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在實數域中，我們曾經講到序列與級數這兩個概念。在復數域中也有這些概念。讓我們對這兩個概念以及相關的問題做一個簡要的回顧。 按照一定順序排列的一組復數組成一個復數序列，用以下方式標記： 從復數序列的構成中可以看出，一個復數序列實際上是兩個實數序列的有序組合，因此，實數序列的許多概念可以直接推廣到復數序列。這些概念包括：聚點或極限點；有界序列和無界序列；序列的極限和收斂等。如果將這個復數序列的各項加起來，就可以得到一個復數無窮級數：
用這個部分和構造一個序列 {S}，如果這個序列收斂，就說級數是收斂的，用以下方式標記：
由此可以看到，一個復數級數是兩個實數級數的有序組合。由于這個原因，關于實數級數的收斂性的判別準則完全可以直接推廣到復數級數中。
有時候需要將兩個或多個無窮級數乘起來，構造一個新的無窮級數：
在上述等式中，左邊是兩個級數相乘，右邊則是相乘的兩個級數按二項式展開之后的求和表達式，這個展開結果的細致表達式如下所示：
由于加法滿足交換律，因此，可以把這個表達式的各項重新排序，把兩個級數的求和指標之和相同的項歸為一類加起來作為一項，這就給出了上面的展開式中每一個用黃色虛線標示出來的求和項。受這個重新排序的表達式的啟發(fā)，引入一個新的求和指標 是方便的。顯然，這個新的求和指標從 0 到無窮取值。引入新的求和指標后，在每一個黃色虛線求和項中，保留其中一個求和指標，比如說，保留 k 這個指標。不難發(fā)現(xiàn)，在這個求和項中，被保留的求和指標將從 0 到 n 取值。于是，我們得到了一個求和項的求和表達式：在這個求和項的表達式的基礎上，再對 n 從 0 到無窮求和，就得到兩個級數相乘后新的級數的表達式：
兩個級數相乘的這樣一種處理技術在今后處理許多問題時要經常用到。如果復數級數的每一個通項都是定義在區(qū)域 G 內的復變函數
關于函數級數，在實變級數理論中有幾個重要的結論，可以將它們直接推廣到復變級數中：①一個函數級數如果在 G 內的每一點都收斂，則它在 G 內收斂，是 G 內的單值函數；②如果級數的每一個通項都在區(qū)域 G 內一條分段光滑的曲線上連續(xù)，則級數可以逐項求積分；③如果級數的每一項都在區(qū)域 G 內單值解析，則和函數是 G 內的解析函數，它的各階導數可以通過對級數逐項求導得到。以上幾個結論都是從實變級數中直接借用過來的，在今后處理各種數學問題時經常要用到。如果一個級數的通項是冪函數，就把這個級數稱為冪級數：
由于在今后處理許多數學物理問題的過程中，經常需要用到冪級數，因此，在這里特別回顧如何處理冪級數收斂性的問題。這些處理方法可以通過將實變級數的處理方法直接推廣到復數域而得到。第一個判斷級數收斂性的準則是達朗貝爾判別法。根據達朗貝爾判別法，如果以下的極限存在
那么，當這個極限值小于 1 時，級數是絕對收斂的，而當極限值大于 1 時，級數則是發(fā)散的。把這個判別準則用到冪級數就得到如下極限值：其中 R 就是確定級數收斂或發(fā)散的分水嶺，稱之為級數的收斂半徑。如果求收斂半徑的達朗貝爾公式所要求的極限不存在，就必須改用柯西公式來研究級數的收斂性。根據柯西判別法，級數絕對收斂的條件是
這時候，級數絕對收斂，否則，級數發(fā)散。把這個準則用到冪級數中，上述極限值的表達式變成 | 以 a 點為圓心，R 為半徑作一個圓周，這個圓周所圍的區(qū)域就是所研究的級數的收斂圓，當 z 落在這個收斂圓的圓周內時，級數絕對收斂，當 z 落在收斂圓的圓周外時，級數發(fā)散。 |
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