對解析函數(shù)所滿足的柯西—黎曼方程做進(jìn)一步的討論。這兩個(gè)方程的兩邊各自對兩個(gè)自變量分別再求一次偏導(dǎo)數(shù)，就可以得到以下四個(gè)等式：把第一個(gè)等式和第四個(gè)等式聯(lián)合起來，第二個(gè)等式和第三個(gè)等式也聯(lián)合起來，消掉四個(gè)等式中的四個(gè)交叉導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，就可以得到以下兩個(gè)方程：這兩個(gè)方程顯示，解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。在上一節(jié)的例子中， 就是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)這個(gè)要求可以用來判斷一個(gè)實(shí)變函數(shù)是否有資格做解析函數(shù)的實(shí)部或虛部。比如說，x2+y2這個(gè)函數(shù)就不是一個(gè)調(diào)和函數(shù)，用它做實(shí)部或虛部的復(fù)變函數(shù)不可能是解析函數(shù)。需要注意的是，即使一個(gè)復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，它也不一定是解析函數(shù)。比如說 x2-y2+ixy 這個(gè)函數(shù)就不是解析函數(shù)，雖然它的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，但是，它們不滿足柯西—黎曼方程。因此，調(diào)和函數(shù)只是一個(gè)必要條件，而非充分條件。柯西—黎曼方程才是充分必要條件。將實(shí)變函數(shù)中的初等函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)域，就得到初等復(fù)變函數(shù)，可以驗(yàn)證，初等復(fù)變函數(shù)都是解析函數(shù)。初等復(fù)變函數(shù)的定義、性質(zhì)、運(yùn)算法則和求導(dǎo)公式與實(shí)變函數(shù)的情況類似。在物理學(xué)的研究中，在工程技術(shù)的應(yīng)用計(jì)算中，經(jīng)常用到的初等復(fù)變函數(shù)有冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)，這些函數(shù)的形式與實(shí)變函數(shù)中對應(yīng)的函數(shù)在形式上一模一樣。以上給出的初等復(fù)變函數(shù)是最基本的解析函數(shù)，更復(fù)雜的解析函數(shù)可以用它們來構(gòu)造。初等復(fù)變函數(shù)都是單值函數(shù)。然而，它們的反函數(shù)卻是多值函數(shù)。最常遇到的一個(gè)反函數(shù)是根式函數(shù)。設(shè)想有兩個(gè)復(fù)數(shù) w 和 z ，如果這兩個(gè)復(fù)數(shù)之間存在以下對應(yīng)關(guān)系：我們就說 w 是 z 的根式函數(shù)，函數(shù)式的標(biāo)記方式為：用指數(shù)表示法來表示 w 和 z 這兩個(gè)復(fù)數(shù)：把 w 和 z 的表達(dá)式代入根式函數(shù)的定義式中：兩個(gè)復(fù)數(shù)要相等，除了“實(shí)部和虛部分別相等”這個(gè)判斷準(zhǔn)則外，還有一個(gè)判斷準(zhǔn)則：這兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角要分別相等。利用這個(gè)判斷準(zhǔn)則得到： 由于輻角具有多值性，對同一個(gè) z 值，與 z-a 對應(yīng)的輻角有無窮多個(gè)：其中 θ? 是 z-a 的輻角的主值。輻角的這種多值性對自變量本身的取值并沒有影響，但是，對根式函數(shù)的取值卻會產(chǎn)生影響，這種影響表現(xiàn)在根式函數(shù)的輻角上：把整數(shù) n 的值代入根式函數(shù)的表達(dá)式中進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng) n 取遍所有可能的數(shù)值時(shí)，我們得到兩個(gè)函數(shù)值。比如說，如果取 n=0 ，我們得到第一個(gè)函數(shù)值：
如果取 n=1 ，就得到第二個(gè)函數(shù)值：如果取 n 等于別的整數(shù)，就會重復(fù)地得到這兩個(gè)函數(shù)值。因此，根式函數(shù)有兩個(gè)函數(shù)值，函數(shù)的多值性來源于輻角的多值性。在實(shí)際的應(yīng)用中，通常將 z-a 的輻角限制在一個(gè)周期內(nèi)，得到一個(gè)單值分枝，稱 a 為根式函數(shù)的枝點(diǎn)。在一個(gè)單值分枝內(nèi)，一個(gè)自變量對應(yīng)一個(gè)函數(shù)值。我們來看一個(gè)求根式函數(shù)的數(shù)值的簡單的例子。規(guī)定 ，求根式函數(shù)當(dāng) z=2, i, -i 時(shí)的值。要求這個(gè)根式函數(shù)的值，首先要把 z-1 這個(gè)復(fù)數(shù)用指數(shù)方式表示出來，用圖示方法來做這件事情最簡單。在下面給出的三個(gè)圖中，黃色箭頭線所標(biāo)記的矢量分別對應(yīng)著 z=2, i, -i 時(shí)的復(fù)數(shù) z-1 。用幾何的方式把 z-1表示出來后，它的模和輻角就一清二楚了。由于我們已經(jīng)把 z-1 的輻角限制在一個(gè)周期內(nèi)，所以， z-1 的三個(gè)輻角 θ=0, 3π/4, 5π/4 ，這樣，對應(yīng)于自變量的每一個(gè)值，w 的輻角就是確定的：φ=θ/2 。于是，對應(yīng)的三個(gè)函數(shù)值就可以求出來了。在上面的問題中，如果規(guī)定，那么，三個(gè) z 值對應(yīng)的 z-1 的輻角就分別等于 2π, 11π/4, 13π/4 ，相應(yīng)地，根式函數(shù)的值也會發(fā)生變化。除了根式函數(shù)，比較常用的反函數(shù)還有對數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的定義是這樣的：設(shè)想有兩個(gè)復(fù)數(shù) w 和 z ，如果這兩個(gè)復(fù)數(shù)之間存在以下對應(yīng)關(guān)系：我們就說 w 是 z 的對數(shù)函數(shù)：在對數(shù)函數(shù)中，如果自變量 z 仍然用指數(shù)方式表示，那么，根據(jù) w 與它的關(guān)系可知， w 一定是兩項(xiàng)之和。受到這個(gè)關(guān)系的啟發(fā)，把 w 按實(shí)部和虛部分解對數(shù)學(xué)運(yùn)算更方便：把 w 和 z 的表達(dá)式代入對數(shù)函數(shù)的定義式中：由于 u 和 v 都是實(shí)數(shù)，利用上面的式子馬上就可以得到以下等式：其中 w 的虛部 v 實(shí)際上就等于 z 的輻角。于是，對數(shù)函數(shù)的結(jié)果就確定了：從這個(gè)結(jié)果中可以看到，由于對自變量 z 的一個(gè)確定的值，輻角可以相差 2π 的任意一個(gè)整數(shù)倍，所以，相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的虛部可以取無窮多個(gè)值。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對數(shù)函數(shù)也是多值函數(shù)，它的多值性還是來源于輻角的多值性。對應(yīng)于自變量的每個(gè)值，有無窮多個(gè)函數(shù)值。在初等函數(shù)的反函數(shù)中，還有反三角函數(shù)，它們是這樣定義的：它們都是對數(shù)函數(shù)和根式函數(shù)的變形或組合，因此，也是多值函數(shù)。不過，這些函數(shù)在課程中都不常用到。
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