同一個二次曲線，在不同基下需要用不同的二次型矩陣表示。這兩個二次型矩陣就稱為合同矩陣。

1.1 直角坐標(biāo)系

假設(shè)我們有這樣一個橢圓,它在直角坐標(biāo)系下的對應(yīng)方程為

1.2 自然基

下面，我們這個方程用二次型表示為

其中就是橢圓上的點在自然基下的坐標(biāo)

1.3 非自然基

既然橢圓可以表示在自然基下，當(dāng)然也可以表示在非自然基下

假設(shè)橢圓在某非自然基的對應(yīng)方程為

就是橢圓上的點在非自然基下的坐標(biāo)

1.4 合同矩陣

可以看到，是同一個橢圓在不同基下對應(yīng)的二次型,它們就被稱為合同矩陣。

而我們知道，若滿足

 它們才能稱為合同陣,那這又是怎么得來的呢？下面我們就來推導(dǎo)一下

假設(shè)由自然基到非自然基的過渡矩陣為

首先，根據(jù)坐標(biāo)變換公式有 

 然后，將這個式子與左邊的橢圓方程聯(lián)立 

 最后，令

 這樣，我們就得到了上面那幅圖中，曲線在非自然基下的表達(dá)式 

例:已知某曲線,在直角坐標(biāo)系下的方程為,現(xiàn)將坐標(biāo)系逆時針旋轉(zhuǎn),形成新的坐標(biāo)系。

求此曲線在坐標(biāo)系下的表達(dá)式

3.1 分析

本題，我們可以利用合同矩陣的知識來做

(1)首先,將曲線用向量形式，表示在自然基下

(2)然后,利用過渡矩陣，對向量空間進(jìn)行換基

(3)最后,再將新的基下的曲線寫回一般方程的形式

這樣，我們可以就利用黃色路徑來完成題目

3.2 求解

解:(1)令自然基下的坐標(biāo)向量為,則在自然基下可以表示為

(2)令非自然基的坐標(biāo)向量為,則 

其中為旋轉(zhuǎn)矩陣 

 那么曲線在非自然基下的表達(dá)式為

 帶入數(shù)據(jù),整理后可得

 這里的就是的合同矩陣

(3)最后將非自然基下這個矩陣方程寫回坐標(biāo)系,得到曲線在下的表達(dá)式為

我們用同樣的通俗易懂、圖形化的方式，對《線性代數(shù)》、《單變量微積分》、《多變量微積分》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》進(jìn)行了精講：

也可以直接點擊下面圖片購買機器學(xué)習(xí)的《監(jiān)督式學(xué)習(xí)》課程

 最易懂的數(shù)學(xué)知識庫：