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我們知道，矢量函數(shù)沿著閉合路徑的積分反映了矢量場的場線的基本特征：如果場線是非閉合的曲線，對應(yīng)的矢量函數(shù)沿閉合路徑的積分就恒等于零；如果場線是閉合曲線，對應(yīng)的矢量函數(shù)沿閉合路徑的積分則有可能不等于零。然而，矢量函數(shù)沿閉合路徑的積分的這些性質(zhì)只是場線的基本特征在一條閉合路徑上的積累效應(yīng)。更多的時候，我們希望知道這種特征在空間中的任意一點上是如何表現(xiàn)出來的。 
設(shè)想在空間中取一條閉合路徑，我們在這條路徑上對所研究的矢量場A做積分。為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)簡便起見，不失一般性地假設(shè)，這條閉合路徑由一個棱邊平行于坐標(biāo)軸的矩形的四條邊圍成。比如說圖中的abcOa這條閉合路徑，矢量場在這條閉合路徑上的積分可以被分解成在四條直線段上的積分之和：按照我們對積分路徑方向的選擇，等式右邊的四個積分中的線元可以分別寫成 。于是，閉合路徑上的積分 最后一個等號之所以成立，是因為，對我們選擇的路徑，由它圍成的平面的面元矢量 。
在上面的推導(dǎo)中，我們利用梯度算符給矢量函數(shù)定義了一種新的運算。這種新的運算從形式上看與兩個矢量做矢量積運算相似：
稱之為矢量函數(shù)的旋度運算，簡稱矢量的旋度。在上面的公式中，為了書寫簡便，我們引入了一個偏導(dǎo)數(shù)的簡寫符號：在偏微分符號的右下角寫上一個下標(biāo)，代表對該下標(biāo)做一階偏導(dǎo)數(shù)。
我們還可以選擇圖中畫出來的另外兩條閉合路徑aOefa和cdeOc對矢量函數(shù)做環(huán)路積分。通過與上述相似的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，我們發(fā)現(xiàn)，一個矢量函數(shù)在這兩條閉合路徑上的環(huán)路積分最終都能夠轉(zhuǎn)化成這個矢量函數(shù)的旋度在對應(yīng)環(huán)路所圍的平面上的通量積分。對于一個空間指向為任意的矩形，只要通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)平移與轉(zhuǎn)動，就能夠使這個矩形的四條邊與新的坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸平行。因此，不難把上面得到的結(jié)果推廣到空間指向為任意的矩形閉合路徑上去。如果閉合路徑是一條空間曲線，并且以它為邊界的曲面是一個任意的曲面，我們可以把這個曲面看做由無數(shù)個各種空間指向的無窮小的矩形平面拼接而成。在每一個無窮小的矩形面的邊上對矢量函數(shù)做環(huán)路積分，再把這無數(shù)個無窮小的環(huán)路積分加起來。每一個無窮小的環(huán)路積分都等于矢量函數(shù)的旋度對這個無窮小的環(huán)路所圍的矩形平面的通量積分，對所有無窮小矩形平面的通量積分加起來就等于對整個曲面的通量積分。另一方面，對于相鄰的兩個矩形平面，它們緊挨著的兩條邊的路徑走向相反，積分結(jié)果相互抵消。比如說，在上面畫出來的圖形中，沿矩形abcOa的其中一條邊Oa的積分就與沿矩形aOefa的其中一條邊aO的積分相互抵消。因此，所有無窮小閉合路徑上的積分加起來，最終的結(jié)果就只剩下沿著閉合空間曲線的那些線段上的積分不為零，它們加起來的結(jié)果正好等于對閉合空間曲線的積分。于是，矢量函數(shù)對任意閉合空間曲線的積分等于這個矢量函數(shù)的旋度對以這條閉合曲線為邊界的任意曲面的通量積分：
從斯托克斯定理立刻可以看出，如果矢量函數(shù)的旋度在某一點處不等于零，那么，這個旋度在該點的一個無窮小鄰域內(nèi)的通量積分就有可能不等于零，除非所選擇的面元是剛好垂直于旋度的平面。這意味著矢量函數(shù)繞著圍繞該點的一條無窮小的閉合路徑積分的結(jié)果也有可能不等于零。根據(jù)上一節(jié)的討論，從物理上看，這表明在該點處有產(chǎn)生這個矢量場的源；從數(shù)學(xué)上看，在該點的一個無窮小鄰域內(nèi)，場線是圍繞著這個點的閉合曲線。如果矢量函數(shù)的旋度在某一點處等于零，那么，在該點的一個無窮小鄰域內(nèi)，矢量函數(shù)繞著一條無窮小的閉合路徑積分的結(jié)果也等于零。這表明在該點的一個無窮小鄰域內(nèi)，場線是非閉合曲線。
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