學(xué)習(xí)使人收獲知識(shí)，收獲知識(shí)使老黃感到快樂(lè)！2021年浙江寧波的中考數(shù)學(xué)壓軸題，就是一道能讓您漲知識(shí)的題目。它教會(huì)我們什么叫半對(duì)角四邊形，并且如何運(yùn)用這個(gè)新知識(shí)解決中考數(shù)學(xué)壓軸題。題目是這樣的：

有兩個(gè)內(nèi)角分別是它們對(duì)角的一半的四邊形叫做半對(duì)角四邊形.

(1)如圖1，在半對(duì)角四邊形ABCD中，∠B=∠D/2, ∠C=∠A/2, 求∠B與∠C的度數(shù)之和；

(2)如圖2,銳角△ABC內(nèi)接于⊙O,假設(shè)邊AB上存在一點(diǎn)D,使得BD=BO.∠OBA的平分線交OA于點(diǎn)E,連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,∠AFE=2∠EAF.求證：四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形；

(3)如圖3,在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OB于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)G.當(dāng)DH=BG時(shí),求△BGH與△ABC的面積之比.

解：(1)如圖1, 在四邊形ABCD中, ∠D=2∠B，∠A=2∠C，

且∠A+∠B+∠C+∠D=3(∠B+∠C)=360度，

∴∠B+∠C=120度.【送分題，但這個(gè)結(jié)論對(duì)第(3)小題很重要，是解題的關(guān)鍵】

(2)如圖2, ∵BE平分∠OBA，∴∠DBE=∠OBE,

又BD=BO, BE=BE, ∴△DBE≌△OBE(SAS),

∴∠BDF=∠BOA=2∠C,

連接OC, 則∠AOC=180度-∠OAC-∠OCA=180度-2∠OAC=180度-∠AFE=∠CFD,

∴∠CFD=∠AOC=2∠CBD,

∴四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形. 【嚴(yán)格按照半對(duì)角四邊形的定義來(lái)證明】

(3)由(1)(2)知∠BCF+∠CBD=120度,【(2)提供了四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形的條件，(1)則提供了半對(duì)角四邊形較小的一組鄰角的和等于120度的性質(zhì)】

∴∠BAC=180度-(∠BCF+∠CBD)=60度,

∴∠BOC=2∠BAC=120度,∴∠HBG=(180度-∠BOC)/2=30度,

在Rt△BGH中, HG/BG=HG/DH=1/2,∴S△BGH/S△BDH=1/2,

∴S△BGH/S△BDG=1/3,【思路是先求三角形BGH和三角形BDG的面積比，再求三角形ABC和三角形BDG的面積比，最后求兩個(gè)比的商，就是所求的△BGH與△ABC的面積之比】

又DH=BG=BH/cos30度=2根號(hào)3BH/3,【接下來(lái)各邊的長(zhǎng)都用含BH的式子來(lái)表示，當(dāng)然也可以選擇用含其它線段，比如半徑BO的式子來(lái)表示，只要統(tǒng)一形式就可以了，但不要輕易設(shè)BH或BO為1，因?yàn)槟菢佑龅郊訙p運(yùn)算時(shí)，容易出錯(cuò)】

BO=BD=根號(hào)(DH^2+BH^2)=根號(hào)21 BH/3,

BC=根號(hào)3 BO/2=根號(hào)7BH,【頂角為120度的等腰三角形，底邊是腰長(zhǎng)的根號(hào)3倍】

過(guò)O作OM⊥AB于點(diǎn)M, 則△OBM≌△DBH,【省略了證明過(guò)程，它運(yùn)用的是ASA的判定定理。這種省略是允許的】

∴BM=BH,∴AB=2BM=2BH,

∴S△ABC/S△BDG=(2×根號(hào)7)/(根號(hào)21/3×2根號(hào)3/3)=3, 【其實(shí)三角形ABC和三角形BDG在BC上的高的比，等于AB與BD的比，而底邊的比，就是BC與BG的比，兩個(gè)比的積，就是面積的比，約掉BH^2后，就得到這個(gè)式子了】

∴S△BGH/S△ABC=(S△BGH/S△BDG)/(S△ABC/S△BDG)=1/9.

老黃的方法可能不是最簡(jiǎn)便的方法，勝在比較直接。如果您有其它更好的方法，不妨分享出來(lái)！