引言

2021 年中國數(shù)學奧林匹克競賽已經結束，本文分享第六題的詳細解答，適合高中學歷的讀者。

問題

對整數(shù)，設為多項式的展開式系數(shù)中，3 的倍數(shù)的個數(shù)。例如：

則. 對任意正整數(shù)，設為

中的最小值。

（1）求證：存在無窮多個正整數(shù)，使得

（2）求證：對任意正整數(shù)，

分析

本題使用到一個結論

那么利用這一結論，第一問將任意正整數(shù)拆分成形如的數(shù)之和，并試圖構造出使得 3 的倍數(shù)的個數(shù)最多的情形，不難分析出是符合條件的，證明之即可。第二問，常規(guī)使用數(shù)學歸納法，利用好遞推關系，并找到序數(shù)大的項與序數(shù)小的項之間的關聯(lián)，本題迎刃而解。下面給出本題的詳細解答。

解答

（1）我們證明,均滿足要求。

我們令，那么我們將寫作

注意到

那么

注意到展開式的系數(shù)中非 3 的倍數(shù)的個數(shù)不超過上式的展開式的項數(shù)，而上式的展開式的項數(shù)，于是

所以

（2）由（1），只需證存在使在的意義下至少有項系數(shù)非 0，我們記，設滿足的構成集合.

對歸納證明：，從而.

直接驗證即可，假設時，結論已成立，

當時，假設，記，

注意到

故

從而;

當時，對，記，

注意到

而，，故

從而;

當時，假設，記，

注意到

故

從而;

那么

再由可知

故，歸納即證.

點評

此題是本次競賽的壓軸題，難度較大，計算量較多，第一問需要一些猜測和運氣，第二問需要很多的耐心去嘗試和觀察。