳角為“一度與八十九度”之比，即為1/90與89/90之比；求另一直角邊的長度與半徑的比值？

三是以半徑為邊，圍成等邊三角形、等角等邊四方形、六方形、十二方形…正三十六邊形、正三百六十條邊形，讓每條對應(yīng)一度角、一度角的弧，而折拐角則為359度(外角)。計算每度角的弧長與弦之比，再相加為圓周長與三百六十條邊形的周長(2r)之比。即為圓周率。

圓周率就是圓的周長和同一圓的直徑的比，這個比值是一個常數(shù)，現(xiàn)在通用希臘字母"π"來表示。

圓周率是一個永遠(yuǎn)除不盡的無窮小數(shù)，它不能用分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)完全準(zhǔn)確地表示出來。由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的進(jìn)步，已計算出了小數(shù)點(diǎn)后兩千多位數(shù)字的圓周率。

下面，我們將半徑、弧長、弦長的精確度都統(tǒng)一到周角與一角度之比的精確度上來(即為1/360)。

①、每角度的弧長與弦長：每1度角所對應(yīng)的弧長，為圓周長的1/360； 所對應(yīng)的弦長的1/2，為半徑長度的1/90；弦心柱長h為半徑的89/90；圓周長等于2πr ；每1角度的弧長(1/360)2πr ；而每角度的弦長等于2n，

②、2n=(90/90)2-(89/90)2=(1/90)2；等式兩邊，同乘902，去分母，得2n=902-892=12；(90+89)(90-89)-4=175；n=√175 / 2。

而180/179=1.005585；如弧長m =1.005585n，弦長n=0.994444m； 如n=r，則600角所對弦長n=r；那么，600角所對弧長m=1.005585r。600角所對弦長n=0.994444m；那么，0.994444m=r；當(dāng)m=r時，弧所對的角度為600/(1.005585)=57.180；弦所對的弧長m為r/(0.994444)=1.005585n(r)。

③、弧心柱與弦心柱的比值：若將一個圓面，均分為三百六十個腰長為半徑，頂角為一度角的扇形；那扇形面的弧長平方與弦長平方之比，為弧心柱(半徑)的平方與弦心柱的平方之比。

那么，扇形面的弧長平方與弦長平方之比：

m2 ：n2 = r2：h2=(m×r)：(n×h)

④、將一條直線，折曲為等邊三角形，折角為600，其周長為邊長的三倍，周長比邊長，長2個邊長；如折曲成正方形，折角為900，周長為邊長的四倍，周長比邊長，長3個邊長；若圍成正五邊形，折角為360 ，周長為邊長的五倍，周長比邊長，長4個邊長；……若為正三十六邊形；……若為正三百六十正邊形，則周長為的每邊長的360倍，周長比邊長，長359個邊長。

⑤、若將圓形看作近似于一條直線，以每線段長為一個單位長度，以每次沿同一個方向折角一度，折曲成一個三百六十條邊的正多邊形。這個多邊形的內(nèi)切圓與外接圓的面積之和，其均值應(yīng)等于這個多邊形的面積。而360條邊的多邊形的面積，應(yīng)等邊長(1)乘以高，再乘360的積。那么，它的高是多少？這時，角的對邊為高，底邊為鄰邊二倍，高(對邊)與鄰邊(底邊的一半)之比是正切(tg 10)、高與斜邊之比為正弦(sin 10)、邊長(底邊的一半)與斜邊為余切(cos 10)、斜邊與邊長(底邊的一半)之比為正割(sec 10)……。其邊之比與角度成為函數(shù)關(guān)系。

⑥、當(dāng)邊數(shù)為360；圓周率為：Sin［360/(2*360)］*360 =Sin［360/(720)］*360 = Sin(1/2)*360= Sin(1/180)=3.1415…它的圓周率為3.141592626…與3.14159268…之間，其精度為：0.0000002……以內(nèi)；

從以上四點(diǎn)綜合分析：圓周長與直徑的關(guān)系，等同半圓周長與半徑的關(guān)系；由類推遞減可知，四分之一圓周長(即直角所對弧長)，與二分之一半徑之比，等于六分之一圓周長，與三分之一半徑之比；即六十度的圓周長，與三分之一半徑之比；……。

三角形兩邊之和，大于第三邊；兩邊之差，小于第三邊。但三角形兩角之和，可以小于第三角(純角)；也可以大于第三角(銳角)；也可以等于第三角(直角)。因此，直角三角形，兩銳角之和，等于直角；但兩直角邊之和，大于斜邊；而斜邊與一直角邊之差，小于另一直角邊；任一條直角邊都小于斜邊。所以，用等腰三角形的底邊，取代扇形的弦長，可以；但無法用扇形的邊長，取代半弦長與弦心柱長之和。(因后者是直角三角形兩直角邊之和，與斜邊的關(guān)系。)

因為圓的周長可以看作近似圓內(nèi)接正n邊形的周長(n條邊長的總和。因為圓內(nèi)接正n邊形的腰線邊(圓半徑)和邊距線(弦)與弦心柱(高)，把正n邊形分成2n個全等的直角三角形。

設(shè)半徑R為1,邊長A,邊數(shù)n；則A/2=sin(360/2n)，圓周率為An/2=sin(360/2n)n；測試一下，圓內(nèi)接正十萬邊形：

Sin［360/(2*100000)］*100000=0.0000314159*100000≈3.14159；

盡管圓內(nèi)接正十萬邊形的邊長之和，已非常接近圓周長；但因任一條直角邊都小于斜邊，因此圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)再怎么多，其多邊形的周長，仍小于圓的周長。因為，兩點(diǎn)間的直線距離最短，所以(同半徑、同角度的情況下)，弧線長總是大于弦線長。而它的圓周率的值，仍小于“高精度”的(π)值。而圓外切多邊形的邊數(shù)再怎么多，其多邊形的周長，仍大于圓的周長。而它的圓周率的值，仍會大于高精度的(π)值。

圓周率一方面是曲折率(角度變化)的函數(shù)；同時又是半徑長度變化率的函數(shù)。這是一個雙變化率的函數(shù)。在角度為n度時，曲折率為3600/n0=(3600-n)/360×% (‰……)；在半徑由r變?yōu)镽時，半徑的變化率為r/R=(R-r)/r×% (‰……)。曲折率(角度變化)的函數(shù)與半徑長度變化率的函數(shù)，二者的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，才為圓周率是一個永遠(yuǎn)除不盡的無窮小數(shù)，它不能用分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)完全準(zhǔn)確地表示出來。由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的進(jìn)步，已計算出了小數(shù)點(diǎn)后兩千多位數(shù)字的圓周率。

如果半徑變化為0，其變化率為r/r=1；那么圓周率就簡化為角一百八十度角的曲折率即為1800/r(1 rad)*600，即為180/60=3；

如若角度變化為0，n/n=1，圓周率就簡化為：R2/r2=√360/6=(√36*/6)√10=√10= ≈ 3.163；因此，(π)值，它隨角度的取值與半徑的取值的變化而變化。但它的精準(zhǔn)值，總會在“3”與3.163之間變化。

如若以圓的內(nèi)接和外切正多邊形的邊數(shù)n取值，越來越大時，這一大一小兩個值的均值，則可得到更精度范圍的圓周率。但不可能得到“絕對精確的圓周率”(π)值。例如：

當(dāng)“邊數(shù)”為6 ；圓周率為：3.00000000000000000與3.46410161513775483之間,精度為：0.46410161513775483 ；

當(dāng)邊數(shù)為12 ；圓周率為：3.10582854123024887與3.21539030917347324之間， 精度為：0.10956176794322436 ；

當(dāng)邊數(shù)為24； 圓周率為：3.13262861328123776與3.15965994209750045之間， 精度0.02703132881626269 ……；

當(dāng)邊數(shù)為360；圓周率為：Sin［360/(2*360)］*360 =Sin［360/(720)］*360 = Sin(1/2)*360= Sin(1/180)=3.1415…它的圓周率為3.141592626…與3.14159268…之間，其精度為：0.0000002……以內(nèi)；

當(dāng)邊數(shù)為50331648； 圓周率為：3.14159265358979223與3.14159265358979534之間 ，精度為：0.00000000000000311。

而當(dāng)n=r時，角度為1800/3=600；圓周率的值(π)=3。當(dāng)n=2r時，角度為1800/1=1800；圓周率的值(π)=√10≈3.16227。 當(dāng)n=√2 × r時，角度為1800/2=900；圓周率的值(π)=√2+√3=3.14626?！?/p>

圓周率的高精度為(π=3.14159265358979323846264…)。

有了這個精確度，已經(jīng)完全可達(dá)到“現(xiàn)代物理學(xué)、工程學(xué)等的精密度的要求。

發(fā)布于 2021-05-29 11:44

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