在中考數學壓軸題中，關于拋物線上的直角三角形、等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形以及相似三角形和全等三角形的存在性，這類問題是被問得最多的。比如2022年山東濱州中考數學的這道壓軸題，就是關于拋物線上直角三角形的存在性問題。

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x^2-2x-3與x軸相交于點A,B(點A在點B的左側)，與y軸相交于點C，連接AC，BC.

(1)求線段AC的長；

(2)若點P為該拋物線對稱軸上的一個動點，當PA＝PC時，求點P的坐標；

(3)若點M為該拋物線上的一個動點，當△BCM為直角三角形時，求點M的坐標.

分析：(1)第一小題非常簡單直接，解拋物線對應的方程，得到A點的坐標，而C點的坐標可以直接得到，就可以運用兩點的距離公式求AC的長。

(2)當PA=PC時，點P在AC的垂直平分線上，因此需要求AC的中點坐標，以及AC的斜率，從而得到它的垂直平分線的斜率，這兩個斜率的積等于-1，這是互相垂直的兩條直線斜率的關系。然后用點斜式寫出AC垂直平分線的解析式。也可以用待定系數法求直線的方程。

最后求拋物線對稱軸和這條直線的交點坐標，就是點P的坐標了。

(3)這種問題，能用幾何方法，就盡量不用代數方法。不過這次幾何方法似乎有點行不通。

直角三角形至少有三種情形，就是分別以B，C，M為直角頂點的情形。

其中，當C是直角頂點時，就求過C點與BC垂直的直線的方程，然后求這條直線與拋物線的交點坐標，就是M點的坐標了。

同樣的道理，當B是直角頂點時，就求過B點與BC垂直的直線方程，然后求其與拋物線的交點坐標，就是M點的第二個坐標。

上面兩種情形都是比較好求的，當M是直角頂點時，就沒有那么好求了。這時利用勾股定理，會得到一個關于M點的橫坐標的一元三次方程。幸好這個方程不難因式分解，從而解得三個根，其中只有兩個根合理，就得到了M點的兩個坐標。所以符合條件的M點一個有四個。

解：(1)解方程x^2-2x-3=0，得x=-1或x=3，

A(-1,0), C(0,-3), AC=根號(1^2+(-3)^2)=根號10.

(2)(-1+3)/2=1，可設P(1, y). A, C的中點為(-1/2, -3/2),

AC的斜率為：-3, AC的垂直平分線為：y=(x+1/2)/3-3/2,

當x=1時，y=-1, ∴P(1, -1).

(3)設M(m, n), BC的斜率為：1,

過C垂直于BC的直線為：y=-x-3,

當x^2-2x-3=-x-3，即x^2-x=0時，m=1, n=1-2-3=-4, M(1,-4).

過B垂直于BC的直線為：y=-x+3,

當x^2-2x-3=-x+3，即x^2-x-6=0時，m+3=1, m=-2, n=4+4-3=5, M(-2,5).

當BM^2+CM^2=BC^2=32+32=18，即n^2+(m-3)^2+(n+3)^2+m^2=18時，

m^2-3m+n^2+3n=0, 即m^2-3m+(m^2-2m-3)2+3(m^2-2m-3)=0,

m^3-4m^2+2m+3=(m-3)(m^2-m-1)=0, ∴m=(1-根號5)/2或m=(1+根號5)/2,

n=-(5-根號5)/2或n=-(5+根號5)/2,

∴M(1,-4)或(-2,5)或((1±根號5)/2, -(5±根號5)/2).

老黃嘗試過用幾何法解決最后這一步，想避開列三次方程，但是一直想不出來，不知道你有沒有更好的方法呢？